Beweis für genau einen Fixpunkt

12.09.2010, 21:03

Physikantin

Beweis für genau einen Fixpunkt

Meine Frage:
Es sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und T:X->X eine Abbildung mit d(T(x)),T(y))<d(x,y) für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X mit x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y. Zeige: T hat genau einen Fixpunkt a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X.

Meine Ideen:
Ich hab ja schon rausgefunden, dass das im Grunde der banachsche Fixpunktsatz ist, nur das der Raum hier kompakt ist und nicht vollständig. Außerdem fehlt hier dieses q $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,1].
Unterscheidet sich da jetzt der Beweis groß vom Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz?

12.09.2010, 21:17

giles

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Zitat:

Original von Physikantin
q $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,1]

Na hoffentlich fehlt das auch beim Banachschen Fixpunktsatz, denn das ist Quatsch! Da darf q nicht 1 sein und sollte nicht 0 sein.

Es gilt:
Kompakt -> vollständig

sowie

$\begin{eqnarray*} d(T(x),T(y))<d(x,y) \Rightarrow \exists 0<\alpha<1: d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y) \end{eqnarray*}$

Wenn du den Banachschen Fixpunktsatz schon in der Vorlesung hattest ist die Aufgabe doch total absurd...

12.09.2010, 21:21

gonnabphd

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Hi,

Der Beweis kann nicht ganz analog zu dem des Banachschen Fixpunktsatzes geführt werden. Eben genau weil man i. Allgemeinen kein $\begin{eqnarray*} q \in (0,1) \end{eqnarray*}$ finden kann.

Aber du kannst dir mal die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto d(T(x),x) \end{eqnarray*}$ anschauen.

Übrigens:

Zitat:

nur das der Raum hier kompakt ist und nicht vollständig

Kompakte, metrische Räume sind auch vollständig. (kannst du dir ja mal überlegen...)

Gruss Wink

12.09.2010, 21:24

giles

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Zitat:

Original von gonnabphd
Der Beweis kann nicht ganz analog zu dem des Banachschen Fixpunktsatzes geführt werden. Eben genau weil man i. Allgemeinen kein $\begin{eqnarray*} q \in (0,1) \end{eqnarray*}$ finden kann.

Hm nein? Ich hab gedacht:
Es gilt $\begin{eqnarray*} d(x,y)\neq 0 : x\neq y \end{eqnarray*}$ sonst ist die Gleichung nicht erfüllbar.

$\begin{eqnarray*} q:= \frac{d(T(x),T(y))}{d(x,y)} < 1 \end{eqnarray*}$

edit: Hm darüber meditier ich mal kurz

edit2: Doch das geht, dazu braucht man aber tatsächlich dass X kompakt ist.

edit3: Dementsprechend wäre

$\begin{eqnarray*} q:= \sup_{x,y \in X} \frac{d(T(x),T(y))}{d(x,y)} < 1 \end{eqnarray*}$

12.09.2010, 21:41

gonnabphd

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Zu deinem Schluss wird man regelrecht verführt (ich auch), aber es geht leider eben nur fast, da die Funktion

$\begin{eqnarray*} \frac{d(T(x),T(y))}{d(x,y)} \end{eqnarray*}$

nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} X \times X \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Ich hab' hier im Forum mal folgendes Gegenbeispiel gesehen:

$\begin{eqnarray*} T(x) := \frac 12 x^2 \quad x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} |T(x) - T(y)| = |\frac 12 x^2 - \frac 12 y^2| = \frac 12 |x+y||x-y| < \frac 12 2|x-y| = |x-y| \end{eqnarray*}$

Beachte, dass genau das oben genannte Problem auftritt.

12.09.2010, 21:54

giles

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Ok gegen das Gegenbeispiel ist natürlich kein Kraut gewachsen. Du hast natürlich Recht

Zitat:

nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} X \times X \end{eqnarray*}$ definiert ist

$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\frac{d(T(x),T(y))}{d(x,y)} \end{eqnarray*}$

f ist ja nur auf $\begin{eqnarray*} (X \times X) \backslash \left\{(x,y)\in X\times X \vert x=y \right\} \end{eqnarray*}$ was dann natürlich kein Kompaktum mehr ist, weshalb das von mir gebildete Supremum oben nicht mehr angenommen werden muss.

@Physikantin
Mach das dann lieber so wie gonnabphd gesagt hat smile

15.09.2010, 13:14

Physikantin

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Hey!

Ihr habt recht, ich hab die Klammern ausversehen falsch gesetzt es heißt natürlich q $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ]0,1[ .

Hab mir schon fast gedacht, dass kompakte Räume auch vollständig sind, war mir nur nicht ganz sicher.
Danke. Ich werd mir das Skript noch mal anschauen.

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