Gödel, Widerspruchsbeweise

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Gödel, Widerspruchsbeweise
Hallo Wink

Wie der Titel schon andeutet habe ich eine Frage zu Gödels Unvollständigkeitssätze bzw. deren Auswirkungen:

Soweit ich weiß besagen die Unvollständigkeitssätze, dass es in jeder hinreichend mächtigen Axiomatik Aussagen gibt, die weder wahr noch falsch sind, daher beide Annahmen führen auf einen Widerspruch. Warum ist dann die Reductio ad absurdum ein zulässiges Beweismittel ?

Irgendwo habe ich schonmal mitbekommen, dass es aus genau diesem Grund Versuche gibt, alle bekannten Sätze direkt herzuleiten ohne dabei auf Widerspruchsbeweise zurückzugreifen. Inwieweit ist das gelungen?

Kennt sich da vielleicht jemand aus?

lg Felix
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß, ist die Auswirkung des Unvollständigkeitssatzes, dass es Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind (aber natürlich schon entweder wahr oder falsch). Und damit funktionieren Widerspruchsbeweise natürlich trotzdem (Es gilt immer noch ).
Die von dir genannte positivistischen Beweisanstrengungen sind meines Erachtens unabhängig davon zu sehen, der bsiherige Erfolg ist mir nicht bekannt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gödel, Widerspruchsbeweise
Zitat:
Original von Felix
Soweit ich weiß besagen die Unvollständigkeitssätze, dass es in jeder hinreichend mächtigen Axiomatik Aussagen gibt, die weder wahr noch falsch sind, daher beide Annahmen führen auf einen Widerspruch.


Es ist doch genau andersrum, wenn ich mich nicht täusche.

Beide Annahmen führen eben nicht auf einen Widerspruch, d.h. beide Annahmen sind zum Axiomensystem widerspruchsfrei.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Mir wird gerade klar, dass ich mich in dieser Thematik viel zu wenig auskenne verwirrt

Zitat:
Soweit ich weiß, ist die Auswirkung des Unvollständigkeitssatzes, dass es Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind (aber natürlich schon entweder wahr oder falsch).


Naja die Frage nach dem zwischen beweisbar/widerlegbar - wahr/falsch ist doch eher eine philosophische und kann sicherlich nicht mathematisch ergründet werden. Vorallem spielt es bei meiner Frage keine Rolle.

Zitat:
Es ist doch genau andersrum, wenn ich mich nicht täusche. Beide Annahmen führen eben nicht auf einen Widerspruch, d.h. beide Annahmen sind zum Axiomensystem widerspruchsfrei.


Ja wie gesagt meine Kenntnisse auf diesem Gebiet sind sehr beschänkt. Ich habe gedacht die Russelsche Antinomie wäre ein Beispiel für eine unentschedbare Aussage ...
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Naja die Frage nach dem zwischen beweisbar/widerlegbar - wahr/falsch ist doch eher eine philosophische [...]


Da würde ich dir jetzt aber vehement widersprechen. Zwar legt man erst dann eine Aussage als "wahr" fest, wenn sie bewiesen wurde, aber sie wird (intrinsisch) nicht dadurch wahr, dass sie bewiesen wir. Ihr Wahrheitswert ist etwas abstraktes, der Beweis ist das, was dem Menschen zeigt, dass etwas wahr ist oder nicht, aber diese Eigenschaft hatte die Aussage schon vorher.

Wenn morgen jemand die Goldbachsche Vermutung beweisen würde, ist sie natürlich "wahr". Aber war sie es dann rückblickend heute noch nicht? Hätte man heute Zahlen finden können, die sie widerlegen?

Ich würde also schon eine harte Grenze zwischen "wahr/falsch" und "beweisbar/widerlegbar" setzen.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn morgen jemand die Goldbachsche Vermutung beweisen würde, ist sie natürlich "wahr". Aber war sie es dann rückblickend heute noch nicht? Hätte man heute Zahlen finden können, die sie widerlegen?


Nein natürlich nicht, aber das ist auch ein schlechtes Beispiel, denn wenn sie bewiesen wird, dann kann man sie auch beweisen. Wenn man allerdings von einer Aussage weiß, dass sie nicht bewiesen und nicht widerlegt werden kann, dann ist das ein anderer Ausgangspunkt. In diesem Fall ist diese Aussage meines Erachtens dann auch weder wahr noch falsch aber das ist eben eine philosophische Frage. Innerhalb der Mathematik wird man diese nicht beantworten können.
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Gödels Beweis läuft (wenn ich das noch richtig in Erinnerung habe) so ab: Er konstruiert eine Aussage, die von sich selbst behauptet, sie wäre nicht beweisbar. Und zeigt dann, dass sie wahr ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Soweit ich weiß, ist die Auswirkung des Unvollständigkeitssatzes, dass es Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind (aber natürlich schon entweder wahr oder falsch). Und damit funktionieren Widerspruchsbeweise natürlich trotzdem (Es gilt immer noch ).


Das macht doch keinen Sinn: verwirrt

Ist die Aussage "es gibt eine Menge mit Mächtigkeit zwischen und " denn nun wahr oder nicht (natürlich ohne CH)? Und wenn sie wahr/falsch ist, wie siehts dann mit der gegenteiligen Aussage aus?

Also das wäre doch absolut willkürlich, einer Aussage, welche weder bewiesen noch widerlegt werden kann, einen Wahrheitswert zuordnen zu wollen?!

Auf der anderen Seite hatte ich natürlich noch keine einzige Logikvorlesung und kann bei einer solchen Frage dementsprechend auch nicht mitreden. Aber so naiv würde ich obige Gegenargumentation wählen.

Zur ursprünglichen Frage hat tmo ja schon die Antwort gegeben.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia:
Der gödelsche Satz (1931) besagt genauer, dass jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln unvollständig ist (sofern man voraussetzt, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist – was, wie Gödel auch zeigt, nicht mit Mitteln der untersuchten Theorie allein bewiesen werden kann). Das heißt: In jeder formalen Theorie, welche mindestens so mächtig wie die Theorie der natürlichen Zahlen (Peano-Arithmetik) ist, bleiben wahre (und falsche) arithmetische Formeln übrig, die nicht innerhalb der Theorie beweisbar (widerlegbar) sind. Paul Cohen bewies 1963, dass sowohl das Auswahlaxiom als auch die Kontinuumshypothese auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre formal unentscheidbar sind. Er fand damit die ersten Beispiele mathematisch bedeutsamer unentscheidbarer Sätze, deren Existenz Gödel bewiesen hatte.
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Aussagen sind entweder wahr oder falsch. So sind sie definiert.
D.h. jedes sprachliche Gebilde das sowohl wahr als auch falsch oder weder wahr noch falsch ist, ist keine Aussage.

Die Cantorsche Kontinuumshypothese N_1 = 2^{N_0} ist aus ZF+AC weder beweisbar noch wiederlegbar. (N_i soll die i-te Kardinalzahl sein)
Das heißt aber nicht das die zugehörige Aussage weder wahr noch falsch sei, sondern nur das sie nicht aus den Axiomen hergeleitet bzw. wiederlegt werden kann.
Nebenbei ist das Auswahalxiom (AC) auch nicht bewiesen.
Verwendet man z.B. statt dem AC das AD (Axiom der Determiniertheit) dann gibt es zwischen N_0 und 2^{N_0} keine Mächtigkeit und das AC wäre falsch.

Der Wiederspruchsbeweis ist nachwievor eine zulässige Beweismethode. Der Modus Tollens ist ja auch via Wahrheitstafel oder via Folgerungskette bewiesen werden ...
... und wie oben gesagt - beweisbar aus einem Axiomensystem (bzw. aus einer Theorie herleitbar) und wahr sein sind zwei paar Stiefel.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Zitat:
Original von Felix
Naja die Frage nach dem zwischen beweisbar/widerlegbar - wahr/falsch ist doch eher eine philosophische [...]


Da würde ich dir jetzt aber vehement widersprechen. Zwar legt man erst dann eine Aussage als "wahr" fest, wenn sie bewiesen wurde, aber sie wird (intrinsisch) nicht dadurch wahr, dass sie bewiesen wir. Ihr Wahrheitswert ist etwas abstraktes, der Beweis ist das, was dem Menschen zeigt, dass etwas wahr ist oder nicht, aber diese Eigenschaft hatte die Aussage schon vorher.

Wenn morgen jemand die Goldbachsche Vermutung beweisen würde, ist sie natürlich "wahr". Aber war sie es dann rückblickend heute noch nicht? Hätte man heute Zahlen finden können, die sie widerlegen?

Ich würde also schon eine harte Grenze zwischen "wahr/falsch" und "beweisbar/widerlegbar" setzen.


So einfach kann man das Thema nun auch nicht abhandeln Augenzwinkern
Sehr wohl ist das eine REIN philosophische Frage, die keineswegs einfach zu beantworten ist. Die berühmten Schulen der Mathematik lieferten sich in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts einen Konkurrenzkampf um die Philosophie der Mathematik.

Warum man das heute kaum mehr weiß, ist, dass sich die meisten Mathematiker aus praktischen Gründen für den Formalismus (eingeführt von Hilbert) entschieden haben und dies mitlerweile auch weitgehend so gelernt wird. Vom Realismus wurde auch einiges übernommen.

Der Konstruktivismus (um beim eigentlichen Thema zu bleiben) hingegen vertritt die Ansicht, dass eine Aussage wahr ist, wenn sie beweisbar ist und falsch, wenn sie widerlegbar ist. Eine Aussage, die weder beweisbar noch widerlegbar ist, hat da im Grunde keinen Wahrheitsgehalt. Und genau der Konstruktivismus ist auch diejenige Philosophie, die Widerspruchsbeweise ablehnt. Kurt Gödel hat auch einiges zu dieser Mathematik beigetragen. Vielleicht rührt daher das Missverständnis, das möglicherweise die Eingangsfrage auslöste?

Gödel wurde dann im übrigen Realist, d.h. er glaubte an einen a-priori Charakter mathematischer Aussagen, wie du ihn oben darstellst.

P.S.: siehe dazu hier und hier
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
... und wie oben gesagt - beweisbar aus einem Axiomensystem (bzw. aus einer Theorie herleitbar) und wahr sein sind zwei paar Stiefel.


Da bin ich eben aderer Meinung. Die Frage nach Wahrheit ist nur bezüglich einer gewissen Axiomatik sinnvoll. Liefert diese Axiomatik nun allerdings keine Anwort auf die Frage nach dem Wahrheitsgehalt einer Aussage, wie soll diese Aussage dann bitte wahr oder falsch sein.

Wiie Sly jedoch jetzt noch einmal bestätigt hat ist das eine philosophische Frage. Um diese zu klären (soweit das bei philosophischen Fragen möglich ist) müsste man sich zunächst einmal darauf einigen, was das Wort wahr (bzw. falsch) in diesem Zusammenang genau bedeutet. Was also verstehst du darunter ?

Zitat:
Der Konstruktivismus (um beim eigentlichen Thema zu bleiben) hingegen vertritt die Ansicht, dass eine Aussage wahr ist, wenn sie beweisbar ist und falsch, wenn sie widerlegbar ist. Eine Aussage, die weder beweisbar noch widerlegbar ist, hat da im Grunde keinen Wahrheitsgehalt. Und genau der Konstruktivismus ist auch diejenige Philosophie, die Widerspruchsbeweise ablehnt. Kurt Gödel hat auch einiges zu dieser Mathematik beigetragen. Vielleicht rührt daher das Missverständnis, das möglicherweise die Eingangsfrage auslöste?


Ja ich denke ich hab darüber mal in Verbindung mit dem gödelschen Sätzen gelesen und hab das dann durcheinander gebracht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Zitat:
... und wie oben gesagt - beweisbar aus einem Axiomensystem (bzw. aus einer Theorie herleitbar) und wahr sein sind zwei paar Stiefel.


Da bin ich eben aderer Meinung. Die Frage nach Wahrheit ist nur bezüglich einer gewissen Axiomatik sinnvoll. Liefert diese Axiomatik nun allerdings keine Anwort auf die Frage nach dem Wahrheitsgehalt einer Aussage, wie soll diese Aussage dann bitte wahr oder falsch sein.

Wiie Sly jedoch jetzt noch einmal bestätigt hat ist das eine philosophische Frage. Um diese zu klären (soweit das bei philosophischen Fragen möglich ist) müsste man sich zunächst einmal darauf einigen, was das Wort wahr (bzw. falsch) in diesem Zusammenang genau bedeutet. Was also verstehst du darunter ?

Als rein philosphische Frage würde ich das nicht bezeichnen. Aber man befindet sich natürlich an der Grenze zwischen reiner Mathematik und Philosophie. Wenn man über Beweisbarkeit und Wahrheit reden will, muss man sich vorher darüber einigen, was man darunter verstehen will. Die Konstruktivisten lehnen reine Existenzbeweise ab, für die Formalisten sind sie völlig akzeptabel. Will man also über Beweisbarkeit reden, muss man sich darüber verständigen, welchen Beweisbarkeitsbegriff man benutzen will.

So ist es auch mit der Wahrheit. Man kann per Vereinbarung Wahrheit mit Beweisbarkeit gleichsetzen. Dann sind sie gleich, weil man das so vereinbart hat. Es gibt aber meines Wissens einen relativ breiten Konsensus, das nicht zu tun. Innerhalb dieses Konsensus sieht man Beweisbarkeit als eine rein formale Frage, Wahrheit dagegen als eine inhaltliche Frage. Beweisbarkeit beruht dann ausschließlich auf der Grammatik, der Syntax einer formalen Sprache, Wahrheit dagegen ist dabei eine Frage der Bedeutung der Symbole, also eine Frage der Semantik. Wenn man sich diesem Konsensus anschließt, was niemand tun muss, dann sichert die Beweisbarkeit einer Aussage nicht deren Wahrheit. Sie sichert nur ihre relative Wahrheit bezüglich des verwendeten Axiomensystems.

Ein Axiomensystem ist dabei per se weder wahr noch falsch. Es ist eine leere Hülle. Wahr oder falsch wird es erst, wenn man ihm Bedeutung gibt. Etwas mathematischer ausgedrückt, wahr oder falsch werden die Aussagen eines Axiomensystems erst in Modellen des Axiomensystems.

Mittels der Axiome der Gruppentheorie ist das Kommutativgesetz für die Verknüpfung innerhalb der Gruppe weder beweisbar noch widerlegbar. Es ist eine nicht entscheidbare Aussage. Betrachtet man dagegen ein konkretes Modell der Gruppenaxiome, z. B. die ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation, dann ist in diesem Modell das Kommutativgesetz wahr. Ebenso gibt es Modelle der Gruppenaxiome, in denen das Kommutativgesetz falsch ist. Es gibt halt abelsche und nicht-abelsche Gruppen.

So betrachtet, will einem der Gödelsche Unvollständigkeitssatz beinahe trivial erscheinen. Ist er aber nicht! Sein Inhalt ist ja nicht, das es unvollständige Axiomensysteme gibt. Das ist wirklich trivial. Sein Inhalt ist, dass jedes genügend reichhaltige Axiomensysteme unvollständig ist und sich daher auch nicht vervollständigen lässt.

Diese Aussage kam schon recht unerwartet und scheint auch dem gesunden Menschenverstand zu widersprechen. Hat man denn die natürlichen Zahlen durch die Peano-Axiome nicht vollständig charakterisiert? Nein, hat man nicht und das geht auch nicht. Es fällt schon schwer, das zu akzeptieren.

Aber genau so hat Cohen gezeigt, dass die Kontinuumshypothese innerhalb der Peano-Axiome weder beweisbar noch widerlegbar ist. Sie ist also auf Basis der Peano-Axiome per se weder wahr noch falsch. Cohen hat zwei Modelle der Peano-Axiome konstruiert. In dem einen ist die Kontinuumshypothese wahr, in dem anderen falsch. Leider haben meine Kenntnisse nicht ausgereicht, diese Modellbildungen zu verstehen.
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist wahr?


Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen. Das ist eine Aussage die wahr ist und das kann ich in aller Vehemenz bestätigen.
Dabei interessiert es überhaubt nicht ob es ein Axiomensystem existiert aus dem Folgt das mein Username Lord Pünktchen ist oder nicht.

Denn sei T eine Theorie mit T={Mein Username im Matheboard ist KarlGustav, Mein Name im Matheboard ist nicht Lord Pünktchen}+MP

Dann ist aus diesem Axiomensystem herleitbar (beweisbar) das mein Username in diesem Forum garnicht Lord Pünktchen sondern KarlGustav ist .... einmal hingeschaut und siehe da, jeder erkennt bzw. kann wahrnehmen das mein Username eben doch Lord Pünktchen ist ......



Nebenbei (1): Jede Aussage A ist aus einem Axiomensystem herleitbar, nämlich aus T={A}+MP. Und damit ist meine Aussage das es eine Wahrheit hinter der Axiomatik gibt wahr, da herleitbar aus meiner Theorie die besagt das ich recht habe.

(Philosophisch) Wir haben nicht mit unseren Theorien die Welt erschaffen sondern mit den Theorien versuchen wir die Realität bzw. unsere Welt zu beschreiben. Versuch es einmal ... stelle die Theorie auf das neben dir eine Wanne voll Gold aufploppt und auch da bleibt ... natürlich können wir darüber reden was wahr-sein bedeutet aber ich denke da sollten wir auf einem Fundament/Nenner beginnen das wir beide akzeptieren können ... nämlich das die Wanne voll Gold trotz Theorie nicht aufgeploppt ist ... (alles andere werde ich als gesprächsfundament nicht akzeptieren)

Nebenbei (2): Es haben sich in der Menschheitsgeschichte schon zig Theorien als Falsch herausgestellt.
Und hier meine Gegenfragen: Wie kann das sein? Heißt das, das Wahres wiederlegt werden kann und dementsprechend falsch ist?
Was für konsequenzen hätte das und wäre dann meine obige Aussage das es eine Wahrheit hinter der Axiomatik gibt nicht ebenfalls wahr?



Lange Rede kurzer Sinn ... für mich ist nur wahr was nicht mit den Gesetzen der klassischen Aussagenlogik zu einem Wiederspruch geführt werden kann. Und was mindestens zwei meiner Sinnesorgane bestätigen ist wahr.
So kann man sich an die Menge aller wahren Aussagen langsam annähern.

(P.S. Da steckt zwar auch eine Axiomatik dahinter, aber das ist ja schon in Nebenbei (1) angemerkt.)
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lord Pünktchen
Denn sei T eine Theorie mit T={Mein Username im Matheboard ist KarlGustav, Mein Name im Matheboard ist nicht Lord Pünktchen}+MP

Dann ist aus diesem Axiomensystem herleitbar (beweisbar) das mein Username in diesem Forum garnicht Lord Pünktchen sondern KarlGustav ist .... einmal hingeschaut und siehe da, jeder erkennt bzw. kann wahrnehmen das mein Username eben doch Lord Pünktchen ist ......


Dein Axiomensystem ist nicht widerspruchsfrei. Du nimmst implizit (und explizit weiter unten) als Axiom an, dass Wahrheit von uns erkennbar ist und unser Verstehen uns nicht immer betrügt. Das widerspricht deinen anderen Axiomen, denn die Wahrnehmung sagt uns, dass du Lord Pünktchen heißt...
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

@Giles: korrekt, genauso hab ich das gemeint Augenzwinkern
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bitte? Das bedeutet dass deine Argumentation Quatsch ist, denn du hast lediglich ein widersprüchliches Axiomensystem zum Widerspruch geführt... big deal...

Das hilft deinem Plädoyer für unabhängige Wahrheit keinen Meter.

Mathematik kann Konzepte modellieren, entspricht aber nie der Realität. Es ist ein Axiomensystem völlig frei von empirischen Überlegungen, d.h. Aussagen können nur aus den Axiomen hergeleitet werden. Man würde am besten von Wahrheit bezüglich der Axiomatik sprechen. Deine Überlegungen zu irgendwelcher Empirik kann ich garnicht nachvollziehen oder auch nur die Idee dahinter verstehen was das jetzt mit dem Thema zu tun hat. verwirrt
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das die Mathematik frei jedweder empirischer Überlegung ist, dem kann ich nur wiedersprechen.

Wie ist denn die Mathematik entstanden? Ist die Mathematik nicht aus der Sprache und dem Verstand selbst erzeugt worden?
Die Aussage "Ich sitze und schreibe etwas" ist genau dann wahr wenn sowohl die Aussage "ich sitze" als auch die Aussage "ich schreibe etwas" wahr sind.
Woher kommt diese Definition/Axiom der Logik?

Nebenbei gibt es Logikskripte in denen die Axiomenschemata der klassischen Aussagenlogik mit der Wahrheitstafel bewiesen werden. Und das die Wahrheitstafeln korrekt funktionieren und dementsprechend die Axiomenschemata überhaubt sinnvoll sein können liegt nicht daran das wir darum gewürfelt hätten ob diese als Beweismittel zugelassen sind sondern liegt Überlegungen unseres Verstandes zugrunde.

Aber villeicht kannst du ja mal erklären wie du darauf kommst das die Logik frei von empirischen Überlegungen ist bzw. was du genau unter empirischen Überlegungen meinst?


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Zu meinen vorherigen Aussagen: Es ging mir nicht so sehr um den "big deal", diesen Wiederspruch sondern darum das T in sich selbst nicht wiedersprüchlich ist (denn die Wahrnehmung ist nicht im Axiomenschemata T erwähnt) aber letztenendes zu falschaussagen führt da T zu dem übergeordneten Axiomenschema der Wahrnehmung und dem zugehörigen rechten Verständnis wiederspricht (also das gesammte Axiomensystem der Wahrnehmung + T wiedersprüchlich ist).

Wann ist eine Aussage A wahr? Wenn sie aus einem Axiomenschemata T hergeleitet werden kann? Dann ist alles wahr (T={A}+MP) und alles falsch.
Aber es ist klar: Die Aussage "Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen" ist wahr aber nicht falsch.
Aber warum ist das sowohl dir als auch mir klar (du hast den Wiederspruch ja auch gesehen)? Eben weil wir bereits vor unserem Mathe-Studium oder dem Durchlesen von Logik-Scripten ein Verständnis dafür hatten was wahr und was falsch ist ... weil gewisse Vereinbarungen bzgl. unserer Verständigung vorhanden waren (Sprache) und weil wir einen Verstand haben.

Mit dem Aussagenkalkül hat man ja nicht erschaffen was vorher nicht im Ansatz existiert hätte, der Wahrheitsbegriff kommt ja nicht von den Mathematikern.
Villeicht wird es klarer wenn du folgende Frage beantwortest:
Warum werden in sich wiedersprechende Theorien korrigiert, sowohl in der Mathematik als auch in der Physik?

Und noch einige Frage an dich: Woher kam das Verständnis bzgl. wahr und falsch das wir hatten noch ehe wir gewusst haben das es Axiomensysteme gibt?
Und hat sich unser Verstand nach den darauf gelernten Axiomensystemen gerichtet oder mussten die Axiomensysteme die unserem Verstand vehement wiedersprochen haben weichen?
Ab wann ist ein Axiomenschema sinnvoll? Sobald es in sich keine Wiedersprüche erzeugt (so wie mein T oben) oder muss es mit übergeordneten Axiomenschemata der Wahnehmung und der Vernunft im einklang sein?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Frage von wahr oder falsch nicht generell eine Frage von Axiomenschemata ist, darüber sollte man nicht diskutieren müssen. Schließlich hat jeder Nichtmathematiker eine Meinung zu wahr und falsch, aber meist keine Ahnung von Axiomenschemata.

Etwas anders gelagert ist die Frage nach wahr oder falsch innerhalb der Mathematik. Da geht es um die Frage, in welcher Weise es sinnvoll ist, Abstrakta mit wahr oder falsch zu bezeichnen. Es sollte klar sein, dass man das nicht auf Sinneswahrnehmungen oder sonstige Empirie basieren kann. Ob die Kontimuumshypothese wahr oder falsch oder sonst was ist. lässt sich nicht empirisch feststellen.

Ich halte es für legitim, der Meinung zu sein, dass Fragen nach wahr oder falsch innerhalb der Mathematik sinnlos sind. aber ich teile diese Meinung nicht und die Mehrzahl der Mathematiker sicher auch nicht. Man muss sich halt darüber verständigen, was man innerhalb der Mathematik für eine sinnvolle Interpretation von Wahrheit hält.

Dein Rückgriff auf den Aussagenkalkül hilft da nicht weiter. Der Aussagenkalkül umfasst ja nur einen kleinen Teil der logischen Schlussfolgerungen. Lediglich bei endlichen Mengen lassen sich die Formulierungen der Prädikaten- bzw. Quantorenlogik "für alle x gilt" bzw. "es gibt ein x, für das gilt" durch die Und- bzw. Oder-Verknüpfung der Aussagenlogik ersetzen. Bei unendlichen Mengen geht das nicht. Und die Mathematik befasst sich nun mal mit unendlichen Entitäten. Es gibt praktische keinen Beweis der Mathematik, der sich lediglich mit den Mitteln der Aussagenlogik führen lässt. Es werden fast immer die Hilsmittel zumindest der Prädikatenlogik erster Stufe benötigt.

Nun finde ich es auch legitim, wenn man der Meinung ist, die unendlichen Entitäten der Mathematik gibt es gar nicht. aber dann sollte man besser nicht Mathematik betreiben. Und für jemanden, der sich so gut wie du in den maßtheoretischen Grundlagen der Statistik auskennt, fände ich eine solche Haltung schon befremdlich.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird ein langer Post und ich entschuldige mich dafür schon mal, aber Lord Pünktchen hat so viele verschiedene Ansätze genannt, dass ich sie nur einzeln abarbeiten kann.
Zitat:
Original von Lord Pünktchen
Das die Mathematik frei jedweder empirischer Überlegung ist, dem kann ich nur wiedersprechen.

Wie ist denn die Mathematik entstanden? Ist die Mathematik nicht aus der Sprache und dem Verstand selbst erzeugt worden?

Die Mathematik ist ein Konstrukt des menschlichen Verstandes; sie "existiert" genau dort und sonst nirgends. Das macht sie nicht empirisch.


Zitat:
Nebenbei gibt es Logikskripte in denen die Axiomenschemata der klassischen Aussagenlogik mit der Wahrheitstafel bewiesen werden. Und das die Wahrheitstafeln korrekt funktionieren und dementsprechend die Axiomenschemata überhaubt sinnvoll sein können liegt nicht daran das wir darum gewürfelt hätten ob diese als Beweismittel zugelassen sind sondern liegt Überlegungen unseres Verstandes zugrunde.

Du kannst die Wahrheitafeln (s.u.) und die Logik selbst nicht beweisen und es geht mehr als nur eine Logik.
Du gehst davon aus (was du auch nicht beweisen kannst), dass der Verstand intrinsisch und sicher irgendwelche Wahrheiten erkennen kann, die objektiv existieren. Der Verstand ist nur dein Gehirn, ein glibberiger Motor getrieben von Biochemie. Es gibt keinen Grund dem irgendeine hohe Autorität zuzuweisen. Es gibt einen Unterschied zwischen dem wie wir die Dinge erkennen und wie sie sind. (Morgenstern = Abendstern !)

Zitat:
Aber villeicht kannst du ja mal erklären wie du darauf kommst das die Logik frei von empirischen Überlegungen ist bzw. was du genau unter empirischen Überlegungen meinst?

Ob Logik empirisch ist oder nicht kann ich nicht sagen und wollte ich auch nie diskutieren. Ich denke es ist klar was ich meinte wenn ich zwischen rein logischen Konstrukten und Empirik unterscheide.

Zitat:
Zu meinen vorherigen Aussagen: Es ging mir nicht so sehr um den "big deal", diesen Wiederspruch sondern darum das T in sich selbst nicht wiedersprüchlich ist (denn die Wahrnehmung ist nicht im Axiomenschemata T erwähnt) aber letztenendes zu falschaussagen führt da T zu dem übergeordneten Axiomenschema der Wahrnehmung und dem zugehörigen rechten Verständnis wiederspricht (also das gesammte Axiomensystem der Wahrnehmung + T wiedersprüchlich ist).

Nein, du hast einfach geschummelt in dem Axiomensystem und einen Widerspruch hinzugedichtet indem du grundlos dein Wahrnehmungsaxiom hinzugenommen hast. Ich verstehe wieso man das annehmen will, aber du kannst nicht ein Axiomensystem über das andere Stellen. Solche Wertungen gibt es nicht und es ist geradezu absurd wie du für objektive Wahrheit plädierst indem du deine subjektiven Lieblingsaxiome bevorzugst.

Zitat:
Wann ist eine Aussage A wahr? Wenn sie aus einem Axiomenschemata T hergeleitet werden kann? Dann ist alles wahr (T={A}+MP) und alles falsch.
Aber es ist klar: Die Aussage "Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen" ist wahr aber nicht falsch.
Aber warum ist das sowohl dir als auch mir klar (du hast den Wiederspruch ja auch gesehen)?

Ich würde sagen: Es ist keinem von uns klar, es sei denn wir verlassen uns auf dein Wahrnehmungsaxiom.

Zitat:

Eben weil wir bereits vor unserem Mathe-Studium oder dem Durchlesen von Logik-Scripten ein Verständnis dafür hatten was wahr und was falsch ist ... weil gewisse Vereinbarungen bzgl. unserer Verständigung vorhanden waren (Sprache) und weil wir einen Verstand haben.

Mit dem Aussagenkalkül hat man ja nicht erschaffen was vorher nicht im Ansatz existiert hätte, der Wahrheitsbegriff kommt ja nicht von den Mathematikern.
Villeicht wird es klarer wenn du folgende Frage beantwortest:
Warum werden in sich wiedersprechende Theorien korrigiert, sowohl in der Mathematik als auch in der Physik?
In der modernen Mathematik wirst du ohne weiteres keine widersprechende Theorie finden sofern die Beweise korrekt sind und ZFC widerspruchsfrei ist (was wir auch nur annehmen können). In der Physik finden sich *immer* Korrekturen und Widersprüche, denn es finden sich immer neue empirische Daten, die bei dem "fitten" an die Natur mit einbedacht werden müssen. Naturwissenschaft ist kein striktes Axiomensystem, die Axiome der Theorien werden dauernd geändert um die Natur besser zu beschreiben.

Zitat:
Die Aussage "Ich sitze und schreibe etwas" ist genau dann wahr wenn sowohl die Aussage "ich sitze" als auch die Aussage "ich schreibe etwas" wahr sind.
Woher kommt diese Definition/Axiom der Logik?

Und noch einige Frage an dich: Woher kam das Verständnis bzgl. wahr und falsch das wir hatten noch ehe wir gewusst haben das es Axiomensysteme gibt?
Und hat sich unser Verstand nach den darauf gelernten Axiomensystemen gerichtet oder mussten die Axiomensysteme die unserem Verstand vehement wiedersprochen haben weichen?
Ab wann ist ein Axiomenschema sinnvoll? Sobald es in sich keine Wiedersprüche erzeugt (so wie mein T oben) oder muss es mit übergeordneten Axiomenschemata der Wahnehmung und der Vernunft im einklang sein?

Evolution. Es war für unsere Vorfahren von Vorteil eine Intuition zu besitzen, Dinge zu kombinieren und zu abstrahieren. Je besser die Welt in verschiedenen Aspekten wahrgenommen werden konnte desto besser waren die Überlebenschancen.
Da du sehr überzeugt von der klassischen Logik bist frage ich mal: warum glaubst du sie ist korrekt? Die moderne Physik hat doch bereits festgestellt, dass sie falsch ist: das Distributivgesetz gilt nicht auf Quantenebene. Dazu gibt es die Quantenlogik. Was ist jetzt mit deiner Wahrheitstafel? Welches ist "die Wahrheit"?
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy: Ich bin ja garnicht der Meinung das die Frage nach wahr oder falsch innerhalb der Mathematik sinnlos ist. Ich vertrete letztenendes nur die Meinung das man den Begriff der Wahrheit innerhalb und außerhalb der Mathematik nicht voneinander trennen sollte. D.h. auch das mathematische Aussagen nicht im Widerspruch zu alltäglichen Aussagen stehen sollte. So kann man definieren wie man will aber wenn die Mathematik sagt: „Der Himmel ist ein rosaroter Elefant“ dann sag ich: „Schmeiß das zugehörige Axiomensystem raus und schlaf noch mal drüber“.

Zusatz: In der Mathematik wird ja keine Aussage darüber gemacht ob die Aussage „Ich bin ein Mann“ wahr oder falsch ist. Jeder Satz der Mathematik den ich kenne ist eine Folgerung und alles andere (z.B. Definitionen) sind Vereinbarungen.
Dabei ist es für mich unerheblich ob es unendliche Entitäten in der materiellen Realität oder nur in den Gedanken exisitert ... diese Begriffe wurden vereinbart und ich habe diese Vereinbarungen akzeptiert. Schon der Begriff Menge ist ja so eine Kopfgeburt die ihren Ursprung sicherlich im Schubladendenken hat aber das Leben sehr vereinfachen kann. D.h. ob die CH empirisch nachweisbar ist oder nicht … das ist mir wurscht. Trotzdem erkenne auch ich an das die Aussage „Aus ZF+AC kann man CH nicht beweisen“ wahr ist.

@Giles: Anscheinend haben wir eine andere Begrifflichkeit was Empirie anbelangt und nein ich verstehe nicht was du darunter verstehst?

Zitat:
Du kannst die Wahrheitafeln (s.u.) und die Logik selbst nicht beweisen und es geht mehr als nur eine Logik.
Du gehst davon aus (was du auch nicht beweisen kannst), dass der Verstand intrinsisch und sicher irgendwelche Wahrheiten erkennen kann, die objektiv existieren. Der Verstand ist nur dein Gehirn, ein glibberiger Motor getrieben von Biochemie. Es gibt keinen Grund dem irgendeine hohe Autorität zuzuweisen. Es gibt einen Unterschied zwischen dem wie wir die Dinge erkennen und wie sie sind. (Morgenstern = Abendstern !)


Aber man kann vereinbaren was ein Beweis ist. Das bringt mich zur Frage: Glaubst du die Wahrheitstafeln sind falsch? Wenn sie ja nicht beweisbar sind? Und wie hast du bewiesen dass die Beweise die du in der Mathematik verwendest tatsächlich beweise sind? Oder wurde das doch vereinbart?
Und auch hier sollte man wie ich finde bei den bestehenden Begrifflichkeiten bleiben ...
Und ich weiß das es mehr als eine Logik gibt ...

Das mit der Biochemie ist eine Behauptung die du nicht beweisen kannst.
Der Grund warum man seinem Verstand eine höhere Autorität als irgendeinem Axiomensystem zuordnen sollte? Villeicht weil du dieses Axiomensystem ohne Verstand nicht verstehen könntest?
Weil du gar kein anderes Hilfsmittel als den Verstand hast um zu entscheiden ob das eine Axiomensystem dem anderen Vorzuziehen ist?
Wenn du da anderer Meinung bist dann erklär es mir doch bitte.


P.S. Den Wiederspruch hab ich nicht hinzugedichtet, das erstemal wurde er von dir benannt.
Zitat:
Dein Axiomensystem ist nicht widerspruchsfrei. Du nimmst implizit (und explizit weiter unten) als Axiom an, dass Wahrheit von uns erkennbar ist und unser Verstehen uns nicht immer betrügt

Deine Aussage …


Und bzgl. Evolution … darüber wollte ich gar nicht reden … mit wir meinte ich nicht die Menschheit in ihrer Entwicklung sondern uns beide. Woher haben wir gewusst was wahr und falsch war ehe wir die Logikkalküle und die Modelltheorie durchgekaut haben?

Und zur Aussagenlogik: Die Definitionen der Junktoren sind aus dem Sprachgebrauch hergeleitet. Die Wahrheitstafeln werden vom Verstand bestätigt und das Axiomensystem von z.B. Shoenfiled ist mehr als Nachvollziebar. Ich hab in meinem ganzen Leben nichts gefunden das dem widersprechen könnte sondern immer nur Bestätigungen.
Und das mit den Quanten … Hast du einen Beweis dafür das die Quantentheorie tatsächlich Realität beschreibt und kein Interpretationsfehler von Beobachtungen vorliegt?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... das geht irgendwie gerade in die falsche Richtung. Ich versuche mal wieder zum Thema zu kommen:
Ich denke du misverstehst die Situation in diesem Diskurs und am meisten meine Intention in meinem vorigen Post. Ich habe dich mehrfach darauf aufmerksam gemacht, dass du deine Aussagen und Grundannahmen nicht zeigen kannst, weil du ursprünglich die Ansicht verteidigt hast, dass objektive Wahrheit außerhalb bzw. genauer überhalb von Axiomensystemen existiert.

Ich muss diese Aussagen alle nicht beweisen, denn ich würde sagen: hängt vom Axiomensystem ab. Um deine Position bezüglich Wahrheit überhalb der zugrunde liegenden Axiome zu verteidigen ist es nur dir prinzipiell möglich so grundlegende Dinge wie dein Wahrnehmungsaxiom zu zeigen denn du vertrittst hier ja die Position, dass diese Aussage einen intrinsischen Wahrheitsgehalt besitzt (oder eben nicht). Damit wollte ich dies lediglich als problematischen Punkt aufzeigen.


Prinzipiell unterscheiden sich deine Ansichten bezüglich dem Verstand und Logik nicht so sehr von meinen und ich würde vielem von dem was du sagst zustimmen. Ursprünglich ging es dir aber doch darum zu zeigen, dass Axiomensysteme nicht den Wahrheitsgehalt einer Aussage bestimmen und du tust das aber lediglich indem du deine Lieblingsannahmen einfach mit hineinpackst und aufzeigst, dass die evtl. widersprechen. Ich bevorzuge auch einen naturalistischen Standpunkt, indem wir erkennen können was die Welt im Innersten zusammenhält (ich studiere darum ja schließlich Physik), aber ich komme deshalb nicht zu dem Schluss, dass Aussagen nur objektiv und nur deshalb überhaupt wahr sein können, wenn sie bezüglich dieses persönlichen Systems von "Grundwahrheiten" wahr sind.
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann scheinst du mich am Anfang missverstanden zu haben. Ich wollte nicht meine Ansicht als die alleinwahre propagieren, sondern eine Antwort auf die Frage was ich unter einer wahren Aussage verstehe liefern.

Mit den davorstehenden Aussagen habe ich lediglich darauf Aufmerksam machen wollen das die Aussage etwas ist wahr wenn es aus dem Axiomensystem herleitbar ist dürftig ist.

Welches Axiomensystem?

Das Axiomensystem das besagt das ich mit der Behauptung recht habe das es Wahrheit hinter der Axiomatik gibt? (Und nein, ich bin nicht dieser Ansicht sondern weiß das meine Ansichten über wahr oder falsch alle auf Axiomenschemata beruhen ... ja darunter auch das Wahrnehmungsaxiom).

Aber wie gesagt, nimm die richtige Theorie/Axiomenschemata und du hast die Aussage das nur wahr ist was herleitbar ist wiederlegt.

Glaubt ihr nun an etwas wiederlegtes?
Es fehlt also die Präzisierung von welchen Axiomenschemata die Rede ist, warum diese den Vorzug anderen gegenüber haben und unter welchen Kriterien das ganze gemacht wird.

Oder mit anderen Worten: Ich kann herleiten das alle mit allem falsch liegen und nur ich recht habe und das immer ... und jetzt?

Das das Unsinn ist gebietet uns der Vertand ... also welchen Axiomenschemata folgt wahres und warum?
Und falls jemand tatsächlich der Meinung ist das ich immer recht habe hier meine Aussage: "Nein, habe ich nicht!"


LG Pünktchen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lord Pünktchen
Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen. Das ist eine Aussage die wahr ist und das kann ich in aller Vehemenz bestätigen.


Dann streue ich jetzt mal etwas Salz in die Suppe und bezweifle ganz vehement diese Aussage. Woher weißt du das so sicher? Weil du es "siehst"?

Zunächst mal könnte die Aussage "Dein Name ist KarlHeinz" auch richtig sein, denn "KarlHeinz" = "Lord Pünktchen" ist eine Aussage, die völlig ohne 'Axiomensystem' keineswegs falsch ist. Aber halt - wir haben hier ja durchaus ein formales System ... nämlich das der Sprache. Und dieses sagt uns, dass diese beiden Buchstabenhaufen eben nicht gleich sind.

Aber es geht noch viel besser:

Was ist denn überhaupt Realität? Kannst du wirklich sicher sein, dass es eine objektive, materielle Realität gibt, die für jeden gleich ist? Wirklich sicher?

Zugegeben - das geht nun arg vom Thema weg und man sollte nicht näher darauf eingehen. Deine Aussage war nur so "krass" formuliert, obwohl sie so keineswegs hinzunehmen ist und falsche Gegebenheiten suggeriert.

Im Übrigen ein großes Danke an alle fleißigen Poster. Wahnsinnig spannend zu lesen. Mehr, mehr! Wink

air
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gödel, Widerspruchsbeweise
Zitat:
Original von Felix
Zitat:
... und wie oben gesagt - beweisbar aus einem Axiomensystem (bzw. aus einer Theorie herleitbar) und wahr sein sind zwei paar Stiefel.


Da bin ich eben aderer Meinung. Die Frage nach Wahrheit ist nur bezüglich einer gewissen Axiomatik sinnvoll. Liefert diese Axiomatik nun allerdings keine Anwort auf die Frage nach dem Wahrheitsgehalt einer Aussage, wie soll diese Aussage dann bitte wahr oder falsch sein.


In manchen Modellen des Axiomsystems ist die Aussage wahr, in anderen ist sie falsch, deshalb ist sie nicht entscheidbar. Im Fall von ZFC gibt es also Modelle der Mengenlehre, in denen es eine Mächtigkeit zwischen |N| und |R| gibt, und in anderen Modellen gibt es nichts dazwischen. Von Wahrheit einer Aussage im semantischen Sinn spricht man, wenn alle Modelle des Axiomsystems die Aussage erfüllen oder eben nicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Interessante Diskussion.

Zitat:
Mit den davorstehenden Aussagen habe ich lediglich darauf Aufmerksam machen wollen das die Aussage etwas ist wahr wenn es aus dem Axiomensystem herleitbar ist dürftig ist.


Ich würde gerne folgende Frage in den Raum werfen:

Würdet ihr mit folgender Aussage einverstanden sein oder nicht und wieso (nicht)?

Mathematik ist einfach eine Art Spiel, das Mathematiker nach allgemein anerkannten, und von der Umwelt und Lebensweise beeinflussten Regeln - den Axiomen, der Logik - spielen.
Bei diesem Spiel ist ein Satz entweder wahr oder falsch, aber nie beides. Den Spielern geht es darum, aufbauend auf bekannte wahre Sätze, neue Sätze zu formulieren und zu beweisen.

Und kann man damit einverstanden sein, aber dennoch einer Aussage, welche innerhalb dieses Spiels nachweislich weder beweis- noch widerlegbar ist, einen Wahrheitswert* zurodnen wollen? Kann dieser Wahrheitsbegriff* dann noch irgendeinen Bezug zum Wahrheitsbegriff im Spiel haben?

Was passiert nun, wenn die Gruppe der Spieler sich aufspaltet und die zwei neuen Untergruppen das Spiel nun nach verschiedenen, zusätzlichen Regeln spielen, wobei in keinem der beiden neuen Spiele neue Regeln vom anderen Spiel übernommen werden können, ohne dass Aussagen auftauchen, welche sowohl wahr, als auch falsch sind.

Wie kann dann noch das Verhältnis des Wahrheitsbegriffs* ausserhalb vom Spiel zu demjenigen im einen Spiel bzw. zu demjenigen im anderen Spiel aussehen?
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Spiel kann man denke ich Sinnbildlich so nehmen, da die Logik ja in allen Theorien der Mathematik auftaucht und diese eben durch äußere Einflüsse ihre jetzige Form hat.
Ergänzen sollte man aber das in dem Spiel neue Begriffe definiert werden dürfen, bsp. Typentheorie. Und das Auf Basis der Logik und einer gemeinsamen Sprache über Axiomenschemata bsp. der Mengenlehre oder der Zahlentheorie diskutiert werden darf.

Zu dem willkürlich einem Satz einen wahrheitswert zuordnen ... Wenn man also einer Aussage willkürlich einen Wahrheitswert zuordnet, dann nimmt man diese Aussage doch eigentlich nur in das zugrundeliegende Axiomenschemata ein.
Bsp. AC (Auswahlaxiom) und ZF (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) zu ZFC.

Zitat:
Was passiert nun, wenn die Gruppe der Spieler sich aufspaltet und die zwei neuen Untergruppen das Spiel nun nach verschiedenen, zusätzlichen Regeln spielen, wobei in keinem der beiden neuen Spiele neue Regeln vom anderen Spiel übernommen werden können, ohne dass Aussagen auftauchen, welche sowohl wahr, als auch falsch sind.


Das wäre natürlich der Worst-Case der in der Mathematik, soweit ich weiß, zum Glück nicht eingetreten ist. Auch wenn es zu Theorien/Axiomenschemata unterschiedliche Meinungen und Ansichten existieren, so bleibt die Überschneidung der gemeinsam akzeptierten Aussagen ja groß genug das gemeinsam Analysis, Algebra, Stochastik, Numerik etc. betrieben und diskutiert werden kann.
Bsp. Vertreter der ZFC und der reinen Mengenlehre.

Und wie oben gesagt, solange vernünftig über den Grund des sagen wir nicht "neuen Spiels" sondern "Add-Ons" der anderen oder von einem selber diskutiert werden kann und auch neue "Add-Ons" und "Patches" angehört und besprochen werden können find ich das akzeptabel ... auch wenn ich es nicht schön finde.

LG Pünktchen
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber es ist klar: Die Aussage "Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen" ist wahr aber nicht falsch.


Dann wirst du mir wohl auch zustimmen, dass obige Aussage unmöglich Teil dieses Spiels - bekannt als "Mathematik" - ist.

Und wenn wir nun ein anderes Spiel spielen wollten, welches auf den Regeln

Zitat:
Denn sei T eine Theorie mit T={Mein Username im Matheboard ist KarlGustav, Mein Name im Matheboard ist nicht Lord Pünktchen}+MP


basiert. Dann würde der Satz: "Dein Name ist KarlGustav." trivialerweise wahr sein, da er gleich aus den Regeln folgt.

Es ist ja keine Anforderung, dass das Spiel "Sinn machen" muss, bzw. etwas mit der physischen Welt zu tun haben muss, sondern nur dass es nach kohärenten Regeln gespielt wird.
Das heisst verschiedene Spiele können sich durchaus widersprechen.

Also verstehe ich nicht ganz, wieso du einerseits

Zitat:
Aussagen sind entweder wahr oder falsch. So sind sie definiert.
D.h. jedes sprachliche Gebilde das sowohl wahr als auch falsch oder weder wahr noch falsch ist, ist keine Aussage.

Die Cantorsche Kontinuumshypothese N_1 = 2^{N_0} ist aus ZF+AC weder beweisbar noch wiederlegbar. (N_i soll die i-te Kardinalzahl sein)
Das heißt aber nicht das die zugehörige Aussage weder wahr noch falsch sei, sondern nur das sie nicht aus den Axiomen hergeleitet bzw. wiederlegt werden kann.


(und hier komme ich ja noch mit: wenn man eine Aussage schon a priori als entscheidbar definiert, macht das Sinn), aber andererseits meinst, dass

Zitat:
Denn sei T eine Theorie mit T={Mein Username im Matheboard ist KarlGustav, Mein Name im Matheboard ist nicht Lord Pünktchen}+MP


offensichtlich unsinnig sei, da dein Name doch LordPünktchen sei.

Ich verstehe die Vermischung des Wahrheitsbegriffes den jeder von uns aufgrund unserer Wahrnehmung und Erfahrung in der "Realität" anerkennt und auch verwendet bzw. davon abhängt und des abstrakten Wahrheitsbegriffs innerhalb des Spiels nicht?

Und ich denke, dass darin gerade die Stärke der Mathematik liegt und damit auch der Grund, weshalb sie so unglaublich vielseitig, gewinnbringend auf die Natur anwendbar ist:

Sie ist abstrakt und nicht auf die "Realität" angewiesen (auch wenn man die wirkliche Mathematik natürlich ursprünglich aufgrund von Überlegungen, welche die Natur betreffen, gebaut hat). Wenn man wollte, könnte man das Spiel mit völlig anderen Regeln spielen, und man hat auch die Möglichkeit diese anderen Spiele zu untersuchen und tut das ja auch.

Natürlich wird aus T von oben nicht viel herausschauen, aber dennoch kann man daraus eindeutig meinen Satz beweisen, sieht also, dass er innerhalb dieses Spiels wahr sein muss.

Oder nicht?!
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Air:
Ich hätte die Aussage "Mein Name ist Lord Pünktchen" ähnlich zerlegt:

afsagssraw oig ojofighoje vcxbvvnyd weuizaer vh ljaer vpo
Wahr oder falsch?


Zitat:
Was ist denn überhaupt Realität? Kannst du wirklich sicher sein, dass es eine objektive, materielle Realität gibt, die für jeden gleich ist? Wirklich sicher?

Tja. Und ich dachte ihr Skeptiker rennt nur in Proseminaren im Grundstudium herum.
Mit euch will doch keiner spielen! Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zellerli
Tja. Und ich dachte ihr Skeptiker rennt nur in Proseminaren im Grundstudium herum.
Mit euch will doch keiner spielen! Big Laugh


Bist du dir da sicher? Woher weißt du, dass das keiner will oder wi wir rumrennen? Kennst du jeden Menschen und jede Universität? Und woher weißt du, dass du jeden Menschen wahrnehmen kannst?

... Späßle g'macht ... Big Laugh

air
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd


Zitat:
Zitat:

Aber es ist klar: Die Aussage "Mein Username im Matheboard ist Lord Pünktchen" ist wahr aber nicht falsch.


Dann wirst du mir wohl auch zustimmen, dass obige Aussage unmöglich Teil dieses Spiels - bekannt als "Mathematik" - ist.


Nein, da stimme ich nicht mit dir überein. Die Aussage kann durchaus in der Mathematik vorkommen genauso wie "diese Aussage ist falsch" oder "der Barbier rasiert alle die sich nicht selbst rasieren" oder "alle Knuddels sind Wubbels".
Es wird wohl kaum ein anerkanntes Axiomensystem T geben, da der Nutzen so gut wie fehlt ... aber es gibt keine Regel innerhalb der Mathematik die mir verbietet eine Usernamen-Theorie einzuführen.
... klingt absurd ... ist aber so ...

Zitat:
Ich verstehe die Vermischung des Wahrheitsbegriffes den jeder von uns aufgrund unserer Wahrnehmung und Erfahrung in der "Realität" anerkennt und auch verwendet bzw. davon abhängt und des abstrakten Wahrheitsbegriffs innerhalb des Spiels nicht?


Und genau hier sind wir verschiedener Ansicht. Mathematik sollte nicht aus Jux und Dollerei betrieben werden (meine Meinung) sondern zur Betrachtung einer Problemstellung und seiner Lösung ... das kann man dann auf zig Arten tun, z.B. über lineare Algebra, Funktionentheorie oder was weiß ich was.
Aber der Wahrheitsbegriff aus der Mathematik sollte nie soweit abstrahiert werden (meiner Ansicht nach sollte er überhaubt nicht abstrahiert werden) das er nichtmehr mit dem aus unserer "Realität" übereinstimmt.

Soweit ich weiß ist das ja auch nie passiert ... es gibt in der Mathematik keine Aussagen die ohne wenn und aber wahr sind (außer die Definitionen ... und über die kann man auchnoch streiten) sondern die Sätze sind alle "Wenn dies und das so und so ist, dann ist jenes so."
Bsp.: "Innerhalbt der Zahlentheorie ist die Aussage 1+1=10 wahr wenn wir das binärsystem betrachten."
Ich erkenne da keinen Unterschied zu bspw. "Wenn es morgens hell wird dann bricht der Tag an." oder "Wenn ich einen Apfel habe und noch einen bekomme (ohne den ersten zu verlieren oder sowas), dann habe ich zwei Äpfel."

Zitat:
Sie ist abstrakt und nicht auf die "Realität" angewiesen (auch wenn man die wirkliche Mathematik natürlich ursprünglich aufgrund von Überlegungen, welche die Natur betreffen, gebaut hat). Wenn man wollte, könnte man das Spiel mit völlig anderen Regeln spielen, und man hat auch die Möglichkeit diese anderen Spiele zu untersuchen und tut das ja auch.


Und wie weiter oben bereits angemerkt ... sobald eine Theorie der Mathematik sagt: "Der Himmel ist ein rosaroter Elefant" dann sollte man diese Theorie in die Tonne werfen und nocheinmal drüber schlafen. Genauso wie meine Theorie T.
Wie gesagt ... möglich sind solche Theorien ... aber anklang werden sie (hoffentlich) nicht finden.

@Zellerli: asflakjg alsjkf ist kein Deutsch und auch sonst keine mir geläufige Sprache. Aber eine gemeinsame bekannte und verwendete Sprache ist das mindeste was ich für eine Diskussion über wahr oder falsch verlange.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

ich möchte auch mal etwas zu empirik und mathematik sagen:
die mathematik ist an sich eine philosophie, also keine naturwissenschaft, die nicht den anspruch erhebt, empirisch zu sein.
wenn cih mit hilfe der mathematik ein spaghettiemonster errechne, das die welt erschaffen hat, dann bedeutet es noch lange nicht, dass das auch der realität entspricht.
dann ist da noch die frage unserer wahrnehmung aufgetaucht, und genau das ist der punkt, was, wenn die wahrnehmung uns trügt, man kann allein schon an der farblehre erkennen, wie wenig ausgeprägt unsere wahrnehmung ist, sicherlich hat jede farbe einen charakter, der durch die reflektion des lichtes eindeutig bestimmt ist, aber wer hat nicht schon einmal gesagt, in einem bestimmten lichteinfall sieht der rotwein blau aus, also sagt unsere wahrnehmung uns, er ist blau, jedenfalls für den moment, nur weil der mensch die fähigkeit hat, abstrahieren zu können, kann er durch spektroskopie die farbe ermitteln, ohne sie jedoch tatsächlich zu sehen.


sicherlich ist die folgerung für mathematische aussagen richtig, dass die doppelte negation einer aussage wieder die aussage selbst sein muss, aber wir haben in unserem sprachgebrauuch auch aussagen, deren verneinung, also einfache negation, wieder die gleiche aussage ergibt (zum beispiel entweder ich habe recht oder air hat recht), verneinen wir diese aussage, erhalten wir wieder das gleiche.

dass es nun mal solche aussagen gibt, daran kann man nichts ändern...
so viel also zu wahrheitsgehalt und realität.
ein mathematiker sagte einmal, der mensch ist nicht in der lage, eine perfekte gerade herzustellen, auch mit noch so hohem technischen aufwand wird das auch in der zukunft nicht möglich sein, die empirik der euklidschen geometrie wird also niemals gezeigt werden können.
dennoch nehmen wir bögen als gerade wahr wenn sie parallel zur erdoberfläche sind.

kommen wir zu gödels aussage:
wir können es weder als wahr noch als falsch betrachten, dass es eine menge gibt, deren cardinalität zwischen R und N liegt, also werden wir hier auch keinen wiederspruch finden können.
dazu kommt, dass es sicherlich sehr schwer wird, diese menge zu bestimmen, denn die rationalen zahlen sind bijektiv zu den natürlichen, wir müssen also eine menge finden, deren mächtigkeit zwischen der von Q und R liegt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
wir haben in unserem sprachgebrauuch auch aussagen, deren verneinung, also einfache negation, wieder die gleiche aussage ergibt (zum beispiel entweder ich habe recht oder air hat recht), verneinen wir diese aussage, erhalten wir wieder das gleiche.


Das stimmt nun wirklich nicht.

(Wenn man «Entweder A oder B» negiert, also «Nicht (Entweder A oder B)» bildet, dann ist das sicher nicht äquivalent mit «Entweder A oder B»; egal ob formalisiert oder alltagssprachlich.)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

A: ich habe recht
B: du hast recht

die aussage entweder oder ist folgende implikation:


verneinen wir diese aussage so erhalten wir:



auf das wedge können wir das kommutativgesetz anwenden und erhalten:

.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

verneinen wir diese aussage so erhalten wir:


Und wie begründest du diese abenteuerliche Transformation?
Verneinen heisst ja nicht, jede Variable eines logischen Terms zu verneinen.

Beispiel:
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, hab de morgan vergessen...

hmm, muss mal nen augenblick nachdenken, denn eine entweder oder aussage sagt ja aus, dass einer von beiden recht hat und der andere nicht, verneine ich dies, so hat wieder nur einer von beiden recht, bzw. einer von beiden unrecht, oder nicht, hab gerade nen denkfehler, muss das noch mal überprüfen...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Verneint man «einer von beiden hat recht und der andere nicht», so kommt raus: «keiner oder alle beide haben recht.»
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Was logisch auch ganz klar wird, wenn man "entweder der eine oder der andere hat recht" als "genau einer von beiden hat recht" formuliert.
Dann ist die Negation nämlich offensichtlich "eine andere anzahl von genau einem hat recht" - und da bleibt nur keiner oder beide über. Augenzwinkern

air
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Zitat:
Mit den davorstehenden Aussagen habe ich lediglich darauf Aufmerksam machen wollen das die Aussage etwas ist wahr wenn es aus dem Axiomensystem herleitbar ist dürftig ist.


Ich würde gerne folgende Frage in den Raum werfen:

Würdet ihr mit folgender Aussage einverstanden sein oder nicht und wieso (nicht)?

Mathematik ist einfach eine Art Spiel, das Mathematiker nach allgemein anerkannten, und von der Umwelt und Lebensweise beeinflussten Regeln - den Axiomen, der Logik - spielen.
Bei diesem Spiel ist ein Satz entweder wahr oder falsch, aber nie beides. Den Spielern geht es darum, aufbauend auf bekannte wahre Sätze, neue Sätze zu formulieren und zu beweisen.

Ist das nun Kritik an oder Zustimmung zu der zitierten Aussage?

Man kann Mathematik natürlich als ein Spiel ansehen. bei dem aus gegebenen Symbolketten nach bestimmten Regeln weitere Symbolketten erzeugt werden können. Dann braucht man aber keinen Wahrheitsbegriff, es genügt der Begriff der Ableitbarkeit oder Herstellbarkeit einer Symbolkette.

Wenn man das macht, sollte man über folgendes nachdenken:

(1) Weshalb betrachtet die Mathematik dann ausschließlich Spiele, bei denen die gegebenen Symbolketten und die Ableitbarkeitsregeln im Einklang mit den herkömmlichen Regeln der Logik sind?

(2) Wenn man das macht, dann werden einige Teile der Mathematik, speziell solche, die Grundlagenfragen betreffen unzugänglich.


Zu (1)
Die Beschränkung auf Spiele, bei denen es zu jeder Symbolkette A eine komplementäre Symbolkette gibt und nie beide zugleich ableitbar sind, macht doch nur Sinn, wenn die Mathematik möchte, dass ihre Spielchen zumindest im Prinzip auf eine Welt mit "wahr" und "falsch" anwendbar sind.

Einige Mathematiker mögen ja noch so sehr betonen, dass es ihnen egal ist, ob ihre Mathematik anwendbar ist, ihre Selbstbeschränkung auf diese eingeschränkte Klasse von Spielen konterkariert das.

Zu (2)
In einem solchen Spiel wird die Herleitbarkeit einer Formel (Symbolkette) A dadurch bewiesen, dass man sie entsprechend den Regeln herleitet. Die Nichtherleitbarkeit einer Formel A kann dadurch bewiesen werden, dass man herleitet.

Wenn es einem nun weder gelingt A noch herzuleiten, was dann? Hat man nur noch nicht die geeignete Folge von Ableitungsregeln ausprobiert oder ist es prinzipiell unmöglich, aufgrund der getroffenen Regeln eine der beiden Formeln herzuleiten? Man kann dann die Ableitungsregeln wieder und wieder ausprobieren. Wenn das aber nicht zum Erfolg führt, wird man vielleicht auf die Idee kommen, über die Ableitungsregeln selbst nachzudenken. Dieses Nachdenken kann einen (mal einfach, mal sehr kompliziert) zu dem Schluss führen, dass bestimmte Formeln aufgrund der Struktur der Ableitungsregeln nicht ableitbar sind.

Darf man das? Ist das nicht Teufelswerk? Dieser Schluss ist schließlich keine Anwendung unseres Regelwerks. Nein, er beruht auf Nachdenken über unser Regelwerk. Aber Nachdenken ist in dem Regelwerk nirgends vorgesehen.

Immerhin ist dieses Nachdenken wieder formalisierbar. Wenn man so ein Regelwerk mit Ausgangsformeln und Ableitungsregeln als Kalkül bezeichnet, dann machen wir einfach einen weiteren Kalkül, einen Metakalkül. Dieser Metakalkül gehorcht denselben Grundregeln der Logik wie jeder Kalkül. Zusätzlich sind seine Formeln jedoch als Aussagen über einen anderen Kalkül, den Basiskalkül, interpretierbar. Eine im Metakalkül ableitbare Formel, kann die Interpretation/Bedeutung haben, dass eine Formel des Basiskalküls weder ableitbar noch nicht ableitbar ist.

Doch damit stößt man an die Grenzen der Formalisiersbarkeit. Ob eine Metakalkül wirklich diese Bedeutung hat/diese Interpretation zulässt, bedarf einer inhaltlichen Prüfung. Diese inhaltliche Prüfung kann man wieder versuchen zu formalisieren, nämlich durch einen Metametakalkül. Doch ob dieser Metametakalkül wirklich diese Bedeutung hat ...

Die Beweise von Gödel beruhen auf diesem Konzept des Metakalküls, obwohl er dieses Wort nicht benutzt. Aber die Vorsilbe meta benutzt er recht häufig. Wenn die Mathematikwelt seine Beweise akzeptiert hat, dann deshalb, weil ihre inhaltliche Prüfung ergab, dass seine trickreiche Konstruktion eines Metakalküls - der sich im Grunde nicht von dem Basiskalkül unterschied - tatsächlich diese Interpretation gestattete. Man beruft sich also auf eine Interpretation von wahr oder falsch außerhalb der Formalisierbarkeit.


Ich habe keine Ahnung, ob ich alle Argumente von Lord Pünktchen richtig verstehe, aber intuitiv habe ich den Eindruck, dass wir ganz stark in dieselbe Richtung denken.


Zitat:
Und kann man damit einverstanden sein, aber dennoch einer Aussage, welche innerhalb dieses Spiels nachweislich weder beweis- noch widerlegbar ist, einen Wahrheitswert* zurodnen wollen? Kann dieser Wahrheitsbegriff* dann noch irgendeinen Bezug zum Wahrheitsbegriff im Spiel haben?


Gute Frage! Also mal angenommen, jemand findet einen Beweis, dass die Goldbachvermutung aus den Axiomen der Peanoaritmetik weder beweisbar noch widerlegbar ist. Dann muss sie doch wahr sein!!!??? Denn wenn sie nicht wahr ist, könnte man ja (aus reinem Zufalll) ein Gegenbeispiel finden. Und dann wäre sie widerlegt. Und dann wäre der Beweis falsch gewesen.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Also mal angenommen, jemand findet einen Beweis, dass die Goldbachvermutung aus den Axiomen der Peanoaritmetik weder beweisbar noch widerlegbar ist.


Müsste man dann nicht annehmen, es gebe ein Modell der natürlichen Zahlen, in dem der Satz stimmt; und es gebe ein anderes Modell, indem der Satz falsch ist? Das würde heissen, dass das Axiomensystem nicht monomorph ist (d.h. dass nicht alle Modelle isomorph sind). Aber auf welcher Meta-meta-...Ebene dieser Isomorphiebegriff gehandhabt werden muss, ist mir auch unklar.
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