Jordan-Normalform

14.09.2010, 22:30

TomTom1

Jordan-Normalform

Guten Abend allerseits!

Angenommen, der Kern von A sei:
$\begin{eqnarray*} Ker(A) = \left\langle\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man dann z.B. dim(Kern(A^3)) , wenn A folgende Matrix ist:

[attach]16023[/attach]

..also geht das überhaupt (in angemessener Zeit) im Kopf, oder eher nicht?

Edit: Erzeugnisklammern hinzugefügt. CODE: \left\langle ... \right\rangle. Gruß, Reksilat.

15.09.2010, 11:51

Reksilat

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RE: Jordan-Normalform
Hi TomTom,

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A^3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, ist eine unschöne und fehleranfällige Aufgabe, aber dennoch in fünf Minuten zu schaffen. Für eine Klausur ist so eine Aufgabe wohl ungeeignet, aber als Übungsserie durchaus zumutbar.
Allerdings gibst Du ja keine weiteren Rechenergebnisse, wie z.B. char. Polynom, an und so kann ich auch nicht sagen, ob das nun unbedingt nötig ist.

Gruß,
Reksilat.

15.09.2010, 16:45

TomTom1

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RE: Jordan-Normalform
Nein, ich wollte eigentlich auch nur fragen, ob es da einen Trick gibt, oder ob man wirklich A*A*A berechnen muss, um $\begin{eqnarray*} A^3 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

..allerdings hast du mir diese Frage eigentlich bereits beantwortet smile

15.09.2010, 16:57

jester.

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Es gibt eine (etwas) schnellere Methode, wenn man nur den Kern benötigt. Dies funktioniert wie folgt:

Man formt die Matrix so um, dass sie auf Zeilenstufenform ist, um den Kern von A abzulesen. In diesem Fall sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \ker A = \ker \begin{pmatrix}1&1&-2&1&0&2&-2 \\ 0&1&1&0&2&2&-1 \\ 0&0&1&0&1&0&0 \\ 0&0&1&0&1&0&0 \\ 1&0&-2&1&-1&1&-1 \\ -1&0&1&-1&0&-1&1 \\ 0&1&-1&0&0&1&-1\end{pmatrix} = \ker \begin{pmatrix} 1&0&0&1&1&0&-1 \\ 0&1&0&0&1&0&-1 \\ 0&0&1&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kann man setzen: $\begin{eqnarray*} A_1 := \begin{pmatrix} 1&0&0&1&1&0&-1 \\ 0&1&0&0&1&0&-1 \\ 0&0&1&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und es gilt $\begin{eqnarray*} \ker A^2 = \ker (A_1 \cdot A) \end{eqnarray*}$

Das kann man dann für den nächsten Schritt noch einmal wiederholen und spart sich damit das Quadrieren und das Ausrechnen noch größerer Potenzen.

15.09.2010, 18:08

TomTom1

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Ah ja, richtig..
Obwohl - auch diese Methode benötigt natürlich etwas Zeit..

Ich hätte ein anderes, eher Prüfungs-tauglicheres Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \\ -3 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man soll die Jordan-Normalform und die Transformationsmatrix angeben.

Das charakteristsche Polynom ist: $\begin{eqnarray*} (2-x)^3(1+x) \end{eqnarray*}$
Das heisst: Eigenwerte sind 2 und -1.

Eigenvektor zum EW -1: $\begin{eqnarray*} < \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$
Eigenwerte zum EW 2: $\begin{eqnarray*} < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Die Jordan-Normalform kann man nun schon bilden: 1 Kästchen für den EW -1 auf der Diagonalen, die drei anderen Einträge teilt man in 2 Kästchen auf (Reihenfolge egal).

Gut. Es fehlt die Trafomatrix.
Hierzu berechnet man $\begin{eqnarray*} Kern((A-2E)^2) \end{eqnarray*}$
Dazu meine Frage: Wie berechnet man das nun genau? Also wie folgt? :
$\begin{eqnarray*} (A \cdot A) - 4E \end{eqnarray*}$ oder gelten die binom. Formeln oder wie funktioniert das genau?

Und noch eine Frage dann zu Trafo: Ist die Reihenfolge, wie man die Vektoren in der Trafo anordnet, egal?

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

15.09.2010, 18:22

jester.

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Zitat:

Original von TomTom1
Das charakteristsche Polynom ist: $\begin{eqnarray*} (2-x)^3(1+x) \end{eqnarray*}$

Mitnichten. Das charakteristische Polynom ist stets normiert.

Zitat:

Das heisst: Eigenwerte sind 2 und -1.

Das stimmt aber dann trotzdem.

Zitat:

Gut. Es fehlt die Trafomatrix.
Hierzu berechnet man $\begin{eqnarray*} Kern((A-2E)^2) \end{eqnarray*}$
Dazu meine Frage: Wie berechnet man das nun genau? Also wie folgt? :
$\begin{eqnarray*} (A \ cdot A) - 4E \end{eqnarray*}$ oder gelten die binom. Formeln oder wie funktioniert das genau?

Die binomische Formel gilt in nicht-kommutativen Ringen nicht. Du musst also erst die Differenz und dann das Quadrat bilden und dann daraus den Kern bilden. Dazu kannst du natürlich wiederum die Methode aus meinem letzten Beitrag bemühen.

Zitat:

Und noch eine Frage dann zu Trafo: Ist die Reihenfolge, wie man die Vektoren in der Trafo anordnet, egal?

Ich sage mal "jain". Es gibt Transformationsmatrizen, die du so wählen kannst, dass solche Matrizen entstehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&&& \\ &2&& \\ &&2& \\ &&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&&& \\ &2&& \\ &1&2& \\ &&&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&&& \\ &-1&& \\ &&2& \\ &&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und noch drei weitere, für die ich jetzt zu faul bin. Das heißt, du kannst die Blöcke vertauschen. Jedoch darfst du die zwei Vektoren, die zu dem Zweierblock gehören, nicht trennen.
Dann gibt es noch die Möglichkeit, die Transformationsmatrix so zu ändern, dass aus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&&& \\ &2&& \\ &&2& \\ &&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&&& \\ &2&& \\ &&2&1 \\ &&&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird.

Du kannst ja einfach mal eine Transformationsmatrix bestimmen, dann können wir uns die Sache mal am konkreten Beispiel ansehen.

15.09.2010, 19:59

TomTom1

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Vielen Dank für die Verbesserungen!

Noch eine letzte Frage zu diesem Thema.
Angenommen, man habe folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und man möchte deren Inverses berechnen - geht das nur wie hier beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Berechnung_der_Inversen_einer_Matrix

Oder gäbe es hier einen "Trick"?

15.09.2010, 20:11

Reksilat

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Zitat:

Original von jester.

Zitat:

Original von TomTom1
Das charakteristsche Polynom ist: $\begin{eqnarray*} (2-x)^3(1+x) \end{eqnarray*}$

Mitnichten. Das charakteristische Polynom ist stets normiert.

Nur mal als Bemerkung: Das char. Polynom wird (wie so vieles) auf verschiedene Weisen definiert. Die Diskussion gab es schon mal - siehe dazu hier Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

15.09.2010, 20:26

jester.

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Gut, dann mag TomTom1 diesen Punkt gerne ignorieren.

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