Rekursive Folge ist konvergent, grenzwert

07.11.2006, 20:46

SilverBullet

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Rekursive Folge ist konvergent, grenzwert

Nabend zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe :

Die Folge Xn werde rekursiv definiert duch

$\begin{eqnarray*} x_{1}:=0, x_{n+1} := \sqrt{2+x_{n}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Untersuchen sie die Folge auf konvergenz und bestimmen sie ihren Grenzwert.

Leider verstehe ich einfach das Prinzip wie man an solche Aufgaben angeht nicht daher haben mir die schon besprochenen Beispiele hier im Board nicht geholfen unglücklich

unglücklich

Also ich würde ja einfach so anfangen :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+x_{n}} \leq \sqrt{2+ \sqrt{2+x_{n}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 + x_{n} \leq 2 + \sqrt{2+x_{n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2_{n}\leq 2+ x_{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq 2 + x_{n} - x^2_{n} \end{eqnarray*}$

So also weiter komm ich beim vereinfach nicht... Verstehe nun nicht wie ich daraus etwas ablesen kann... Kann mir das jmd für diese Aufgabe also das oben geschriebene (falls richtig) erklären ?

mfg
Silver

07.11.2006, 21:08

AD

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Zitat:

Original von SilverBullet
Also ich würde ja einfach so anfangen :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+x_{n}} \leq \sqrt{2+ \sqrt{2+x_{n}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 + x_{n} \leq 2 + \sqrt{2+x_{n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2_{n}\leq 2+ x_{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq 2 + x_{n} - x^2_{n} \end{eqnarray*}$

Man sollte immer dazu sagen, was man gerade beabsichtigt...

In diesem Fall willst du wohl gerade die Monotonie zeigen, oder? Das macht man hier günstiger so: Die Rekursion kann man $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=g(x_n) \end{eqnarray*}$ mit der Funktion $\begin{eqnarray*} g(t)=\sqrt{2+t} \end{eqnarray*}$ schreiben. Nun ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ leicht erkennbar streng monoton wachsend, also folgt aus $\begin{eqnarray*} x_{n-1} < x_n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} g(x_{n-1}) < g(x_n) \end{eqnarray*}$ , was wegen $\begin{eqnarray*} x_n=g(x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=g(x_n) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_n < x_{n+1} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann.

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} x_0=0,x_1=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ hat man den Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} x_0<x_1 \end{eqnarray*}$ , womit die Monotonie bewiesen ist.

07.11.2006, 21:17

SilverBullet

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re

Zitat:

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} x_0=0,x_1=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ hat man den Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} x_0<x_1 \end{eqnarray*}$ , womit die Monotonie bewiesen ist.

Darf ich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ denn für den Induktionsanfang verwenden ? n soll doch >= 1 sein.

Das oben gezeigt ist der Induktionsschritt oder ?

07.11.2006, 21:27

AD

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RE: re
Sorry, ich hab mich beim Index verzählt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich meine $\begin{eqnarray*} x_1=0,x_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Und ja, ich habe erst den Induktionsschritt gemacht, und dann den Anfang - vielleicht etwas ungewohnt diese Reihenfolge. smile

smile

07.11.2006, 21:39

SilverBullet

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re
noch 2 vielleicht dumme Fragen :

1) Wie bist du auf $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gekommen ?
2) Wie beweise ich den verlangten Grenzwert ?

07.11.2006, 22:27

SilverBullet

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RE: re
waren die Fragen echt so doof das keiner antwortet ? Bin immer noch nicht drauf gekommen unglücklich

unglücklich

man muss doch bei x2 eine 2 in die Funktion einsetzen oder nicht ? dann kommt bei mir was anderes raus.

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07.11.2006, 22:30

AD

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RE: re
Nur einsetzen: $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{2+x_1}=\sqrt{2+0}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das ist so einfach, deswegen hat keiner geantwortet.

07.11.2006, 23:18

SilverBullet

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rg
ach lol kein kommentar ^^

08.11.2006, 16:48

Mathespezialschüler

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Zum Grenzwert: Erst musst du noch zeigen, dass die Folge konvergiert. Wenn sie nach oben beschränkt und monoton steigend ist, dann stimmt das. Also musst du die Beschränktheit nach oben noch zeigen! Danach kannst du den Grenzwert bestimmen, und zwar so: Sei $\begin{eqnarray*} g=\lim_{n\to\infty}x_n \end{eqnarray*}$ der Grenzwert. Dann gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} g=\lim_{n\to\infty}x_{n+1} \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} g=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2+x_n}=\ldots \end{eqnarray*}$ .

Da kannst du nun die Stetigkeit der Wurzel benutzen und einen Grenzwertsatz anwenden! Damit erhältst du eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

17.11.2006, 19:55

MCF

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hallo ihr Wink

habe schon gesucht, aber leider nichts passendes gefunden, also es geht darum zu beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}+... = 2 \end{eqnarray*}$

als hinweis ist gegeben, dass wir für p > 0 eine rekursive folge x_n (n € IN*) folgendermaßen definiert haben:

x1 = wurzel p
x_n+1 = wurzel (p+x_n)

nun sollen wir x2 - x5 angeben... allerdings verwirrt mich das mit dem p im zusammenhang mit dem wurzel 2 ziemlich... verwirrt

also wenn ich doch beweisen soll, dass der wurzel 2 ausdruck stimmt, wieso der umweg über die rekursive p-folge??

ich hoffe, ihr könnt mir helfen...

lieben dank smile

--> das war mein beitrag in einem andren thread, nochmal kopiert, dass jeder nachvollziehen kann, worauf ich mich beziehe.

im gegensatz zu silver ist ,mein x1 = wurzel p und x_n+1 = wurzel (p+x_n) also ist mein p = 2 quasi?

wenn ich nun x2 - x5 hinschreiben soll, genügt es dann einfach rekurriv die zahlen einzusetzen und dann zu sehen, dass es gegen 2 konvergiert?

den monotoniebeweis verstehe ich nicht so ganz --> wieso führtst du das g(t) ein?

17.11.2006, 20:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MCF
wenn ich nun x2 - x5 hinschreiben soll, genügt es dann einfach rekurriv die zahlen einzusetzen und dann zu sehen, dass es gegen 2 konvergiert?

den monotoniebeweis verstehe ich nicht so ganz --> wieso führtst du das g(t) ein?

Ja, einsetzen genügt, um die Werte auszurechnen. Aber die Werte zeigen noch lange nicht die Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ! Was verstehst du denn an dem Monotoniebeweis nicht? Das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verhilft einem zur Ungleichung $\begin{eqnarray*} x_n<x_{n+1} \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} x_{n-1}<x_n \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

21.11.2006, 18:53

MCF

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ahaaa

Big Laugh

vielen dank mss Big Laugh

Big Laugh

das ist ja wirklich logisch wenn man sich damit beschäftigt...

jetzt habe ich noch eine frage dazu (die nächste teilaufgabe)

ich soll eine positive zahl X finden, sodass gilt: wurzel (p+X) < M ... das sind doch dann die zahlen > gleich 1 oder??
mit dieser zahl soll ich zeigen, das x_n < M für alle n€N ist.

21.11.2006, 19:41

Mathespezialschüler

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Was soll denn überhaupt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein?

Gruß MSS

21.11.2006, 19:49

MCF

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oh sorry, das soll die gesuchte zahl X sein...

21.11.2006, 19:51

Mathespezialschüler

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Kannst du die Teilaufgabe nochmal ordentlich aufschreiben? So wird das irgendwie nichts ...

Gruß MSS

21.11.2006, 21:38

MCF

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entschuldige.. *g*

also die gegeben dinge findest du oben in meinem quote.

ich soll eine positive zahl X finden, sodass wurzel (p+X) < X ist und soll u.a. zeigen, dass x_n < X (die zahl die ich suchen soll) ist (für alle n€N).

21.11.2006, 21:43

Mathespezialschüler

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Gut. Und was ist daran jetzt so schwierig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

21.11.2006, 22:07

MCF

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ich soll also für X einfach irgendeine Zahl einsetzen (von mir aus 12) und dann zeigen, dass wurzel (p+12) < 12 ist??
das kanns ja nicht sein...... oder?

ich bleibe jetzt einfach mal dabei und soll danach zeigen, dass x_n < 12 ist, was ja logisch wäre, weil x_n ja gegen 2 konvergiert...

ich bin auf dem holzweg oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2006, 22:11

Mathespezialschüler

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Nein, nicht irgendeine. Aber du kannst ja die Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auflösen. Sei $\begin{eqnarray*} X>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{p+X}<X\Leftrightarrow p+X<X^2\Leftrightarrow X^2-X-p>0 \end{eqnarray*}$ .

Kannst du das nach $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auflösen?

Gruß MSS

21.11.2006, 22:18

MCF

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X^2 - p > X würde ich sagen?

21.11.2006, 22:21

MCF

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ich habs schon gemerkt, dass das unsinn ist Big Laugh

Big Laugh

aber ich steh auch ehrlich gesagt grade mit der Umformung aufm Schlauch^^

wie wärs mit X^2 - X = X (X-1) so als anfang?

21.11.2006, 22:42

Mathespezialschüler

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Quadratische Ergänzung wäre etwas besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

21.11.2006, 22:56

MCF

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wie meinen?

21.11.2006, 23:16

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} X^2-X-p=\left(X-\frac{1}{2}\right)^2-p-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

21.11.2006, 23:27

MCF

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ahhh einfach binomische formel rückwärts prima... Big Laugh

Big Laugh

wär ich nicht drauf gekommen...

aber wie kriege ich dann das X aus der klammer?

22.11.2006, 00:00

Mathespezialschüler

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Es bleibt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(X-\frac{1}{2}\right)^2-p-\frac{1}{4}>0 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} \left(X-\frac{1}{2}\right)^2>p+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

zu lösen. Da du nur eine Zahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ finden sollst und die möglichst groß sein soll, kannst du $\begin{eqnarray*} X>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ annehmen. Dann ist die obige Ungleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} X-\frac{1}{2}>\sqrt{p+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

22.11.2006, 10:25

MCF

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also bekommt man gar keine feste zahl raus? weil bspw. die 12 wäre ja > 1/2

allerdings habe ich da noch eine frage.... wenn ich zeigen soll, dass x_n < X ist... mein x_n allerdings zwei ist und mein X nur die bedingung hat, größer als 1/2 zu sein.. dann wäre X [1/2 ; 2] ja total unsinnig?

22.11.2006, 15:43

Mathespezialschüler

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Nein, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ soll nicht nur größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein! Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} X>\frac{1}{2}+\sqrt{p+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

22.11.2006, 17:54

MCF

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klaro, also wenn mein p =2 ist, muss x > 2 sein.. damit hab ichs gezeigt. viiiielen vielen dank !!!!!!!!!!!!!

22.11.2006, 18:35

MCF

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jetzt noch rein interessehalber:

kann ich bei einer rekursiv gegebenen folge (ist sie ja) auch beweisen, dass sie einen grenzwert (hier 2) hat, ohne alle glieder einzeln auszurechnen? oder geht das bei rek. def. folgen nciht?

22.11.2006, 19:56

Mathespezialschüler

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Natürlich kannst du das! Das hast du doch bei dieser Folge auch gemacht!

Gruß MSS

22.11.2006, 21:37

MCF

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naja... würde ich jetzt nicht sagen.. ich habe halt nacheinander die nächsthöheren glieder eingesetzt. das hat für mich nix mit einem beweis bzw. betrachtung zu tun

23.11.2006, 13:18

Mathespezialschüler

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Ich dachte, wir hätten das besprochen? Monotonie und Beschränktheit kannst du, wie gesagt, schnell mit Induktion zeigen. Dazu gab es ja dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ...

Gruß MSS

03.12.2006, 13:08

ThomasMa

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Ich versteh nicht ganz wie man die beschränktheit zeigt. Welchen grenzwertsatz muss ich da anwenden

03.12.2006, 14:15

Mathespezialschüler

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Gar keinen. Du zeigst einfach durch Induktion, dass $\begin{eqnarray*} x_n\leq 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

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