Goniometrische Gleichung

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MaschSon Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichung
Edit (mY+): Ich ändere mal den Titel von "Trigonometrische Funktion" nach "Goniometrische Gleichung"

Hallo,
ich packe es mal hier herein. Ich versuche gerade krampfhaft die Lösung zu folgender Aufgabenstellung zu knacken.

Stelle nach X um:

cosx+cos2x=sinx+sin2x

Mein Ansatz ist es, mit Identitäten also der Summebildung bzw. der Produktbildung zu arbeiten. Vielleicht sind auch die Additionstheoreme von Vorteil.

so hier: für y=2x
cosx+cosy=sinx+siny = 2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
=cos[(x+y)/2]=sin[(x+y)/2]

aber irgendwie bringt das nichts.
Vielleicht hat ja wer von euch eine Idee smile
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

deine Rechung scheint soweit richtig zu sein, jedoch teilst du dann durch den cos-Term. Dabei musst du aber die fallunterscheidung machen, ob du nicht durch 0 teilst!dann kannst du folgendes machen:

1)
cos[(x+y)/2]=sin[(x+y)/2]
Resubstitutuion:

cos[(x+2x)/2] - sin[(x+2x)/2]=0
cos(3x/2) - sin(3x/2) = 0
cos²(3x/2) - 2sin(3x/2)cos(3x/2) + sin²(3x/2) = 0
Jetzt kannst du den trig. Pythagoras anwenden und dann nochmal ein Additionstheorem, dann solltest du es haben denke ich.

Soweit meine spontane Lösungsidee!
MaschSon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort aber irgendwie komm ich nicht auf
cos²(3x/2) - 2sin(3x/2)cos(3x/2) + sin²(3x/2) = 0
klar.Wie bist du darauf gekommen? Ich denke es wird ein Theorem sein.

Der trrig. Pythagoras sagt ja aus das 1 = sin2x + cos2x ist.
also müsste sich folgend die Funktion kürzen:
1-2sin(3x/2)cos(3x/2)=0
Richtig?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab einfach nur auf beiden Seiten quadriert, und das ist die 2. binomische Formel!
Und der trig. Pythagoras sieht so aus:



Gruß

Johnsen
MaschSon Auf diesen Beitrag antworten »

achso ..okay. habe ich verstanden

demnach ist folgend da bei mir heraus gekommen:
sin(3x/2)cos(3x/2)=0,5

sinx*cosx=0,5sin(2x) ist das Korrekt?
Demnach ist
0,5sin(3x)=0,5
sin(3x)=1
x=Pi/6 ...

Eine Frage hätte ich dazu noch,wie ist das mit dem 2.Fall zu handhaben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anwendung des 2. Add.Theoremes konsequent auf beiden Seiten ergibt



Nun ausklammern --> Null setzen







Nun die verbliebenen Terme gleichsetzen, durch dividieren, dies ist erlaubt, weil der Divisor in der Gleichung nicht Null werden kann, denn sonst wäre der gleich 1, und 1 ist nicht gleich Null.







Vorteil: Kein trigon. Pyth. und kein Quadrieren ist nötig, wodurch es zu falschen Lösungen kommen kann, weil das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Damit wurden auch beide Fälle behandelt.

mY+
 
 
MaschSon Auf diesen Beitrag antworten »

Super,vielen Dank für die Ausführung!
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