[WS] Wege & Wegintegrale

15.09.2010, 19:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Wege & Wegintegrale Der folgende Workshop gibt eine Einführung in das Thema der (reellen) Wege und Wegintegrale, wie sie beispielsweise für eine Analysis II - Vorlesung üblich ist. Inhaltsangabe: 1. Definition (Weg) 2. Beispiele für Wege 3. Riemann-Integral von Wegen 4. Weglänge 5. Wegintegrale 1. und 2. Art Anregungen nehme ich gerne per PN entgegen, für Nachfragen einfach einen entsprechend gekennzeichneten Thread im Analysis-Forum eröffnen.
16.09.2010, 11:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Definition (Weg) 1. Definition (Weg) Ein Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} E \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray} \gamma = \begin{pmatrix}\gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_n \end{pmatrix}: \underbrace{[a,b]}_{\subset \; \mathbb R} \to \underbrace{E}_{\subset \; \mathbb {R}^n} \end{eqnarray}$ Ein Weg ist also eine vektorwertige Funktion und ist stetig, falls jede Komponentenfunktion $\begin{eqnarray} \gamma_i: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ für alle i stetig ist. Weitere Definitionen: a) Man nennt $\begin{eqnarray} \gamma(a) \end{eqnarray}$ Anfangspunkt, $\begin{eqnarray} \gamma(b) \end{eqnarray}$ Endpunkt. b) Die Orientierung des Weges ergibt sich durch das Definitionsintervall: $\begin{eqnarray} \gamma(t_1) \end{eqnarray}$ kommt vor $\begin{eqnarray} \gamma(t_2) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} t_1 < t_2 \end{eqnarray}$ . Die Orientierung wird zumeist durch eine Pfeilspitze angedeutet, die in Richtung wachsender t-Werte zeigt. c) Die Bildmenge $\begin{eqnarray} \{\gamma(t) \; \| \; a \leq t \leq b \} \end{eqnarray}$ heißt Träger, Spur oder Kurve. Oft wird diese mit $\begin{eqnarray} \|\gamma\|, tr(\gamma) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} supp(\gamma) \end{eqnarray}$ abgekürzt. d) $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ heißt geschlossen, falls $\begin{eqnarray} \gamma(a) = \gamma(b) \end{eqnarray}$ . Jordanbogen (auch: Jordan-Weg, einfacher Weg, doppelpunktfreier Weg), falls $\begin{eqnarray} \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) \quad (t_1 \neq t_2) \end{eqnarray}$ . Jordankurve, falls $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ geschlossen und ein Jordanbogen ist.
16.09.2010, 13:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Beispiele für Wege 2. Beispiele für Wege a) Die Verbindung zwischen zwei Punkten A und B nennt man Strecke und hat folgende Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = A + t(B - A), \; 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left(\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Verbindet man mehrere Strecken miteinander (bildet man also die Strecke von einem Punkt A zu einem Punkt B weiter zu einem anderen Punkt C), erhält man einen Polygonzug. b) Folgender Weg parametrisiert einen Kreis (bzw. die Kreislinie) mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} (x_0, y_0) \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \; 0 \leq t \leq 2\pi \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) Polarkurven Polarkurven haben die allgemeine Form $\begin{eqnarray} \gamma(\theta) = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + r(\theta) \cdot \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray} r: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ . c.i) Um die Kardioide zu parametrisieren, wähle $\begin{eqnarray} r(\theta) = a(1 + \cos(\theta)), \; 0 \leq \theta \leq 2\pi ,\; a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \gamma(\theta) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2(1 + \cos(\theta)) \cdot \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c.ii) Um eine logarithmische Spirale zu erzeugen, wähle $\begin{eqnarray} r(\theta) = c^{\theta} (c > 1 \text{ oder } 0 < c < 1) \end{eqnarray}$ . Beispiele: $\begin{eqnarray} \gamma(\theta) = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2^{\theta} \cdot \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma(\theta) = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0,5^{\theta} \cdot \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d) Graph als Weg Den Graphen einer Funktion $\begin{eqnarray} f: [a, b] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ kann man auch als Weg interpretieren: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}t \\ f(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}t \\ t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e) Schraubenlinie Die Schraubenlinie wird durch einen dreidimensionalen Weg parametrisiert: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}r \cdot \cos(t) \\ r \cdot \sin(t) \\ h \cdot t\end{pmatrix},\; r > 0, \; h > 0 \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}2 \cdot \cos(t) \\ 2 \cdot \sin(t) \\ t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ [attach]16037[/attach] f) Astroide Die Astroide lässt sich durch den folgenden Weg darstellen: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix}\cos^3(t) \\ \sin^3(t)\end{pmatrix}, \; 0 \leq t \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ g) Zykloide $\begin{eqnarray} \gamma(t) = \begin{pmatrix} r \cdot t - r \cdot \sin(t) \\ r - r \cdot \cos(t)\end{pmatrix}, \; 0 \leq t \leq 2 \pi \end{eqnarray}$
20.09.2010, 12:43	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
3. Riemann-Integrale von Wegen 3. Riemann-Integrale von Wegen Sei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ein Weg. Man nennt Gamma integrierbar über [a,b], falls jede Komponentenfunktion integrierbar ist und setzt: $\begin{eqnarray} \int_a^b \gamma(t) dt := \left(\int_a^b \gamma_1(t) dt, \dots, \int_a^b \gamma_n(t) dt\right)^T = \sum_{i=1}^n \left(\int_a^b \gamma_i(t) dt\right) \cdot v_i \end{eqnarray}$ Dabei sei $\begin{eqnarray} (v_i)_{i=1, \dots, n} \end{eqnarray}$ eine beliebige, aber feste Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Der Einfachheit halber setzen wir $\begin{eqnarray} v_i := e_i = (0, \dots, 0, \underbrace{1}_{\text{i-te Stelle}}, 0, \dots, 0)^T \end{eqnarray}$ Aussersdem definieren wir, analog zum eindimensionalen Fall: $\begin{eqnarray} \int_b^a \gamma(t) dt := -\int_a^b \gamma(t) dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^a \gamma(t) dt := 0 \end{eqnarray}$ Wir nennen $\begin{eqnarray} F: [a,b] \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} F' = \gamma \end{eqnarray}$ ist. Dazu: Definition. Sei $\begin{eqnarray} F = (F_1, \dots, F_n)^T \end{eqnarray}$ ein Weg. Man nennt ihn stetig differenzierbar, falls jede Komponentenfunktion stetig differenzierbar ist. Wir setzen $\begin{eqnarray} F' = (F_1', \dots, F_n')^T \end{eqnarray}$ . Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Sei $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein stetiger Weg. Dann gilt: $\begin{eqnarray} F(t) = \int_c^t \gamma(t) dt \end{eqnarray}$ ist für jedes c eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . Es gilt für alle Zahlen $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ aus [a,b] und jede Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_{a_1}^{b_1} \gamma(t) dt = F(b_1) - F(a_1) \end{eqnarray}$ Beweis. Sei $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ fest. Für jede eindimensionale Komponentenfunktion $\begin{eqnarray} \gamma_i \end{eqnarray}$ gilt der Hauptsatz, es ist also $\begin{eqnarray} \int_c^t \gamma_i(t)dt = F_i(t) \; \forall \; i \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion der i-ten Komponente. Da das Integral komponentenweise definiert ist, folgt die Behauptung sofort aus $\begin{eqnarray} \int_{a_1}^{b_1} \gamma_i(t) dt = F_i(b_1) - F_i(a_1) \; \forall \; i \end{eqnarray}$ . Satz. Für einen integrierbaren Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \left\\|\int_{t_1}^{t_2} \gamma(t) dt\right\\| \leq \int_{t_1}^{t_2} \\|\gamma(t)\\| dt \; \forall \; t_1, t_2 \in [a,b] \end{eqnarray}$ Beweis. Setze $\begin{eqnarray} c := \int_{t_1}^{t_2} \gamma(t) dt \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = 0: \checkmark \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c \neq 0 : \\|c\\|^2 = c \int_{t_1}^{t_2} \gamma(t) dt = \int_{t_1}^{t_2} c \cdot \gamma(t) dt \leq \int_{t_1}^{t_2} \\|c\\| \cdot \\|\gamma(t)\\| dt = \\|c\\| \cdot \int_{t_1}^{t_2} \\|\gamma(t)\\| dt \quad \Box \end{eqnarray}$ Das Ungleichheitszeichen rechtfertigt sich durch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Beachte: Der Malpunkt bezeichnet hier teilweise das Standardskalarprodukt.
21.09.2010, 12:35	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 4. Weglänge 4. Weglänge Sei $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein stetiger Weg und $\begin{eqnarray} \mathcal Z: a = t_0, t_1, \dots, t_m = b \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} L(\mathcal Z) := \sum\limits_{j=1}^m\\|\gamma(t_j) - \gamma(t_{j-1})\\| \end{eqnarray}$ Dabei bezeichne $\begin{eqnarray} \\| \\| \end{eqnarray}$ (im Allgemeinen) die euklidische Norm. Die Weglänge ist dann als $\begin{eqnarray} L(\gamma) := \sup \{L(\mathcal Z)\; \| \; \mathcal Z \text{ ist Zerlegung von } [a,b]\} \end{eqnarray}$ definiert. Beispiel. Wir betrachten den Graphen einer Funktion als Weg: $\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases}t \cdot \cos\left(\frac{\pi}{t}\right), & 0 < t \leq 1 \\ 0, & t = 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Scheinbar besitzt dieser Weg eine endliche Länge, was aber nicht korrekt ist, wie wir nun beweisen: Wir wählen die Zerlegung $\begin{eqnarray} \mathcal Z = \{x_i \; \| \; i = 0, \dots, m\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 = 0, \; x_i = \frac{1}{m+1-i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(t_i) = \pm t_i, \; i \in \{1, \dots, m\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \\| \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) \\| \geq \|f(t_i) - f(t_{i-1})\| = \|t_i - t_{i-1}\| \geq t_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(\gamma) \geq L(\mathcal Z) = \sum\limits_{i=1}^m \\|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\\| \geq \sum\limits_{i=1}^m \frac{1}{m+1-i} = \sum\limits_{k=1}^{m} \frac{1}{k} \to \infty (m \to \infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ besitzt also unendliche Länge. Satz. Sei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ein stetig differenzierbarer Weg. Dann besitzt $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ endliche Länge und es gilt: $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int_a^b~\\|\gamma'(t)\\| dt \end{eqnarray}$ Dieser Satz wird in der Literatur auch oft als Definition angegeben. Beweis. Sei $\begin{eqnarray} \mathcal Z = \{t_0, \dots, t_m\} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von [a,b]. $\begin{eqnarray} \gamma' \end{eqnarray}$ ist stetig und die Ableitung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ und es gilt (mit Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung): $\begin{eqnarray} L(\mathcal Z) = \sum\limits_{j=1}^m\\|\gamma(t_j) - \gamma(t_{j-1})\\| = \sum\limits_{j=1}^m~\left\\|\int_{t_{j-1}}^{t_j}\gamma'(t) dt\right\\| \leq \sum\limits_{j=1}^m~\int_{t_{j-1}}^{t_j}\\|\gamma'(t)\\| dt = \int_a^b \\|\gamma'(t)\\| dt \end{eqnarray}$ Wir zeigen nun: $\begin{eqnarray} \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; \delta > 0 : \forall \; \mathcal Z \text{ Zerlegung von } [a,b]: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \\|\mathcal Z\\| < \delta \Rightarrow \int_a^b \\|\gamma'(t)\\| dt \leq\ L(\mathcal Z) + \varepsilon \end{eqnarray}$ Dabei sei $\begin{eqnarray} \\|\mathcal Z\\| := \max\{t_i - t_{i-1}\; \| \; t = 1, \dots, m\} \end{eqnarray}$ die Feinheit der Zerlegung. Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \gamma' \end{eqnarray}$ ist nach Voraussetzung stetig, also gleichmäßig stetig, da der Definitionsbereich ein kompaktes Intervall ist. Es existiert also ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \forall \; x_1, \; x_2 \in [a,b], \; \|x_1 - x_2\| < \delta \Rightarrow \\|\gamma'(x_1) - \gamma'(x_2)\\| < \frac{\varepsilon}{b-a} \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} \mathcal Z = \{t_0, \dots, t_m\} \end{eqnarray}$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls [a,b] mit $\begin{eqnarray} \\|\mathcal Z\\| < \delta \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \\|\gamma'\\| \end{eqnarray}$ ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig, und es existieren für alle i Punkte $\begin{eqnarray} \xi_i \in [t_{i-1},t_i] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|\gamma'(t)\\| \leq \\|\gamma'(\xi_i)\\| \; \forall \; t \in [t_{i-1},t_i] \end{eqnarray}$ Auch anschaulich ist dies klar: Es existiert in jedem der Teilintervalle ein Punkt, an dem der Weg am stärksten ansteigt. Nun haben wir alle Voraussetzungen, die wir benötigen und es gilt für alle i: $\begin{eqnarray} \\|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\\| = \left\\| \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)dt\right\\| \geq \left\\|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(\xi_i) \right\\| - \left\\| \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(\xi_i)dt - \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t) dt\right\\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (t_i - t_{i-1}) \cdot \\|\gamma'(\xi_i)\\| - \left\\| \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(\xi_i) - \gamma'(t)dt \right\\| \geq (t_i - t_{i-1}) \cdot \\|\gamma'(\xi_i)\\| - \int_{t_{i-1}}^{t_i}\\|\gamma'(\xi_i) - \gamma'(t)\\|dt \end{eqnarray}$ Der Ausdruck unterhalb des Integralszeichen lässt sich nun wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $\begin{eqnarray} \\|\gamma'\\| \end{eqnarray}$ abschätzen, immerhin gilt $\begin{eqnarray} \|\xi_i - t\| \leq \|t_i - t_{i-1}\| \leq \\|\mathcal Z \\| < \delta \; \forall \; t \in [t_{i-1}, t_i] \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \\|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\\| \geq (t_i - t_{i-1}) \cdot \\|\gamma'(\xi_i)\\| - \frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (t_i - t_{i-1}) \geq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\\|\gamma'(t) dt\\| - \frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (t_i - t_{i-1}) \end{eqnarray}$ Nun summieren wir über alle i und es ergibt sich die gewünschte Aussage: $\begin{eqnarray} L(\mathcal Z) = \sum_{i=1}^m~\\|\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})\\| \geq \sum_{i=1}^m \int_{t_{i-1}}^{t_i}\\|\gamma'(t) dt\\| - \frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (t_i - t_{i-1}) = \int_{a}^b~\\|\gamma'(t)\\| dt - \varepsilon \quad \Box \end{eqnarray}$ Beispiele. Im folgenden werden die Längen einiger der oberen Wege berechnet: a) Strecke von (1,0) nach (2,1): $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int_0^1 \left\\|\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\\| dt = \int_0^1 \sqrt{2}dt = \sqrt{2} \cdot t\;\bigg\vert_0^1 = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ b) Kreis mit Radius r: $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int_0^1 \left\\|\begin{pmatrix}-r \cdot \sin(t) \\ r \cdot \cos(t) \end{pmatrix}\right\\| dt = \int_0^1 \sqrt{r^2 \cdot (\sin^2(t) + \cos^2(t)})dt = \int_0^{2 \pi}r dt=r \cdot t \bigg\vert_{0}^{2 \pi} = 2 \pi r \end{eqnarray}$ c) Graph als Weg: Als Länge ergibt sich die bekannte Formel $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int_a^b \left\\| \begin{pmatrix}1 \\ f'(t) \end{pmatrix}\right\\|dt = \int_{a}^b \sqrt{1 + (f'(t))^2} dt \end{eqnarray}$ d) Schraubenlinie, von 0 bis T: $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int\limits_0^T \left\\|\begin{pmatrix}-r \cdot \sin(t) \\ r \cdot \cos(t) \\ h \end{pmatrix}\right\\| dt = \int_0^T \sqrt{r^2 \cdot (\sin^2(t) + \cos^2(t)) + h^2}\;dt = \sqrt{r^2 + h^2} \cdot t \bigg\vert_0^T = \sqrt{r^2 + h^2} \cdot T \end{eqnarray}$
24.09.2010, 10:59	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
5. Wegintegrale 1. und 2. Art 5. Wegintegrale 1. und 2. Art Definition. Sei $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein (zumindest stückweise) stetig differenzierbarer Weg (ein Integrationsweg) und $\begin{eqnarray} f: \|\gamma\| \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und $\begin{eqnarray} v: \|\gamma\| \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ stetig. Dann: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}f(x) ds = \int_{\gamma}f ds = \int_a^bf(\gamma(t)) \cdot \\|\gamma'(t)\\| dt \end{eqnarray}$ (Kurvenintegral 1. Art bzw. Integral nach der Bogenlänge). Im Allgemeinen rechnet man hier mit der euklidischen Norm. $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}v(x) \cdot dx = \int_a^bv(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt \end{eqnarray}$ (Kurvenintegral 2. Art). Der Malpunkt bezeichnet auch hier das Standardskalarprodukt. Sei $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein Integrationsweg. Dazu sei $\begin{eqnarray} \gamma^{-} \end{eqnarray}$ der Weg $\begin{eqnarray} t \mapsto \gamma(-t), \; t \in [-b, -a] \end{eqnarray}$ . Satz. In obiger Situation gilt für das Kurvenintegral 1. Art $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}f ds = \int_{\gamma^{-}}f ds \end{eqnarray}$ . Beweis. Berechne das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray} \gamma^{-} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_{\gamma^{-}}f ds =\int_{-b}^{-a}f(\gamma^{-}(t)) \cdot \\|(\gamma^{-})'(t)\\|dt = \int_{-b}^{-a}f(\gamma(-t)) \cdot \\|- \gamma'(-t)\\| dt = \int_{-b}^{-a}f(\gamma(-t)) \cdot \\|\gamma'(-t)\\| dt = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{vmatrix}u = -t \\ du = -dt \end{vmatrix} = -\int_b^a f(\gamma(u)) \cdot \\|\gamma'(u)\\| du =(-1)^2\int_a^b f(\gamma(u)) \cdot \\|\gamma'(u)\\| du = \int_{\gamma} f ds \; \Box \end{eqnarray}$ Satz. In obiger Situation gilt für das Kurvenintegral 2. Art $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}v(x) \cdot dx = -\int_{\gamma^{-}}v(x) \cdot dx \end{eqnarray}$ . Beweis. Bereche das Kurvenintegral 2. Art über $\begin{eqnarray} \gamma^{-} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_{\gamma^{-}}v(x) \cdot dx = \int_{-b}^{-a}v(\gamma^{-}(t)) \cdot (\gamma^{-})'(t) dt = \int_{-b}^{-a}v(\gamma(-t)) \cdot -\gamma'(-t)dt = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix}u -t \\ du =-dt\end{vmatrix} = \int_{b}^{a}v(\gamma(u)) \cdot \gamma(u) du = -\int_a^b v(\gamma(u)) \cdot \gamma(u) du = -\int_{\gamma}v(x) \cdot dx \; \Box \end{eqnarray}$ Bemerkungen. Es gilt offenbar $\begin{eqnarray} L(\gamma) = \int_{\gamma}ds \end{eqnarray}$ . Es lässt sich zeigen, dass die Definitionen der Wegintegrale wohldefiniert sind, d.h., dass der Wert des Integrals nicht von der Parametrisierung abhängt. Solange der Träger der jeweiligen Funktionen identisch ist, ergibt sich der selbe Wert. Als Beispiele seien hier die beiden Wege $\begin{eqnarray} \gamma_1(t) = \begin{pmatrix}t \\ t^2 \end{pmatrix}, \; t \in [1,2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2(t) = \begin{pmatrix}2 \cdot t \\ 4 \cdot t^2\end{pmatrix}, \; t \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \end{eqnarray}$ genannt, die denselben Träger besitzen. - $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}v(x) \cdot dx \end{eqnarray}$ bezeichnet die Arbeit, die ein Objekt der Masse 1 verrichtet, um das Vektorfeld v vom Anfangs- zum Endpunkt entlang des Trägers von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ zu durchqueren. Dies ist auch mit der Eigenschaft des Wegintegrales, bei Umkehrung der Durchlaufrichtung des Weges das Vorzeichen zu ändern, konsitent: Wird in der einen Durchlaufrichtung viel Arbeit benötigt, dann wird beim Durchqueren des Vektorfeldes in die andere Richtung keine benötigt.
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