Hermitescher Operator

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mzh Auf diesen Beitrag antworten »
Hermitescher Operator
Hallo zusammen
Aus Szabo/Ostlund, Aufgabe 1.4e.
Show: If is Hermitian, then , if it exists, is also hermitian.
Das würde bedeuten:

Ich brauche eigentlich nur einen Tipp für den Anfang... Wie soll man da am besten vorgehen?
mzh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermitescher Operator
Hm, hab ich hier gerade die Lösung gefunden? Vorausgesetzt wird, das , also dass die beiden Operationen inv() und adj() kommutieren (korrekt?).

Daraus ergibt sich:
Wenn und , dh. und da wir von einem hermiteschen Operator ausgehen, . Stimmt das so?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage.
Zitat:
Vorausgesetzt wird, das , also dass die beiden Operationen inv() und adj() kommutieren (korrekt?).


Wo wird das in deinem Text denn vorausgesetzt? verwirrt

Da steht doch nur, dass A hermitisch und invertierbar ist. Ist schon Vorwissen aus a-d ggf. vorhanden. Kenne das Buch nicht.
Rmn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Wenn man nicht weiß, wo man anfangen soll, fängt man bei Definitionen an. Inverse . Wie siehts mit adjungiertem dazu aus?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Operator A ist hermitisch, wenn gilt:

Bei einem hermitischen Operators A ist es also egal, ob er innerhalb des Skalarproduktes auf den 1.Faktor x wirkt oder auf den 2.Faktor y, denn es kommt in beiden Fällen das gleiche Skalarprodukt 'raus. Speziell bei reellen Matrizen ist Hermitizität gleichbedeutend mit Symmetrie.

Zum Beweis, dass auch der inverse Oerator hermitisch ist, führe in der obigen Definition folgende Variablen ein, die wir mit Strich kennzeichnen:




Umstellen ergibt




Setz' diese 4 Gleichungen mal oben ein...
mzh Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten vorläufig. Ich schaus mir am Abend genau an, dann komm ich womöglich darauf zurück.
 
 
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
hermitisch

Zitat:
Original von Ehos
hermitisch
[...]hermitischen
[...]Hermitizität
[...] hermitisch

Nach Charles Hermite wurden die hermiteschen Operatoren benannt. smile

Die bisherigen Tipps zielen mehr darauf ab, dass der inverse Operator auch symmetrisch ist. Für Selbstadjungiertheit brauchst du aber auch den identischen Definitionsbereich, guck also ob das auch erfüllt ist.
mzh Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos
Danke, ich glaube durch deinen Beitrag habe ich das lösen können.

Ich fasse das nochmals zusammen:
Für einen Hermiteschen Operator gilt adj(A) = A. Offenbar, und das habe ich nicht gewusst, lässt sich das auch so formulieren, dass <Ax|y> = <x|Ay> für einen Hermiteschen Operator gilt.
Wenn wir nun definieren, dass
A x = x'
A y = y' und sinngemäss
x = A^-1 x'
y = A^-1 y'

dann ergibt sich daraus nach Einsetzen in der Gleichung oben
<A A^-1 x' | A^-1 y'> = <A^-1 x' | A A^-1 y'>
und daraus folgt nach Anwendung von A^-1 A = I
<x' | A^-1 y'> = <A^-1 x' | y'>. Damit ist A^-1 auch hermitesch (in den genannten Gleichungen besteht der Exponent (^) immer nur aus der unmittelbar folgenden -1).
Vielen Dank für die Hilfe.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mzh
<x' | A^-1 y'> = <A^-1 x' | y'>. Damit ist A^-1 auch hermitesch

Falsch, damit ist erst mal nur symmetrisch.

Hermitesch impliziert selbstadjungiert, was eine Aussage über die Definitionsbereiche des Operators und seines Adjungierten macht. Welche?

Das ist auch garnicht so trivial zu zeigen wie die Symmetrie, ich selbst knobel auch noch dran. Wollte auch nur damit aufzeigen, dass du noch lange nicht fertig bist... (es sei denn du bist Physiker, die meisten dort machen keinen Unterschied zwischen hermitesch und symmetrisch, wofür sie dann auch zurecht ausgelacht gehören)
Rmn Auf diesen Beitrag antworten »

In Physik ist ein hermitescher Operator durch folgende Bedingungen definiert:
1)
2)
mit
: Menge aller , für die ein existiert mit:

PS: Sein Buch ist Quantenmechanik für Chemiker, er kann ruhig mit

schlafen.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Da wird sich wohl kaum eine einheitliche Definition finden. In meinen Büchern findet sich nicht deine pragmatische Beschränkung der Definitionsbereiche auf den ganzen Hilbertraum* und "hermitesch" heißt der Operator dort wenn der adjungierte ihn erweitert, was man normalerweise symmetrisch nennen würde. Auf Wikipedia findet sich die Definition über linear+s.a., was man meistens in der Physik auch benötigt für den Spektralsatz z.B.

*wodurch natürlich symmetrisch und selbstadjungiert äquivalent werden, dafür aber der Impulsoperator als hermitescher Operator z.B. nicht mehr existiert (der Begriff wird also relativ nutzlos, da man dann für sowas noch einen extra Begriff einführen muss)

Ist also im Endeffekt die Frage, was der OP für eine Definition von hermitesch hat. Vllt gibt er sich mit dieser für diesen Bereich typischen semi-richtigen (und damit mathematisch komplett falschen) Rumdruckserei bezüglich echter Selbstadjungiertheit auch zufrieden, mich persönlich würde aber interessieren ob der Satz für echte selbstadjungierte Operatoren noch stimmt.
mzh Auf diesen Beitrag antworten »

An alle bisherigen Poster, vielen Dank für die zum Teil sehr ausführlichen Antworten. Es ist in Ordnung wenn ich die Frage so beantworte, dass man in der Theoretischen Chemie zufrieden wäre. Damit ist die Antwort von Rmn wohl ausreichend. Besten Dank dafür.
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