Newton-Cotes Formel und Simpson-Regel Aufgabe
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16.09.2010, 15:52 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Cotes Formel und Simpson-Regel Aufgabe
Meine Frage:
Hallo miteinander!

folgende Aufgabenstellung verwirrt mich:

Berechne einen Näherungswert für ln(2) mit der Newton-Cotes Formel, sowie mit der Simpson-Regel.

Integral(0-1) dx/1+x = 1/90( 7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1) )



Meine Ideen:

Zunächst mal, ist ln(2) das beschriebene Integral oder muss ich dass in dx einsetzen?

Was genau mit Newton-Cotes Formel gemeint ist, weiß ich nicht - ich dachte das ist ein Überbegriff für die verschiedenen Formeln...

Simpson-Regel:
ich habe so umgestellt: dx/1+x => (1/1+x)*dx

f(x)=(1/1+x)

dx = 1-0 / 4 = 0.25

ignoriere ich für die Simpson-Regel die Multiplikatoren von oben (7,32,12,32,7) und setze die "richtigen" Werte ein?

Simpson: 1/12 [( 1(f(0)+f(1)) + 4(f(1/4)+f(3/4)) + 2(f(1/2) )]

1/12[14.5] = 1.20833

hoffe ich liege nicht ganz falsch, aber stört euch nicht daran :-)
16.09.2010, 15:58 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Cotes Formel und Simpson-Regel Aufgabe
Bitte ganz schnell mit dem Formeleditor vertraut machen. So mag man das nicht lesen. Augenzwinkern

Die Theorie. ln(2) als Integral darstellen:



Die Näherung mit numerischer Integration. [WS] Numerische Integration - Theorie Dabei ist die Simpson-Regel doch selbst schon eine Newton-Coates Formel!

Zitat:
Integral(0-1) dx/1+x = 1/90( 7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1) )


Stand das fette in der Aufgabe oder kommt es von dir?
16.09.2010, 16:03 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich bemüht das nochmal ordentlich hinzuschreiben Wink

16.09.2010, 16:04 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Cotes Formel und Simpson-Regel Aufgabe
Zitat:
Original von tigerbine

Zitat:
Integral(0-1) dx/1+x = 1/90( 7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1) )


Stand das fette in der Aufgabe oder kommt es von dir?
16.09.2010, 16:08 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

das "fette" steht so in der Aufgabe, außer dass das = ein "ungefähr"-Zeichen ist :-)
16.09.2010, 16:11 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann soll das imho die (spezielle) Newton-Coates Formel sein. Du musst ja nur einsetzen und ausrechnen. Es ist:
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16.09.2010, 16:14 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

danke, also verändere ich die Ausgansformel überhaupt nicht, sondern setze nur ein.

Stimmt denn meine Berechnung mit der Simpson-Regel?
16.09.2010, 16:30 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

-nein, ln(2) mal schnell im TR, dann musst du das schon erahnen.

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

Simpsonregel, n=2
----------------
f(a)= 1
f((a+b)/2)= 2/3
f(b)= 1/2
 
IS=(b-a)/6 * (f(a)+ 4*f((a+b)/2) + f(b))
  =([1]-[0])/6 * ([1] + 4*[0.666667] + [0.5]) 
  =0.694444
16.09.2010, 16:55 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist,

dann hoffe ich das 0.6931 für Simpson und 0.69302 für NW stimmt.
16.09.2010, 16:57 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Ergebnis für Simpson lautet anders. Die "fette" Formel rechne ich nun nicht nach. Augenzwinkern
16.09.2010, 16:58 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

wieso rechnest du b-a/6 und nicht b-a/4 ?
16.09.2010, 17:02 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Regel so lautet? verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel
16.09.2010, 17:18 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...dann nutze ich wohl die "Alternative Formulierung (s. wikipedia) wobei n=4



wobei ich n=4 nehme.

also
16.09.2010, 17:24 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine summierte Formel. Das ist doch was anderes.
16.09.2010, 17:32 DanielW Auf diesen Beitrag antworten »

steht leider nicht überall dabei verwirrt

aber vielen Dank für all die Erklärungen - jetzt komm ich sicher besser zurecht!! Wink
16.09.2010, 17:50 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So soll es sein. Wink
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