Summenberechnung/Potenzgesetze

17.09.2010, 11:58

Gastro

Summenberechnung/Potenzgesetze

hey, hab ein kleineres problem, bin wohl zu blöd ne summe zu berechnen oder potenzgesetze anzuwenden^^
die aufgabe ist die:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{1+k)^{-1/3} } \end{eqnarray*}$

da kann ich ja das -1/3 nach unten ziehen und die klammer ausmultiplizieren und dann dann aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty 8^{-1/3}*8^{-k/3} \end{eqnarray*}$

der erste teil beudeutet ja nichts anderes als 1/2 und das kann ich ja vor die summe ziehen, dann siehts so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \sum\limits_{k=2}^\infty 8^{-\frac{k}{3} } \end{eqnarray*}$

dann komme ich aber schon nicht weiter, oder hab ich schon nen groben schnitzer drin?

17.09.2010, 12:11

Gastro

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RE: Summenberechnung/Potenzgesetze
sry, ist im falschen unterforum gelandet, wäre jemand so nett und verschiebt es?

17.09.2010, 12:11

klarsoweit

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RE: Summenberechnung/Potenzgesetze
Das nicht, aber auch bei der 2. Potenz helfen die Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} 8^{-\frac{k}{3} } = (8^{-\frac{1}{3}})^k \end{eqnarray*}$

Vielleicht wäre eine Indexverschiebung k = n-1 geschickter gewesen.

17.09.2010, 12:12

Johnsen

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Deine Schritte bis hierher sollten stimmen. Jetzt denk dran:

$\begin{eqnarray*} x^{-k}= \left(\frac{1}{x}\right)^k \end{eqnarray*}$

17.09.2010, 12:26

Gastro

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Klausur
ach du schande,ich glaube ich hab den kanll endlich gehört, ich habs bei der 8^-1/3 ja schon gemacht, aber es geht natürlich auch leichter, wenn ich nicht flasch liegen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{1+k})^{-\frac{1}{3} }= \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{-\frac{1}{3} })^{1+k}=\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{2} ^{1+k}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2} ^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2} ^{k}:\frac{1}{2}^{1}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2} ^{k}*2=2*\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2} ^{k} \end{eqnarray*}$

und dann nur noch geom. reihe, oder???

17.09.2010, 12:28

Gastro

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Klausur
ach du schande,ich glaube ich hab den kanll endlich gehört, ich habs bei der 8^-1/3 ja schon gemacht, aber es geht natürlich auch leichter, wenn ich nicht flasch liegen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{1+k})^{-\frac{1}{3} } = \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{-\frac{1}{3} })^{1+k} =\sum\limits_{k=2}^\infty (\frac{1}{2}) ^{1+k} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k-1} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k}<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> \frac{1}{2})^{1} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k}*2 =2*\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k} \end{eqnarray*}$

und dann nur noch geom. reihe, oder???

17.09.2010, 12:32

Gastro

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so jetzt nochmal, editieren ohne angemeldet zu sein ist ja relativ schlecht smile

ach du schande,ich glaube ich hab den kanll endlich gehört, ich habs bei der 8^-1/3 ja schon gemacht, aber es geht natürlich auch leichter, wenn ich nicht flasch liegen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (8^{1+k})^{-\frac{1}{3} } =\sum\limits_{k=2}^\infty (8^{-\frac{1}{3} })^{1+k} =\sum\limits_{k=2}^\infty (\frac{1}{2}) ^{1+k} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

17.09.2010, 12:36

Cottec

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oh man, es tut mir echt leid unglücklich

bin wohl zu blöde das zu bedienen^^
das latex kommt mit dem : nicht so gut klar, kann das sein???

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k} : (\frac{1}{2})^{1} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k}*2 =2*\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k} \end{eqnarray*}$

17.09.2010, 12:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastro
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=2}^\infty (\frac{1}{2}) ^{1+k} =\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

Die Indexverschiebung ist leider mißglückt.

Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Das sieht sonst im IE ziemlich blöde aus.

17.09.2010, 12:51

Cottec

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oh okay, so besser?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{2}*(\frac{1}{2}) ^{k}=\frac{1}{2}*\sum\limits_{k=2}^\infty (\frac{1}{2})^{k}=\frac{1}{2}*\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{k+2}=\frac{1}{2}*\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{k}*\frac{1}{4}=\frac{1}{8} \sum\limits_{k=2}^\infty (\frac{1}{2}) ^{k} \end{eqnarray*}$

17.09.2010, 13:07

Cottec

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der letzte index muss natürlich auch 0 lauten

17.09.2010, 13:15

Johnsen

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Ja, so sollte es stimmen, wenn der letzte Index k=0 heißt. Jetzt noch die geo. Reihe.

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