minimalen Umfang berechnen |
| 18.09.2010, 12:42 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| minimalen Umfang berechnen ich hab ne Matheaufgabe, mit der ich nicht so ganz klar komme. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Ein Rechteck (als Rechteck geht auch ein Quadrat) soll den Flächeninhalt 10cm² erhalten. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat? Ich hätte ne Idee, aber damit klappt das irgendwie nicht. Es gibt ja diese Formeln: A=a x b und U=2a x 2b Ich weiß ja, dass der Flächeninhalt 10cm² sind, deswegen muss ich also die anderen Seiten ausrechnen. Ich habe das jetzt erst so gemacht, sodass ich in die Formel für A, für das A einfach 10cm² eingesetzt habe. Dann würde da also: 10cm²=a x b stehen. Dann hab ich, um die Seite a herauszukriegen, die Gleichung nach a umgestellt, also a=10/b Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. wenn ich 10/b in die Umfangformel einsetze, kommt U(a)=2(10/b) + 2b heraus, und damit kann ich jetzt nichts mehr anfangen, weil ich immer noch zu viele Unbekannte habe. Was tun??? lg^^ |
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| 18.09.2010, 12:48 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk mal dran, wie man ein Extrema einer Funktion: U(b) = 2*(10/b)+2b herausbekommt. |
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| 18.09.2010, 13:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man hat nur eine Unbekannte b, U(b) ist die Funktion, welche zu optimieren ist. @Johnsen Ein Extremum, mehrere Extrema mY+ |
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| 18.09.2010, 13:37 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Latinum verstaubt ^^ Danke! |
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| 18.09.2010, 13:51 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey also eigentlich bekommt man ja Extrema heraus, indem man die Gleichung =0 setzt oder die erste Ableitung macht. Muss ich zuerst die Ableitung machen? Wenn ich jetzt ableite, habe ich U'(b)=2(-10/b²) + 2 und jetzt? |
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| 18.09.2010, 13:53 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt die Ableitung 0 setzen und mögliche Extrempunkte herausfinden! |
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| 18.09.2010, 14:25 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, hab die Gleichung jetzt =0 gesetzt. 0=2(-10/x²)+2 0=-20/2x²+2 2x²=-20+2 (2x²=-18) x²= -9 x=wurzel -9 und jetzt? mann kann keine Wurzel aus -9 machen...:-( |
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| 18.09.2010, 14:30 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vom 2. auf den 3. schritt stimmts nicht! du nimmst mit 2x² mal, aber vergisst dann mit dem lezten Summanden rechts zu multiplizieren und 0*irgendwas ist immer was? |
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| 18.09.2010, 14:38 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aso, also darf ich die 2x² nicht auf die linke Seite tun, weil da eine Null steht und 2x² dann ja 0 ergeben würde? Ich weiß aber nicht, wie ich das x jetzt auflösen soll. Es kommt immer darauf hinaus, dass ich wurzel minus noch was bekomme. |
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| 18.09.2010, 14:43 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Gleichung sieht ja wie folgt aus: Du kannst jetzt: 1) Den bruch auf die andere Seite bringen, Kehrbruch und dann nach x auflösen. 2) Mit x² multiplizieren und dann auflösen. Wie kommst du eig. auf die 2x² im Nenner? es ist einfach nur x²! Und nennen wir es ab sofort b, denn wir leiten ja nach der Variable b ab und wollen deren Ergebnis wissen! |
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| 18.09.2010, 15:03 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab methode 1 angewandt: 0=-20/2x²+2 -2x²/-20=2 -2x²=-40 x²=20 x=4,47 d.h. dass dann ja seite b=4,47 cm lang ist. bevor ich weiter rechne, ist das richtig? |
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| 18.09.2010, 15:05 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein stimmt nicht, da du im Nenner 2x² hast, es aber nur x² heißt! |
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| 18.09.2010, 15:12 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hä? 0=-20/2x²+2 -2x²/-20=2 -2x²=-40 -> ist hier der Fehler? ich hab aber doch die -2 schon durch die -40 geteilt, und dann steht auf der linken seite ja schließlich x² x²=20 x=4,47 |
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| 18.09.2010, 15:14 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich zitiere aus einem deiner vorhergehenen Posts:
das musst du 0 setzen. irgendwie hast du es aber geschafft, diese Formel zu foldender FALSCHEN zu machen: U'(b)=2(-10/2b²) + 2 Aber es stimmt nur diese: U'(b)=2(-10/b²) + 2 = 0 |
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| 18.09.2010, 15:18 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie, darf man die 2 nur mit -10 multiplizieren??? ich dachte immer, mann muss mit Zähler und Nenner multiplizieren... d.h. die wäre dann: U'(b)=(-20/b²) + 2 ??? |
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| 18.09.2010, 15:21 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja klar, also ich setze schon voraus, dass man, wenn man solche Aufgaben rechnen soll, die Grundrechenarten versteht! Denn was du gerechnet hast, war im Endeffekt nutzlos, da du ja die 2 im Zähler und Nenner wieder kürzen könntest! |
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| 18.09.2010, 15:32 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eine Frage: wenn ich jetzt die -20/x² auf die linke Seite tue, muss ich die Zähler und Nenner ja verstauschen, oder? kommt dann bei der -20 das Minus weg, oder bleibt das? Denn wenn ich das jetzt so schreibe: x²/-20 = 2 , hab ich wieder genau das gleiche Problem wie eben, dass ich dann auf der rechten seite, wenn ich die -20 rüber tue, -40 habe und nicht die wurzel ziehen darf. ps: sorry, dass ich so viele unnötige fragen stelle, aber ich hab mathe noch nie so wirklich gekonnt:-/ |
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| 18.09.2010, 15:35 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt kannst du den Bruch mit auf die andere Seite bringen. Jetzt erst den Kehrbruch! |
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| 18.09.2010, 15:41 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
TADA, ich habs 
b²/20 = 1/2 b²= 10 b= 3,16 das heißt ja, dass dan die andere seite des Rechtecks auch 3,16 cm lang ist, denn 3,16 * 3,16 sind ja 10cm² D.h. der Umfäng wären 12,64 cm |
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| 18.09.2010, 15:46 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du es formal richtig machen willst, bekommst du ja folgendes heraus: Jetzt bekommst du für U'(b)=0 zwei Lösungen: nämlich . Einerseits kann man sagen, dass das - unsinnig wäre, da es keine negativen Längen gibt. Du bweist formal richtig, dass, wenn du in die 2. Ableitung einsetzt, dass , also ein wirkliches Minimum!! Das heißt also, dass ein Rechteck, dass zu einer vorgegebenen Fläche den Minimalen Umfang haben soll, ein QUADRAT sein muss! Gruß Johnsen |
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| 18.09.2010, 15:59 | black*rose | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tausend Dank für deine Hilfe, ich hab es jetzt verstanden
Gruß black*rose |
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