Sind diese Beweise so ok?

19.09.2010, 14:04

Klaus234

Sind diese Beweise so ok?

Meine Frage:
Bitte mal kurz durchchecken
1:
Beweise: $\begin{eqnarray*} \nexists x,y \in \mathbb R: x+1=1=x*y \end{eqnarray*}$
Ist der Beweis so korrekt geführt?
2:
Zeige, $\begin{eqnarray*} n²+n+1 \end{eqnarray*}$ für kein n Element N eine gerade Zahl ist
3:
Zeige: $\begin{eqnarray*} n\leq 2^{n-1} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
müsste man hier noch was extra beweisen oder reicht die unten genannte Aussage?

viele Grüße

Meine Ideen:
zu 1:

$\begin{eqnarray*} x+1=1 \Leftrightarrow x=0; x*y=0 \Leftrightarrow 0*y=0 \neq 1; q.e.d. \end{eqnarray*}$

zu 2:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} 2\nmid (n²+n+1) \end{eqnarray*}$ für n Element N
Beweis:
$\begin{eqnarray*} n²+n+1=n(n+1)+1 \end{eqnarray*}$
Da entweder $\begin{eqnarray*} 2\mid n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2\mid (n+1) \end{eqnarray*}$ gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} 2\mid n(n+1)= 2\mid (n²+n) \end{eqnarray*}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray*} 2\nmid n(n+1)+1 = 2\nmid (n²+n+1) \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} n²+n+1 \end{eqnarray*}$ eine ungerade Zahl. Q.e.d.

zu 3:

$\begin{eqnarray*} n\leq 2^{n-1} \Leftrightarrow n\leq 2^{n} *2^{-1} \Leftrightarrow 2n\leq 2^{n} q.e.d \end{eqnarray*}$

19.09.2010, 14:15

Zellerli

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Zu 1.)
Der letzte Äquivalenzpfeil stimmt so nicht (prüfe mal von rechts nach links).
Du könntest aber den vorletzten "Schritt" einfach weglassen.

Zu 2.)
Der erste Schluss wäre mir jetzt zu schnell. Da würde ich deutlich eine 2 "vorziehen" um zu zeigen, dass das in jedem Fall gerade ist.
Aber ist vielleicht subjektiv.

Zu 3.)
Du sagst:
Klar gilt $\begin{eqnarray*} n\leq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ , denn das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} 2n\leq 2^{n} \end{eqnarray*}$ ?!

Nej nej nej, so geit dat ne!

Denke um die Induktion kommst du hier nicht herum, es sei denn ihr habt einen entsprechenden Satz schon bewiesen (sodass diese einfache Umformung reichen würde, weil die letztere Form bewiesen ist).

19.09.2010, 14:24

tmo

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Bei so einer elementaren Aussage wie der 1) muss man direkt über die Körperaxiome gehen bzw. über direkte Folgerung von diesen. Und die sollte man dann auch benennen. Sonst würde ich so einen Beweis nicht akzeptieren.

Und bei der 3) könntest du um eine Induktion herumkommen, wenn ihr schon die bernoullische Ungleichung hattet.

19.09.2010, 15:04

klaus234

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vielen dank!

wir hatten weder körperaxiome noch bern. ungleichungen....

Wenn ich das ganze per vollst. Ind. machen muss, komme ich aber nicht auf den Term, der die Behauptung darstellt. (was ja , so wie ich das mitbekommen habe, ziel (abgesehen davon, dass man zeigen will, das eine Aussage für alle n element N gilt) der vollst. Induktion ist)
Ich lande bei $\begin{eqnarray*} n\leq 2^{n-1}*2-1 \end{eqnarray*}$ was != der Behauptung ist....

19.09.2010, 15:34

Zellerli

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Du zeigst es nicht direkt für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern du zeigst, dass - vorausgesetzt die Aussage gilt für ein beliebiges (aber festes) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - sie auch für den Nachfolger $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Also:
Induktionsanfang:
Du beweißt die Aussage für ein ganz konkretes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (das ist dann der Ausgangspunkt, von dem aus man auf die nachfolgenden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schließen kann). Also am besten für das kleinste mögliche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Induktionsannahme:
Die Aussage gelte für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschluss:
Die Aussage gilt dann auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .
Du beweißt also die Aussage für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ . Dabei verwendest du in jedem Fall die Annahme (nämlich, dass sie schon für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt).

Also der Gedanke ist:
Du hast gezeigt, dass wenn die Aussage für eine natürliche Zahl gilt, sie auch für ihren Nachfolger gilt. Gilt sie für ihren Nachfolger gilt sie auch für deren Nachfolger. Usw. Und wenn man bei der kleinsten natürlichen Zahl mit der Kette anfängt, hat man mit dieser Methode alle natürlichen Zahlen abgedeckt.

19.09.2010, 16:34

klaus234

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Danke!
Also noch ein Versuch und diesmal wird mit der Annahme gearbeitet:

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} n\leq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} 0\leq 2^{0-1} =0,5 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: n->n+1
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2*n = n+n \geq (n+1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ w.z.b.w.

19.09.2010, 21:25

Abakus

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Zitat:

Original von klaus234
Induktionsschritt: n->n+1
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2*n = n+n \geq (n+1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ w.z.b.w.

Hallo!

Wo geht hier die IV ein und was ist die Induktionsbehauptung? Ich denke, das tut es noch nicht.

Grüße Abakus smile

19.09.2010, 21:29

gast2323

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die IB ist n mal 2 genommen und 2^n-1 ebenfalls mal zwei genommen was zu 2^n+1-1 führt = IV ???

19.09.2010, 21:34

Abakus

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Zitat:

Original von gast2323
die IB ist n mal 2 genommen und 2^n-1 ebenfalls mal zwei genommen was zu 2^n+1-1 führt = IV ???

Das müsstest du bitte schon richtig hinschreiben, so ist es mir nicht klar, was gemeint ist.

Grüße Abakus smile

21.09.2010, 19:59

klaus56

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Hallo Abakus
Sorry, ich war in Eile, hier nochmal und in ruhe:
IA=Induktionsanfang
IV=Induktionsvorraussetzung
IS=Induktionsschritt
ZZ=Zu zeigen

Zeige: $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}\geq n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} n=1:2^{0} \geq 1 \Leftrightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$
IV: $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}\geq n \end{eqnarray*}$ sei wahr
IS: $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

ZZ: $\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)-1}\geq n+1 \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)-1}=2^{n-1}*2\geq 2n=n+n\geq n+1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\leq 1 \end{eqnarray*}$

für 0 kann man den direkten Beweis machen

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}*2\geq 2n \end{eqnarray*}$ die IV wobei die IV mal 2 genommen wurde....

oder verstehe ich das Prinzip falsch???

viele Grüße

21.09.2010, 22:29

Abakus

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Ja, das sieht gut aus Freude

. Am Ende der Zeile dann noch f.a. n >= 1.

Grüße Abakus smile

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