Ganzzahlige Matrixinverse (war: LGS mit Parameter)

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tolose Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzzahlige Matrixinverse (war: LGS mit Parameter)
Meine Frage:
Ich habe folgendes LGS:

Die Frage ist nun, für welche Werte von a aus den ganzen Zahlen (Z) ist die Inverse aus Z^3x3? Wie kann man das systematisch lösen? Ich kann ja schlecht alle Werte testen.

Meine Ideen:
Eine wirkliche Idee habe ich nicht. Geht das irgendwie mit Determinante / Rang / o.ä. ?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist also, für welche Werte für a existiert die Inverse dieser Matrix?
tolose Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, die Frage ist, für welche Werte von ist .
(Hab mich da oben auch vertan, ist ja an sich kein LGS sondern nur ne Matrix.)
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

die frage lässt sich umformulieren zu: Für welche ist die determinante der matrix A eine einheit des zugrunde liegenden ringes(in deinem fall also der ring der ganzen zahlen).
tolose Auf diesen Beitrag antworten »

Dem zufolge wäre die Lösung , für die ein b existiert, sodass a*b = b*a = 1 ?
Das verstehe ich dann nicht, denn die Lösung ist {0, -2}, also für 0 und -2 ist . Das käme dann ja nicht hin, den wenn a = 0 ist ex. kein b, sodass a*b = 1.
Hilft mir grad nicht so weiter.
Wir hatten das kurz mal in der VL, aber ich kann mich beim besten Willen nicht mehr erinnern wie es ging.
tolose Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, werd mit diesem Latex-Editor auch nicht wirklich war.

Zitat:
Original von tolose
Dem zufolge wäre die Lösung , für die ein b existiert, sodass a*b = b*a = 1 ?
Das verstehe ich dann nicht, denn die Lösung ist {0, -2}, also für 0 und -2 ist . Das käme dann ja nicht hin, den wenn a = 0 ist ex. kein b, sodass a*b = 1.
Hilft mir grad nicht so weiter.
Wir hatten das kurz mal in der VL, aber ich kann mich beim besten Willen nicht mehr erinnern wie es ging.
 
 
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

nun, die determinante deiner matrix ist a+1.

die einheiten des ringes der ganzen zahlen sind -1 und 1.

und nun überlege mal, welche werte du für a einsetzen kannst, damit deine determinante eine einheit ist smile
tolose Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Und Einheiten sind nur 1 und -1, da es in kein Inverses gibt und nur 1*1 = 1 und -1*-1 = 1 sind? Hab nicht so viel Ahnung von Ringtheorie, nur damit ich das mit der Einheit verstehe. Wäre jetzt in der Aufgabe nicht sondern gefragt, dann wäre die Lösungsmenge unendlich, da es auch unendlich viele Einheiten gibt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bazza
die frage lässt sich umformulieren zu: Für welche ist die determinante der matrix A eine einheit des zugrunde liegenden ringes(in deinem fall also der ring der ganzen zahlen).

Natürlich sollte man dafür die Aussage "A hat ein Inverses über dem Ring <=> det(A) ist Einheit" auch noch beweisen, wenn man das nicht gerade aus der Vorlesung zitieren kann. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
tolose Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, nur reicht es für mich jetzt, wenn es einfach stimmt, da das eben eine "Rechen"aufgabe ist und keine Beweisaufgabe.
Auf jeden Fall allen vielen Dank für die Antwort. Nur noch mal kurz zum Verständnis, hab ich das in meinem letzten Beitrag (zwei drüber) richtig dargestellt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst eine "Rechenaufgabe" sollte man nur so weit lösen, wie man sie auch nachvollziehen kann. Irgendwelche Formeln herauszukramen, deren Gültigkeit für einen selbst nicht nachvollziehbar ist, ist völlig unsinnig. unglücklich

Außerdem wird der Dozent einer Grundvorlesung in den seltensten Fällen ein Argument akzeptieren, dass nicht zuvor schon in seiner Veranstaltung bewiesen wurde.

Du kannst Dir also entweder überlegen, warum Bazzas Argument richtig ist oder eben den einen anderen Weg gehen. Dazu musst Du nur die Matrix invertieren, zum Beispiel mittels Gauß (siehe hier - unter "Das Verfahren") oder über die Adjunkte (falls das schon behandelt wurde).

Gruß,
Reksilat.
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