hinreichende Bedingungen

Neue Frage »

Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »
hinreichende Bedingungen
Ich bin jetzt im LK, leider hat der andere Mathe Kurs in der 11 mehr gemacht als wir. Der neue Lehrer setzt aber da an, wo die anderen aufgehört haben. Bisher hab ich noch alles verstanden. Die hinreichenden Bedingungen sind für die rel. Extrema und die Wendepunkte ja:

f´(x) ungleich 0 und
f´´(x) ungleich 0 .
Nun kommt aber bei der Hausaufgabe bei beiden Berechnungen =0 heraus. Jetz weiß ich nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?
DeGT Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.. wenn ich dich richtig verstanden habe, willst Du die lokalen Extrema herausfinden.

Die notwendige Bedingung für ein lokales Extrema ist, dass f' an diesem Punkt gleich null ist (also, dass die Funktion an diesem Punkt die Steigung Null hat)

Die hinreichende Bedingung ist, dass f'' an diesem Punkt ungleich Null ist.

Wenn f'' an dem Punkt kleiner als Null ist, hast Du ein lokales Maximum, wenn f'' an dem Punkt größer als Null ist, hast Du ein lokales Minimum.
Wenn f'' an dem Punkt gleich Null ist, hast Du kein Extrema, sondern nur einen Sattelpunkt, oder wie man das nennt.
Das bedeutet, dass f(x) ansteigt, dann die Steigung gleich Null ist und dann wieder ansteigt oder dass f(x) abfällt, die Steigung gleich Null ist und dann wieter abfällt.

Wenn ich Zeit habe, mache ich noch Bilder dazu.
jama Auf diesen Beitrag antworten »

die gleichung f(x) = x³ hat zum beispiel einen sattelpunkt im ursprung.

gruß,

jama
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte noch bezüglich Sattel/Wendepunkte etwas andeuten.

In der Schule wird logischer Weise vollkommen richtig gelehrt, dass die Zweite Ableitung Null sein, die dritte ungleich 0 (für Sattelpunkt die erste auch null).

Ganz so richtig ist das nicht, wenn man Funktionen im allgemeinen betrachtet.

Dort gilt nämlich für Wendepunkte bspw:

f^(2n - 1) (x_w) = 0 und f^(2n) (x_w) =/= 0

wobei f^(2n - 1) die letzte existierende ungerade Ableitung einer Funktion ist. Eine Ableitung existiert genau dann nicht mehr, wenn ich die Nullfunktion ableite.

Beispiel:

f(x) = x^4 * sin(x)

Ich weiß jetzt nicht, ob diese Funktion die Regel oben bestätigt, aber zusammengesetzte Funktionen wie eben, sind solche Fälle.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »