Gruppenisomorphismus

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eisley Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenisomorphismus
Hallo zusammen!

Aufgabenstellung: Sei . Zeigen Sie, dass mit der Multiplikation von eine Gruppe ist und finden Sie einen Gruppenisomorphismus zwischen und .

Ich hab so meine liebe Mühe, mit dem "Aufbau" bzw. mit der Vorgehensweise..
müsste ich hier einfach für Assoziativität, Neutralelement und Inverses zeigen?

..ebenfalls ist mir unklar, wie ich einen Gruppenisomorphismus finden kann.

ich wäre euch wirklich dankbar für eine kleine Hilfe !

Grüsse eisley
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Hi eisley,

Es ist richtig, Du musst zuerst die Gruppenaxiome nachrechnen. Dass die Menge nicht leer ist, sollte kein Problem sein und das neutrale Element ist auch leicht zu finden - behalte hier immer die übergeordnete Struktur im Hinterkopf, die nimmt Dir schon vieles ab. Zum Beispiel musst Du die Assoziativität nicht mehr zeigen. Da diese ja bekanntermaßen in gilt, vererbt sie sich sozusagen auf jede Teilmenge.

Zur Isomorphie:
Du meinst sicher . Schau Dir mal den Homomorphiesatz an und versuche diesen hier zu verwenden.

Gruß,
Reksilat.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
ok - schon mal lieben Dank!

dann habe ich in diesem Falle
  • Assoziativität mit der Multiplikation von ist klar
  • Neutralelement: mit e=1
  • Inverses:

für alle ; somit wäre gezeigt, dass eine Gruppe ist.

Also die Voraussetzungen für einen Gruppenhomomorphismus sind gegeben, da beides Gruppen sind. ..aber irgendwie steh ich noch immer an.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Moment, was genau meinst Du mit:
Zitat:

Da steht nur eine Gleichung - die sagt überhaupt nichts. Du musst zu jedem Element in ein Inverses angeben. Dieses Inverse existiert in natürlich, aber Du musst noch zeigen, dass es auch in liegt. Abgeschlossenheit unter Multiplikation ebenso.

Und wenn ich Dir den Tipp mit dem Homomorphiesatz gebe, dann
a) sag wenigstens dass Du ihn nicht kennst oder
b) schreib ihn auf und schau Dir die Voraussetzung an - da stehen nämlich Gruppen drin und Du musst Dir nur noch überlegen, welche der hier gegebenen Gruppen welche Rolle übernehmen muss.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Der Homomorphiesatz lautet in diesem Falle:

Ist ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f, dann ist /ker(f) isomorph zum Bild

und das Bild würde entsprechen?

..und zu den anderen beiden Sachen:
ich habe doch die Aussage gemacht, für alle ; muss ich denn jetzt diese a in ausdrücken? ..

Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation heisst:
für alle gilt
da besteht aber wohl dieselbe Lücke wie beim Inversen, dass a und b wirklich auch in liegen?

vielen lieben Dank für deine Hilfe und Geduld!

eisley
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Zum Inversen:
Nimm Dir ein , dann ist natürlich auch und (warum?!). Nun existiert in ein mulitplikativ Inverses zu . Nun ist nur noch zu zeigen, dass dieses auch in liegt. Dies prüft man anhand der Definition von .
Was ist zu zeigen?

Zur Isomorphie:
Nein, was willst Du mit der Aussage denn anfangen? Die hat mit dem Ziel des Beweises nicht viel gemein.
Schau Dir den Isomorphiesatz genau an, der setzt einen Homomorphismus voraus (den wollen wir gleich suchen) und sagt dann, dass ist.

Vergleiche diese letzte Aussage jetzt mal mit dem, was zu zeigen ist und überlege, wie man und wählen muss, damit die Aussage des Homomorphiesatzes mit der Behauptung übereinstimmt.
Anschließend kannst Du dann überlegen, wie man den passenden Homomorphismus konstruieren sollte.

Gruß,
Reksilat.
 
 
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Inverses:
a muss wegen der Definition von ungleich null sein, ansonsten wäre die Bedingung nicht erfüllt.
Um zu zeigen, dass das multiplikative Inverse ebenfalls in liegt, kann ich zum Beispiel mit der Bedingung zeigen:



Isomorphie:
nachdem ich jetzt die Theorie noch einmal gelesen habe, kam ich zu folgendem Ansatz:
Ich muss eine Untergruppe U bestimmen und es gilt:
Da es sich um einen Gruppenisomorphismus handeln soll, kann man ebenfalls sagen, dass f injektiv ist und damit: .

Das heisst, ich müsste vorerst zeigen, dass Untergruppe von ist?

..allerdings habe ich noch nicht gesehen, was das Bild sein müsste, bzw. H
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Du hast noch überhaupt kein , wie willst Du da schon irgendwelche Aussagen machen? Wenn Du den Homomorphiesatz verwenden willst, dann brauchst Du zuerst einen Homomorphismus und für diesen musst Du zuerst überlegen, von wo nach wo dieser abbilden soll.
Es geht jetzt darum, Wertebereich und Bildbereich so zu bestimmen, dass man später mit einer passenden Konstruktion von den Homomorphiesatz anwenden kann.

Noch mal von oben zusammengefasst:
Es ist zu zeigen:

Der Homomorphiesatz besagt, dass für gilt:


Siehst Du den Zusammenhang?
In welchem Homomorphismenring sollten wir also am besten unser suchen, um den Homomorphiesatz anwenden zu können, d.h. was soll unser G und was unser H werden?

Zitat:
Das heisst, ich müsste vorerst zeigen, dass Untergruppe von ist?
Das zeigst Du doch oben bereits. verwirrt
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Ach ja.. das mit der Gruppe bzw. Untergruppe hab ich gesehen.
Dann wäre das Bild und

..aber so weit war ich glaub ich schon einmal. traurig
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Mit diesem Ansatz wird das nichts. Du hängst bisher einer ziemlich einseitigen Sichtweise nach.

Isomorphie ist symmetrisch. Augenzwinkern
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
also symmetrisch bezüglich einem Isomorphismus würde hier bedeuten, dass genau auch das Bild sein kann?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Prima, soll also das Bild werden. Und von wo wollen wir abbilden, also was soll unser sein?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
von , d.h. der Kern wäre ?

..oder mach ich mir das Leben jetzt zu einfach.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Na ja, nicht von , sondern von . Wir suchen , wobei der Kern gerade wird.
Wenn wir dann noch zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist, dass also auch wirklich das ganze Bild ist, sind wir fertig - das wird aber nicht weiter schwer.

Zuerst ist es aber wichtig, dieses auch zu finden. Versuche doch mal eine Abbildung von nach zu finden, die gerade , also alle Vielfachen von auf das neutrale Element in (also die 1) abbildet.
Danach muss noch die Homomorphieeigenschaft nachgeprüft werden - beachte dabei, dass die Verknüpfung in die Addition ist.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
..ich scheitere gerade daran, eine solche Abbildung zu finden. unglücklich ich studiere wohl mal wieder in der falschen Ecke..

Um die Homomorphieeigenschaft anschliessend zu zeigen, nehme ich zwei Elemente aus G, ich nenne sie hier einmal x und y.
dann wäre

edit: echt mal vielen Dank für die Hilfe und Geduld!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Hoppla, ich habe irgendwie die ganze Zeit im Hinterkopf gehabt, dass die Isomorphie zu zeigen ist, aber es geht ja auch darum, den konkreten Isomorphismus anzugeben. Da ist dann der Homomorphiesatz doch nicht ganz das rechte Mittel, da er ja nur eine Existenzaussage liefert. Sorry! Hammer

Aber wir sind eigentlich trotzdem auf dem rechten Weg - der Bildbereich sollte möglichst sein, damit man sich über Wohldefiniertheit der Abbildung keine Sorgen machen muss. Nur der Urbildbereich ist dann eben wirklich

Schreib Dir doch mal die Elemente beider Mengen auf.



Für zweiteres solltest Du Dir vielleicht eine primitive n-te Einheitswurzel als Erzeugendes hernehmen. Ist der Begriff bekannt? Bin mir sonst grad etwas unsicher, wie man den Beweis ohne Vorwissen schnell hinbekommen soll.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
dann hätte der Isomorphismus also im Allgemeinen die Gestalt .


.. unglücklich
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach setzen.
Dabei kann man benutzen, dass ist für . (Beachte )
Dass man dann alle Lösungen hat besagt der Fundamentalsatz der Algebra.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Guck mal, du sucht Lösungen der Gleichung , wobei ist.

lässt sich als schreiben, dabei ist die imaginäre Einheit und . Der Betrag von ist wie folgt gegeben .

Ist nun , so gibt es ein eindeutig bestimmtes , so dass gilt.

Soweit bekannt?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

achso.. ja. ich habe verstanden was du meinst. allerdings verstehe ich nicht, wie ich daraus nun den gesuchten Gruppenisomorphismus zwischen und hinkriege..

ich steh heute einfach zu lange auf dem Schlauch .. Hammer
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Zitat:
Original von eisley
.. unglücklich

Soll das heißen, dass Du keine Ahnung hast, wie aussieht?

Dann beglückwünsche ich Dich recht herzlich zu der Idee, eine Aussage beweisen zu wollen, ohne die darin Auftauchenden Bezeichnungen zu verstehen.
Finger2

@Cugu: Viel Spaß!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist doch, dass du anscheinend nicht weißt, wie die beiden Mengen überhaupt aussehen.

Was sind denn nun die Elemente von , also die Lösungen von ?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus


.. das weiss ich schon. nur konnte ich mir damit nicht weiterhelfen.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und was ist nun ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Gut, dann habe ich das Missverstanden. Ist hier aber schon ein paarmal aufgetaucht, dass man jemandem was erklärt und sich nach zwei Seiten rausstellt, dass derjenige keine Ahnung von den Grundbegriffen hat. Augenzwinkern
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
okay.. so schlimm bin ich nicht! hoffe ich doch zumindest.. auch wenn ich mich grad ein wenig zum Affen mach haha...

also. zurück zur Aufgabe. ich habe also



Einen Isomorphismus von der Gestalt

..und ich bin jetzt noch zu doof, das f richtig zu beschreiben.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Wieso sollte sein?
a) ist eine Menge
b) Die 1 liegt zwar drin, aber doch sicher auch mehr Elemente. Für gerade n ist zum Beispiel auch -1 drin, für n=4 auch i und -i ...
c) Deswegen fragte ich ja auch nach dem Begriff Einheitswurzeln. - Lies Dir vielleicht auch mal den Wiki-Link durch.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
achso.. okay. ich verstehe die Meinung des Begriffs, traue mir jetzt aber nicht zu, damit einen Beweis zu führen. Wir haben diesen Begriff seit Beginn dieser Vorlesung nie benutzt.

am besten wäre wohl, ich verwende das, was ich jetzt bereits habe.. gebe die Übung ab und werde mir die Rückmeldung ansehen (und kann das dann sonst auch hier noch posten). Ich seh nicht, was von den Assistenten hier verlangt wird..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Schade, aber ohne die Einheitswurzeln geht's eben nicht.
Wink
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
dann sollen die die Begriffe einführen, bevor sie die Aufgabe stellen! böse

..auf jeden Fall lieben Dank dir und ich werde nach der Rückgabe versuchen daran zu denken, nochmal einen post zu machen..

à plus!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Tanzen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Zitat:
Original von eisley
dann sollen die die Begriffe einführen, bevor sie die Aufgabe stellen! böse

Na ja, so unglaublich kompliziert ist es auch nicht, sich da reinzulesen. Für diese Aufgabe braucht man nicht viel. Ein Hinweis hätte dem ganzen aber wohl gutgetan, da man ja irgendwie an die Struktur von rankommen muss.

edit: Tanzen
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