Eigenwerte einer Matrix in Abhängigkeit eines Parameters |
| 21.09.2010, 19:00 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Eigenwerte einer Matrix in Abhängigkeit eines Parameters Hey an alle, mich beschäftigt folgende Aufgabe: Gegeben ist die Matrix a) Überprüfen Sie, dass (lambda)1 = 1 für alle alpha aus R Eigenwert der Matrix ist b)Für welche Werte von alpha ist die Matrix positiv definit Meine Ideen: Zu a) weiß ich momentan nicht einmal den Lösungsansatz Zu b) weiß ich, dass alle Eigenwerte positiv sein müssen. Ich habe dann die Eigenwerte versucht zu erörtern, bei der Gleichung des charakteristischen Polynoms verwirren mich allerdings die alphas und ich weiß mit denen nichts anzufangen. edit tmo: Latex-Klammern gesetzt. |
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| 21.09.2010, 19:09 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei a) rechne doch einfach die Eigenwerte aus wie du sie sonst bei jeder Matrix auch ausrechnet. Und dann sieht man, dass die Behauptung stimmt |
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| 21.09.2010, 19:15 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie bereits gesagt, ich erhalte ja das charakteristische Polynom mit dem Parameter alpha darin, weiß dann allerdings nicht weiter! |
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| 21.09.2010, 19:17 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Berechne doch einfach . Was heißt berechnen...Stelle die Matrix auf und lies die Determinante ab. |
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| 21.09.2010, 19:19 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
versuch das char. Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen, so dass du die Nullstellen ablesen kannst. |
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| 21.09.2010, 19:23 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich das so anstelle (also die Matrix A minus der Einheitsmatrix) , wird meine Determinante aber doch 0 ?? |
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| 21.09.2010, 19:26 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Das ist doch genau das, was wir wollten. Oder etwa nicht? |
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| 21.09.2010, 19:31 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was genau ist damit jetzt bewiesen? Ich kann dem Ganzen nicht so ganz folgen. Wir haben also quasi jetzt für lambda=1 eingesetzt und erkannt, dass die Determinante 0 ist. Das bedeutet also im Umkehrschluss, dass das die Einzige Lösung ist?!? |
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| 21.09.2010, 19:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo steht denn was davon, dass das die einzige Lösung sein soll? |
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| 21.09.2010, 19:42 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah okay ich habs verstanden. Lambda=1 IST de facto ein Eigenwert, weil die Determinante=0 ist oder? Da die Determinante 0 ist, muss ja dann auch einer der Übrigen Eigenwerte =0 sein, da die Eigenwerte multipliziert immer die Determinante ergeben müssen?!? (Nur so nebenbei gefragt) Wie müssten denn die alphas beschaffen sein, damit die Matrix positiv definit ist? |
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| 21.09.2010, 19:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist Quatsch. Das Produkt der Eigenwerte ergibt die Determinante der ursprünglichen Matrix, aber damit hat det(I-A) doch gar nichts zu tun.
Dazu hattest du doch schon einen Ansatz. Ich kann echt nicht erkennen, wo das Problem ist, die Nullstellen eines Polynom dritten Grades zu bestimmen, wenn man schon eine kennt... |
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| 21.09.2010, 19:56 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Problem ist, dass ich nichts mit dem alpha anzufangen weiß. Wie also löse ich das Polynom in Abhängigkeit von alpha? Mein Polynom sieht wie folgt aus: (-lambda)³ + (2*lambda)² + (alpha*lambda²) - (2*alpha*lambda) + (lambda) + (alpha) - 2 Das würde ich ja jetzt gleich 0 setzen. Wenn ich aber z.B. ein Lambda ausklammer, bleibt da ein hässlicher Bruch stehen. Was sollte ich also tun? |
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| 21.09.2010, 19:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Polynomdivision... Aber wenn man die Determinante berechnet, kann man doch in der Berechnung direkt ausklammern. Nicht immer alles ausmultiplizieren! Und das ist einfach nur irgendeine konstante Zahl. |
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| 21.09.2010, 20:03 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso achso, jetzt hab ichs verstanden! Danke für deine Hilfe !!! |
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| 22.09.2010, 11:45 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe jetzt zu Aufgabe b) folgendes heraus bekommen: Ich versuche also, auf normalem Weg die Eigenwerte auszurechnen und erhalte das Polynom, aus welchem ich (Lambda - 1) ausklammer, da das ja bereits eine bekannte Nullstelle ist. Wenn ich das Polynom dann weiter ausmultipliziere, erhalte ich folgende Gleichung: (lambda)² - (alpha*lambda) + 1 Daraufhin habe ich die p/q Formel angewandt. Somit erhalte ich: 1. (alpha/2) + ("Wuzel aus" (4+(alpha)²) / 4) 2. (alpha/2) - ("wurzel aus" (4+(alpha)² / 4 ) Dann wäre für mich die logische Folgerung, dass es die Matrix für KEINEN alpha-Wert positiv definit sein kann, da laut 2. der Eigenwert immer negativ wird. Kann das einer bestätigen? |
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| 22.09.2010, 11:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgendwas stimmt mit deiner pq-Formel nicht. Für alpha=2 bekomme ich mit lambda = 1 eine positive Nullstelle. |
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