Abhängigkeit von Vektoren

Neue Frage »

loccc Auf diesen Beitrag antworten »
Abhängigkeit von Vektoren
Hallo,

Aufgabe wie folgt: wir sollen darstellen, dass drei der vier Vektoren unabhängig sind.
; ; ; .

Zusätzlich sollend die Vektoren als Linearkombination dargestellt werden.

Die Abhängigkeit ist einfach. Da kann man ja nach den Vielfachen gehen. Unabhängig sind bei mir 1&2, 1&3 und 1&4.

Bei den Linearkombinationen bin ich total unsicher, denn die Vektoren sind ja ungünstig. Lediglich ist \vec{a} +3\vec{b} +4\vec{c} . Die anderen Vektoren würde ich sagen, sind unmöglich auszudrücken.

Ideen? Big Laugh
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

die Vektoren sind alle paarweise unabhängig, daraus folgt aber nicht, dass sie in Ihrer Gesamtheit unabhängig sind.

Da die ersten 3 Vektoren jeweils die Einheitsvektoren darstellen ist ihre Unabhängigkeit offensichtlich. Wenn dem nicht so ist, dann musst du nachweisen, dass kein Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Es also keine Lösung für

existiert. Soviel zum Test auf lineare Unabhängigkeit...

Um zum Beispiel Vektor durch die anderen darzustellen, musst du das Gleichungssystem lösen.

edit: An diesem Beispiel sieht man auch sehr schön, warum die Einheitsvektoren so praktisch sind: man findet quasi intuitiv eine Darstellung für jeden Vektor, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen.
loccc Auf diesen Beitrag antworten »

Paarweise unabhängig? Was heißt das? Oder wie kann man das rausfinden? Wir hatten bis jetzt nur einfache Unabhängigkeit und Abhängigkeit (Thema also ganz frisch). Wenn ich da wie gesagt nur eine eins habe, jeweils an anderen Stellen, ist das für mich irgendwie alles unabhängig... unglücklich Ich kann ja nicht null mit irgendwas multiplizieren um auf eins zu kommen unglücklich
Zitat:
Da die ersten 3 Vektoren jeweils die Einheitsvektoren darstellen ist ihre Unabhängigkeit offensichtlich. Wenn dem nicht so ist, dann musst du nachweisen, dass kein Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Es also keine Lösung für existiert. Soviel zum Test auf lineare Unabhängigkeit...

Also hatte ich Recht dass sich nur d darstellen lässt?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loccc
Paarweise unabhängig? Was heißt das? Oder wie kann man das rausfinden? Wir hatten bis jetzt nur einfache Unabhängigkeit und Abhängigkeit (Thema also ganz frisch). Wenn ich da wie gesagt nur eine eins habe, jeweils an anderen Stellen, ist das für mich irgendwie alles unabhängig... unglücklich Ich kann ja nicht null mit irgendwas multiplizieren um auf eins zu kommen unglücklich
Zitat:
Da die ersten 3 Vektoren jeweils die Einheitsvektoren darstellen ist ihre Unabhängigkeit offensichtlich. Wenn dem nicht so ist, dann musst du nachweisen, dass kein Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Es also keine Lösung für existiert. Soviel zum Test auf lineare Unabhängigkeit...

Also hatte ich Recht dass sich nur d darstellen lässt?


nein unglücklich

die aufgabe lautet ja auch ganz anders
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Paarweise unabhängig bedeutet, dass jedes Paar von Vektoren linear unabhängig ist.

z.B:
, und

sind paarweise unabhängig.

Jedoch kann man und als Linearkombination von und darstellen. (einfach die Summe)

Die 3 Vektoren sind also paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig in ihrer Gesamtheit.

Den ersten Vektor kann mach auch durch die anderen 3 darstellen:
Zitat:
Original von Booker
Um zum Beispiel Vektor durch die anderen darzustellen, musst du das Gleichungssystem lösen.

Das hatte ich wahrscheinlich etwas ungünstig formuliert...
loccc Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das verwirrt mich total.
Zitat:
Jedoch kann man und als Linearkombination von und darstellen. (einfach die Summe)


[/latex] kann doch keine Linearkombination von [/latex]und [/latex] sein. Denn wenn ich diese addiere, kommt wie gesagt[/latex] heraus, aber nie nur [/latex]. Da fehtl doch ne eins...
Zitat:
Den ersten Vektor kann mach auch durch die anderen 3 darstellen:


Für mich kann man nach wie vor nur den letzten mit [/latex] darstellen. Mit den Einheitsvektoren verstehe ich das irgendwie immer noch nicht. Da ist ja ne eins udn viele Nullen, daher kann ich ihn ja nie addieren um auf die anderen zu kommen, und das ist ja die Aufgabenstellung. Ich bin immer noch der Meinung, dass es unmöglich ist, diese durch Linearkombinationen auszudrücken und sich nur d) ausdrücken lässt. Ist diese Aussage korrekt oder falsch?
 
 
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch!

Nimm doch z.b. und ziehe und ab! Was erhälst du?

Ich hatte mich in der Zeile vertippt (copy paste und so). Ich meinte, das man
als Summe der beiden anderen Vektoren darstellen kann.

Nebenbei



ein Vektor lässt sich immer durch sich selbst darstellen, wär ja auch komisch wenn nicht.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann hab ichs glaube ich verstanden. Ich habe immer nur einen Vektor einzeln mit einem anderen Verglichen, aber nicht alle insgesamt gesehen. Dann ergibt sich aus d ja die Abhängigkeit.

Jetzt gibt es eine weitere Vektoraufgabe.

Bestimmen Sie eine fehlende Koordinate so, dass der Punkt (5/0/x) vom Punkt W (4/-2/5) den Abstand 3 hat.
Betrag von Punkt ausrechnen, und dann von w ausrechnen? Aber wie macht man das von W? Nach x umstellen? Aber dann steht ja "Betrag w" auf der anderen Seite, wo voher das x war.. falscher Ansatz?
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Beträge der beiden Punkte W und anderer Punkt Augenzwinkern (ich nenne ihn mal V) ausrechnest, dann bekommst du nur den Abstand vom Punkt zum Ursprung des Koordinatensystems.

Du musst die Länge des Vektors von W nach V berechnen. (oder von V nach W, der Betrag ist ja gleich)

genauer:

locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, schade, hätt ja klappen können. Big Laugh

Aber wie bekomme ich denn dann das x dort heraus? Im Kopf geht das schwierig, denn man muss ja aus dem Vektor der da rauskommt, noch den den Betrag ziehen, also Werte quadrieren und aus der Summe die Wurzel ziehen, daher kann man ja mit "bloßem Auge" jetzt nicht sagen, was bei x hinkommt. unglücklich Sozusagen fehlt mir ja der untere Wert vom Vektor. Aber andererseits weiß ich nicht wie ich die Betrags"klammer" da wieder auseinander pflücken soll... .(
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne mal noch die nächste Zeile, den Rest kannst du dann alleine machen...



Ich habe also den Vektor WV genommen, die Länge berechnet (die Norn ist die Länge des Vektors) und gleich 3 gesetzt, das ist ja dein Abstand...

edit: mit bloßem Auge musst du das auch nicht erkennen, da hilft nur ausrechnen.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

oho, ich sehe da ein Binom!
Ja soweit war ich auch schon, nur war ich mir dann nicht sicher, denn das x bleibt ja dort... und aus nem x kann ich keine Wurzel ziehen.

Ich habe unter der Wruzel eben folgendes raus:
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch jetzt eine Gleichung... links steht ne 3 und rechts steht ne Wurzel, die dich stört. Versuch doch mal die Wurzel loszuwerden.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, da steht ne 3... wie blöd von mir. Ich dachte da steht noch das wv.... (Vektor)... dann ist alles klar. Quadrieren und umstellen... danke!
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Aber (sorry, heute raff ich es nicht)

Ich ahbe 2 Ergebnisse heraus: x=9 und x=1. p-q-Formel eben. Ich brauche doch nur einen wert! Muss ich jetzt probieren mit welchem 3 herauskommt? Kann ich mir nicht vorstellen.
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformug, das heißt es entstehen Scheinlösungen, die eigentlich gar keine sind. Das liegt daran, dass sowohl 3 als auch -3 wenn man sie quadriert 9 ergeben.

Du musst eine Probe machen, ja aber nur mit der Gleichung vor dem Quadrieren, also

.

Beide Lösungen einsetzen und schauen für welches x es stimmt.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Also doch probieren, interessant. Na ann müsste ich ja auf ein richtiges Ergebnis kommen. Danke Big Laugh

edit: es kommt jedes mal 4,58 raus. das kann doch nich sein....unglücklich
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du dich beim Umstellen der Gleichung verrechnet. Ich habe als Lösung 3 und 7 rausbekommen, die beides lösungen sind. Es macht ja auch Sinn mehrere Lösungen zu erhalten, der gesuchte Punkt war ja nicht eindeutig bestimmt.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ich habe die 5 einfach weggelassen, damit q = -21 gibt. Abschließender Tipp: was kann man gegen Flüchtigkeitsfehler machen? Die passieren mir ständig!! Big Laugh Und dabei finde ich mich beim rechnen schon konzentriert Big Laugh
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Verrechnet
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Gegen Flüchtigkeitsfehler hilft eigentlich nur sich richtig zu konzentrieren. In den meisten Fällen kann man auch durch eine Probe feststellen, ob man sich verrechnet hat, dann allerdings auch den Fehler zu finden ist sehr schwer.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »