Tupel von Vektoren

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Madame Auf diesen Beitrag antworten »
Tupel von Vektoren
Meine Frage:
Hi,
mir bereitet eine Aufgabe Probleme. Sie lautet:

Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen und V = der Vektorraum der Polynome vom Grad 20 über K, und es sei n eine beliebeige natürliche Zahl.
Wie viele linear unabhängige n-Tupel von Vektoren gibt es in V??

Meine Ideen:
Eine Idee fehlt mir noch.
Kann mir jemand helfen??

Lieben Gruß,
Madame
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir doch einmal, wie viele linear unabhängige 1- und 2-Tupel es gibt. Kannst du das vllt. verallgemeinern? Und was gilt im Fall ?
 
 
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

mhh, also ehrlich gesagt, weiß ich es nicht. verwirrt kannst du mir vielleicht noch einen tipp geben??
liebe grüße
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, auf n=1 kommt man leicht. Wie viele Vektoren hast du überhaupt zur Auswahl? Und welcher Vektor ist stets linear abhängig (darf also nicht mitgezählt werden)?

Ich muss außerdem meine Frage aus meinem vorigen Beitrag korrigieren: Was ist im Fall ?
Hast du eine Idee, was die 21 hier bedeutet?
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich würde sagen, dass normalerweise verschiedene Vektoren zur Auswahl gibt; da aber der Grad der Polynome kleienr gleich 20 ist, beträgt also die Auswahlmöglichkeit .

Ich weiß,dass der Nullvektor immer linear abhängig ist.
(1) Dann gibt es also -1 verschiedene Möglichkeiten.

(2) Danach nur noch -q (alle außer die aus 1)

(3) Dann noch -

(4) usw.



....sodass dann am Ende das Produkt aus (1)-(4) die Anzahl der Elemente ist?!

..Vielleicht so irgendwie?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Tat ist die Anzahl der linear unabhängigen Tupel gegeben als Produkt dieser Anzahlen.
Allerdings ist nicht richtig. Welche Dimension hat dein Vektorraum?
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension ist nicht , sondern dim V= 20. Oder ist die die 20 falsch??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

jester ist off....

jetzt überlege mal, wie viele linear unabhängige polynome vom grad kleiner gleich 20 du findest.
eine basis ist zum beispiel

welche dimension hat also dein vektorraum?
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich wähle die Basis B=.
Da es sich um eine Basis handelt, weiß ich, dass die Polynome alle linear unabhängig sind.
Die Anzahl der Basispolynome entspricht der Dimension des Vektorraums.
Wenn ich nun die Elemenrte der Basis zähle, dann ergibt sich daraus, dass dim V = 21.
Ist das nun richtig??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

richtig.
jester hatt dich auch schon darauf hingewiesen, dass 21 die dimension des vektorraums ist.

wir kennen nun die linear unabhängigen elemente des vektorraums, nun bilden wir tupel mit n vektorraumelementen, betrachte das einmal für n=1
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, moment. Wenn man das ganze dann verallgemeinert, dann gilt
dimV= n+1
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
das verstehe ich nicht....

n ist doch eine beliebige natürliche zahl, die die anzahl der einträge in deinen tupeln angibt....

schau doch mal deine aufgabenstellung an......
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt n Vektorraumelemente.
Im Fall n=1 gibt es also nur ein Vektorraumelement.
Wäre dann das Vektorraumelement 1?
Und für n=2 :1 und x?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt 21 vektorraumelemente, n ist die länge der tupel...
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

oder gibt es für n=1 auch 21 verschiedene Möglichkeiten.
Also, dass das Vektorraumelement 1 oder x oder x^2 usw. ist und ich somit 21 Möglichkeiten für n=1 habe-
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

häää, ich versteh das nicht unglücklich
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das Gefühl, dass ich das mit den n-Tupel nicht ganz verstehe.
ist es richtig, dass folgendes ein 3- tupel ist.
Zum Beispiel
V=
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

okay, klären wir die frage, was eigentlich ein tupel ist (hätte eigentlich schon der fall sein müssen, und wenn nicht, dann sollte man sich damit auseinandersetzen):

ein (2-)tupel ist ein geordnetes paar, ein n-tupel eine aufzählung nicht notwendig verschiedener elemente einer menge.

wir schreiben in der linearen algebra die tupel zumeist nicht als zeile sondern als spalte, wird aber unterschiedlich gehandhabt.
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs nochmal.

Für n=1
Die Frage ist, wie viele linear unabhängige 1-Tupel es gibt.
Wie wir schon eben gesagt haben ist die Dimension 21, d.h. wir haben 21 Basiselemente, die folglich auch linear unabhängig sind.
Daher gibt es auch 21 linear unabhängige 1-Tupel, nämlich
.


Für n=2
Gescucht sind alle 2-Tupel.


usw.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

soweit so gut, jetzt noch überlegen, wie viele davon linear unabhängig sind und dann die allgemeinheit formulieren.
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Für n=2 gilt ja dann


(1,1),(1,x),(1, x^2) ,(1, x^3),1,x^4),(1, x^5)...(1, x^20)

(x,1),(x,x), (x, x^2) ,(x,x^3),(x, x^4),(x,x^5)....,(x, x^20)

(x^2,1).....
.
.
.
(x^20,1)...................................................(x^20,x^20)


Das heißt dann, dass die Diagonalen l.a. sind und somit nur noch die 2-Tupel (x^20,1), (1, x^20) bleiben.

Für n= 3 wären dann die l.u 3-Tupel (x^20,1,1), (1,x^20,1), (1,1,x^20)
Dannt würde ja gelten: Ein n-Tupel besitz n l.u. Vektoren in V.

Oder ist das falsch?
Falls nicht, bereitet mir der Fall n=1 Probleme.
Die 1-Tupel sind doch alle l.a.?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die 1-tupel sind die elemente der basis des VR:
und linear unabhängig.

wieso sind die diagonalen linear abhängig?

die diagonale sind die tupel der form mit [latex], wobei a ein element der kanonschen basisi von V ist.
diese sind auch linear unabhängig, kannst du ja mal überprüfen.

nun haben wir 21*21 linear unabhängige tupel der länge 2, wie viele l.u tupel der länge drei?
und wie viele dann der länge n?
Madame Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ja folglich für n=3 21*21*21...also allgemein 21^n l.u. Tupel

Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe!
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