Surjektivität, Injektivität und Bijektivität erklären

Neue Frage »

Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität, Injektivität und Bijektivität erklären
Hallo,

ich verstehe nicht, wie man die -jektivitäten beweisen kann.

Grundvorraussetzung ist doch erst mal, das man weiß, was die Funktion genau macht, oder?

Surjetkivtät
Wenn ich beweise kann, das es für f(x) kein Urbild gibt, dann ist sie nicht surjektiv. Aber bedeutet das auch im Umkehrschluss, das ich, wenn ich das nicht beweisen kann, sie Surjektiv ist? Ich beführchte nicht... Wie macht man das dan?

Injektivität
Negativfall: Ich muß beweisen das es mehr als ein Urbild für ein f(x) Wert
Positivfall: Auch hier könnte ich hilfe gebrauchen.

Bijektivität:
Ich beweise, das die Funktion sowohl Surjektiv wie Injektiv ist?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität erklären
willst du denn die injektivität einer funktion zeigen, die in der form f(x)=.... gegeben ist, oder anhand von vorraussetzungen, wie zum beispiel:

"sei f:X--->Y, g:Y-->Z funktionen, sind f und g bijektiv so g°f bijektiv und es gilt:
(g°f)^(-1)=f^(-1)°g^(-1)".


im allgemeinen benutzt man hier immer die definition von injektivität bzw. surjektivität.
um zum beispiel zu zeigen, dass f nicht injektiv ist genügt es, zwei elemente anzugeben, die den gleichen funktionswert annehmen.
um zu zeigen, dass f nicht surjektiv ist reicht es, ein element aus der bildmenge anzugeben, das nicht als funktionswert angenommen wird.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität erklären
Zitat:
Original von Taladan
Grundvorraussetzung ist doch erst mal, das man weiß, was die Funktion genau macht, oder?


Grundvorraussetzung ist erstmal, dass man weißt von welcher Menge in welche Menge abgebildet wird. Das gehört nämlich zu einer Abbildung dazu.

Zitat:
Original von Taladan
Surjetkivtät
Wenn ich beweise kann, das es für f(x) kein Urbild gibt, dann ist sie nicht surjektiv.

f(x) besitzt immer ein Urbild. Nämlich x. Du meinst wohl, dass du ein Element aus der Zielmenge findest, das nachweisleich kein Urbild hat. Dann ist die Abb. nicht surjektiv.

Zitat:
Original von Taladan
Aber bedeutet das auch im Umkehrschluss, das ich, wenn ich das nicht beweisen kann, sie Surjektiv ist?

Seit Gödel muss man das leider verneinen Big Laugh

Wenn du zeigen willst, dass eine Abb. surjektiv ist, zeigst du halt, dass jedes Element aus der Zielmenge ein Urbild hat. Oft macht man das, indem man es einfach angibt.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir doch das Beispiel von eben.
.

Die Funktion ist nicht surjektiv, z.B. hat die Gleichung keine reele Lösung.
Sie ist auch nicht injektiv, denn .

Nun wandeln wir das Beispiel ein bisschen ab.
.

Die Funktion ist surjektiv:
Sei beliebig, dann ist . Wegen ist das ein Urbild.

Die Funktion ist injektiv:
Seien mit gegeben.
Es folgt und damit .
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Funktion ist surjektiv:
Sei beliebig, dann ist . Wegen ist das ein Urbild.


Die Umkehrfunktion benutzen, um nachzuweisen, dass eine Funktion surjektiv ist... Immer schön zyklisch bleiben, ne. Augenzwinkern

Teufel
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Beweisen kannst du die Surjektivität mit dem Zwischenwertsatz... Tanzen
Aber darum gehts hier nicht.

Im übrigen ist das Argument unsachlich, weil nirgendwo eine "Umkehrfunktion" steht. Das einzige, was da steht ist .
Das ist keine Funktion sondern eine Zahl und zwar die positive Lösung der Gleichung .
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Nehmen wir doch das Beispiel von eben.
.

Die Funktion ist nicht surjektiv, z.B. hat die Gleichung keine reele Lösung.
Sie ist auch nicht injektiv, denn .

Nun wandeln wir das Beispiel ein bisschen ab.
.

Die Funktion ist surjektiv:
Sei beliebig, dann ist . Wegen ist das ein Urbild.

Die Funktion ist injektiv:
Seien mit gegeben.
Es folgt und damit .


Tut mir leid, ich habe kaum ein Wort verstanden.

Mit deinem zweiten Beispiel komme ich nun nicht mehr wirklich klar.

Also zu Surjektiv. Warum muß ich jetzt hier mit Wurzel arbeiten (klar Gegenstück eine Potzenz)? Müßte ich nicht die Formel anstatt der Funktionswertes umdrehen? Also

Injektiv: Hier endet meine Vorstellungskraft. Wie kommst du bitte darauf das ein auf beiden seiten Identisch ist, obwohl es sich doch um zwei verschiedene X-Werte handelt. Also beispielsweise 4 und 9 als Ergebnisse. Die sind doch nicht identisch!


Sorry das ich dein Beispiel jetzt komplett Zerbrösel, aber ich verstehe sowas erst dann, wenn ich wirklich alle Möglichkeiten in klaren Worten lese (wohl Mangels fehlender MIttel- und Oberstufenmathe)

Mal ne dumme Frage am Ende, warum sollte man überhaupt wissen, ob eine Funktion Surjektiv, Injektiv oder Bijektiv ist?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Injektivität brachst du keine Vorstellungskraft, sondern eine Definition.
Was ich zeige ist .
Das heißt, wenn dasselbe Bild haben, dann sind sie selbst gleich. (Bei 4 und 9 ist das eine wahre Aussage. Ex falso quotlibet...)
Wenn du mir eine Definition von Injektiv nennst, dann kann ich dir zeigen, dass das äquivalent dazu ist.

smile

Zitat:
Müßte ich nicht die Formel anstatt der Funktionswertes umdrehen? Also

Nein, blos nicht! Das wäre Wasser auf gonnabphds Mühlen.
Auch hier ist natürlich die Frage nach einer genauen Definition. Aber äquivalent dazu dürfte sein, dass es zu jedem ein gibt mit .
Die Existenz der positiven reellen Lösung von habe ich stillschwegend vorausgesetzt. Das kann man unabhängig davon zeigen.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuche mal deine Definition in Worte zu fassen.

(X1 unter Funktion f ist gleich x2 unter Funktion f ) impliziert das x1 gleich x2 ist.

So richtig?

Aber was genau muß ich jetzt machen. Also muß ich die Definition als Wahrheitswert sehen? Wenn Links richtig und rechts richtig dann gesamt richtig bzw Links richtig und rechts falsch dann gesamt Falsch? Wenn Richtig, dann Injektiv? (Sorry für die holprige Ausdrucksweise)

Aber wie weiß ich dann, was in die Linke rechte gleichung muß.
Aus deiner Folgerung werde ich gar nicht schlau. Kannst du mir bitte erklären wie du auf die Formeln gekommen bist?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(X1 unter Funktion f ist gleich x2 unter Funktion f ) impliziert das x1 gleich x2 ist.

Ja, ich denke du meinst das Richtige. Dazu äquivalent ist z.B. dass jedes Element aus dem Wertevorrat höchstens ein Urbild besitzt. (Wären es zwei, müssten sie ja gleich sein, da ihre Funktionswerte gleich sind...)
Zitat:
Also muß ich die Definition als Wahrheitswert sehen?

Naja, du musst den Wahrheitswert der Aussage f ist injektiv überprüfen. Hierzu ist die Aussage gilt (zumindest) äquivalent.
Wenn man zeigen will, dass dies stimmt, muss man natürlich nur die Fälle betrachten, in denen die Voraussetzung erfüllt ist. Sonst ist nichts zu zeigen.

Welche Folgerung?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Diese
Zitat:
Original von Cugu
Es folgt und damit .
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, naja um die Rechnung selbst ging es mir eigentlich gar nicht so sehr. Die ist von Beispiel zu Beispiel natürlich verschieden.

Aber gut. Wenn wir annehmen, dass ist, also in diesem Fall , dann ist doch .
Den nächsten Schritt erhält man durch Ausmultiplizieren:

Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. aus folgt oder . Der zweite Fall scheidet aus, da und damit .
Also ist und damit .

----
edit:
Du könntest selbst mal ein einfaches Beispiel betrachten, z.B. zeigen, dass

bijektiv ist bzw. dies, falls nötig, widerlegen.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich habe langsam verstanden was Surjektivität und INjektivität bedeuten, aber ich weiß eigendlich nicht wirklich, wie man das Beweisen soll.

Woher nimmst du das Verständnis das ist? Da es sich doch bei X1 und X2 um unterschiedliche Zahlen handelt, können die Seiten doch nicht generell als gleich angesehen werden! X ist doch lediglich eine Variable, die später mit Werten gefüllt wird.

Wenn allerdings X1 und X2 unter f als Ergebnis das selbe heraus bekommen, dann verstehe ich, warum ergeben sollen.
Was du dann aber mit Nullteiler meinst, bleibt mir ein Rätsel.

Zu deiner Aufgabe:
Surjektivität beweisen: Sei definiert durch für alle dann ist f surjektiv , denn wenn und ist, ist und und somit hat jedes ein Urbild unter f. (Auch wenn ich nicht sicher bin, ob der Beweis korrekt ist, denke ich , das diese Funktion Surjektiv ist).

Injektivität beweisen (kann ich nicht, ist sie aber):

Bijektivität: da die Formel sowohl Injektiv wie Surjektiv ist, ist sie Bijektiv
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität erklären
Zitat:
Original von tmo
Zitat:
Original von Taladan
Aber bedeutet das auch im Umkehrschluss, das ich, wenn ich das nicht beweisen kann, sie Surjektiv ist?

Seit Gödel muss man das leider verneinen Big Laugh


Auch vor Gödel kam es darauf an, was «...wenn ich das nicht beweisen kann» bedeutet.
Bedeutet es, dass ich zuwenig Ueberblick habe, um den Beweis lückenlos führen zu können, dann kann man natürlich keine Schlüsse ziehen.
Bedeutet es aber, dass ein Beweis der Negation existiert (und ich deshalb keinen Beweis finden kann), dann kann man den Umkehrschluss schon ziehen.
Und bedeutet es schliesslich, dass ein Beweis (aus formalen Gründen) nicht existieren kann, dann allerdings bin ich in der gödelschen Falle.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Surjektivität beweisen: Sei definiert durch für alle dann ist f surjektiv , denn wenn und ist, ist und und somit hat jedes ein Urbild unter f.

Toll, jetzt hast du gezeigt, dass und ein Urbild besitzen. Aber das ist für Kinder. Es gibt noch viel mehr reelle Zahlen, die du alle ignoriert hast! Du musst zu beliebig ein Urbild finden!

-----

Dann sieh einfach als Gleichung an, die du lösen willst.
Was für Lösungen gibt es? Für alle sind die Paare Lösungen. Gibt es weitere Lösungen ist die Funktion nicht injektiv, sind dies die einzigen Lösungen, so ist sie injektiv.
-----
Was sind die Lösungen von

und warum gibt es keine weiteren?

-----

Nullteilerfrei heißt:
Wenn es gibt mit , dann ist oder .
Klar:
Wäre , so ist
-----
Gäbe es hingegen mit , so wären dies Nullteiler.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch, ich mach einfach mal das was in meinen Script steht, auch wenn ich es nicht verstehe, da es für mich kein Beweiß ist.

Zur Surjektivität:
[...]Dann ist f surjektiv, denn wenn , dann gilt und es ist . Jedes besitzt also ein Urbild unter f.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht so wohl kaum im Skript...

Du musst dich entscheiden, was zum Definitionsbereich und was zur Zielmenge gehört. Wenn du zu ein Urbild suchst, dann muss gelten und nicht umgekhert.

Von daher ist das Argument falsch.

edit:
Das muss in etwa so heißen (anderes Beispiel ):
Dann ist g surjektiv, denn wenn , dann gilt und es ist . Jedes besitzt also ein Urbild unter g.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht fehlt es mir überhaupt am Verständnis, wie ich so was Beweisen kann. Wärend ich witzigerweise den Gegenbeweis recht schnell verstanden habe. Vielleicht fangen wir da am besten noch mal weiter vorne an. (sorry das ich sooo auf dem Schlauch stehe).


Hier steht.
Zitat:
Um Surjektivität einer Abbildung f:M -> N zu beweisen, muss man mit einem belibigen Element n€N beginnen und ein Element m€M explizit angeben , für das f(m) = n gilt.


Also für mich ist f(m) = n sonst wäre das doch wohl kaum eine Funktion, oder?
Belibig, heißt ich kann ein "belibigen Wert" nehmen, aber wie definiert der Mathematiker einen beliebigen Wert? Für mich bedeutet das ich kann einfach einen Wert aus dem Wertebereich nehmen und diesen Rückrechnen um auf m zu kommen. So wie ich es oben gemacht habe, aber das ist wohl nicht korrekt.


Zitat:
Injektivität: Wir geben uns ein belibiges Element n€Bild(f) vor und nehmen an, dieses Element hätte Urbilder m und m', also f(m) = f(m'). Dann leiten wird aus der Gleichung her, dass m = m' sein muß, das n nur ein einziges Urbild hat.


Jetzt kommt die Härte, die ich nicht verstehe, in der Beispielformel wird nun einfach x durch m bzw m' abgeändert und solange umgeformt das sie m=m' ist. Was ist das für ein beweiß? Wenn ich die Gleichen Schritte an der gleichen Formel mache, dann erhalte ich doch immer das gleiche ergebnis.
Beispiel bei Formel wäre dann doch daraus Wurzel und ich habe und damit doch die Injektivität beweisen, oder?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir erst einmal bei Surjektivität.
Also das Zitat ist im Grunde richtig. Genau das habe ich eben gemacht. Ich habe genommen und das Element aus explizit angegeben, das war .
Und dann habe ich nachgerechnet, dass tatsächlich gilt.

muss irgendeinen Wert annehmen, klar, sonst wäre es keine Funktion. Aber es ist nicht gesagt, dass dies sein muss.
Hier wird z.B. der Wert nie getroffen. ( ist auf der -Achse! )


Man muss für alle Elemente aus ein Urbild in finden. Es genügt nicht, wie man vll. interpretieren könnte, ein beliebiges zu wählen.
Gemeint ist, dass man in der Rechnung beliebig lässt, so dass jeder Wert dort eingesetzt werden kann. Man rechnet quasi für alle Elemente gleichzeitig.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann Probiere ich es nochmal, wenn ich es richtig verstanden habe, bedeutet Surjektivität, das wenn man die inverse Funktion als Urbild angibt, und man dann den eigendlichen "Parameter" der bestandteil der Inversen Funktion ist, so lange Herumrechnet, bis das man nur noch diesen Parameter oder Variable hat. So weit war ich schon mal vor ein paar Tagen, habs aber verworfen, da mir das einfach zu falsch vorkam.

Also:
Sei definiert durch für alle dann ist f surjektiv,
denn wenn ist und es es ist . Jedes besitzt also nur ein Urbild und f.

Ich hoffe das ist jetzt mal richtig...
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das wenn man die inverse Funktion als Urbild angibt

Du meinst das Richtige. Und das was du machst dürfte auch richtig sein.

Aber eine Funktion kann kein Urbild sein. Gut, du kannst das so sehen, dass du den passenden Funktionswert der inversen Funktion wählst.
Aber, wenn du weißt, dass es eine inverse Funktion gibt, dann musst du ohnehin nichts mehr zeigen.

Allerdings aufgepasst!
Zu

gibt es keine inverse Funktion. Dazu muss man Definitionsbereich und Wertevorrat einschränken.

Ansosten, wäre das hier falsch!
Zitat:
Beispiel bei Formel wäre dann doch daraus Wurzel und ich habe und damit doch die Injektivität beweisen, oder?

Es könnte doch genauso sein! So trivial ist das nicht immer.

edit:
Der Punkt ist der:
Natürlich darf man auf beiden Seiten umformen. Aber nur dann, wenn dadurch eine äquivalente Aussage erreicht wird. Das Ziehen der Wurzel ist nicht immer eine Äquivalenzumformung.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann glaube ich, ich habe das beweisen von Surjektivität begriffen. Ob Verstadnen wird sich hoffentlich mal zeigen. Und nun weiter mit Injektivität.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Beitrag bezog sich schon unter anderem auf die Injektivität.
Ein anderes Beipiel wäre
.

Aus folgt keineswegs .
Der Arkussinus ist nur auf einem sehr kleinen Intervall die Umkehrfunktion.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da Cugu das kleine Wort wohl überlesen hat, möchte ich auf einen potenziellen Fehler eingehen:

Zitat:
Original von Taladan
Jedes besitzt also nur ein Urbild und f.


Nein!
Das heißt nur, dass es ein Urbild gibt. Dass dieses eindeutig ist ("es gibt nur eins") wurde damit nicht gezeigt. Wolltest du aber auch nicht zeigen, denn das hat mit Surjektivität nichts zu tun. Surjektivität stellt nur die Frage, ob es ein Urbild gibt.

air
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

edit:
Ah da stand das, ok, habe ich überlesen... Engel

Es muss natürlich heißen:
"Jedes besitzt also mindestens ein Urbild unter f."

Die Aussage
"Jedes besitzt höchstens ein Urbild unter f."
stimmt in dem Fall auch, aber das ist die Injektivität.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem mein Rechner endlich wieder normal funktioniert, kann es weiter gehen. Habe ich hier Injektivität richtig bewiesen und die Schlussfolgerung richtig definiert?

Sei
g ist injektiv.
Seien mit3

gekürzt um -4 und mal 1/3 ergbit .
Damit ist g injektiv. Da unendlich viele Elemente enthält, hat das Bild(g) ebenfalls unendlich viele Elemente.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Beweis der Injektivität ist okay! Freude

air
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Ich glaub langsam dämmerts wie es funktioniert.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen Funktionen wirkt es halt zu banal. Interessant wird es bei etwas abstrakteren Funktionen etc. Augenzwinkern

air
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl du es banal nennst, haben ja scheinbar viele Studenten Probleme damit (so steht es sogar in meinen Script). Daher kann ich nicht verstehen, warum man lediglich drei Beispiele und keine Übungsaufgaben gemacht hat. Wenn das so Elementar ist, dann sollte man doch dutzende Übungsaufgaben machen, damit das wirklich sitzt, aber auch die findet man nirgends.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bei so banalen Beispielen gibt es halt nichtviel zu machen. Ob da nun eine '3' oder eine '5' steht ist ja egal. Solche Beispiele kannst du dir genügend selbst machen.

Komplexere Beispiele damit bekommst du noch genug.

air
Eyian Auf diesen Beitrag antworten »

HAHA 2 Jahre später sitz ich vor der gleichen Frage mit der selben Aufgabe ... verstehs aber nicht Big Laugh hast du die Prüfung bestanden ?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »