Zariski-Topologie

24.09.2010, 11:36

D@Npower

Zariski-Topologie

Guten Tag, liebe Matheboard'ler!

Da ich weder in meinem Skript noch auf Wikipedia eine Lösung zu meiner Frage finde, stelle ich sie hier und hoffe, hier auf Antworten zu stossen.

Das Problem ist folgendes:
Sei X:= IR (bzw. C) versehen mit der Zariski-Topologie. Wie untersucht man richtigerweise Abbildungen auf Ihre Stetigkeit?

Meine Idee wäre folgende:
Falls X:= IR ist, untersucht man die Abbildungen ganz "normal" per Epsilon-Delta Kriterium auf Stetigkeit.
Falls X:= C ist, wendet man folgendes Stetigkeits-Kriterium an:
Seien M, N topologische Räume und f : M --> N eine Abbildung. f heißt stetig, wenn für jede offene Menge U Teilmenge von N das Urbild g^(-1)(U) Teilmenge von M offen ist.

Wäre das korrekt?

Also konkret bspw.:
$\begin{eqnarray*} f: X \to X \ , \ x \to exp(x) \end{eqnarray*}$
Sei X:= IR. Nach Epsilon-Delta Kriterium ist diese Abbildung stetig.
Sei X:= C. Nach obigem Kriterium wäre die Abbildung stetig.
(für X:= C habe ich das nun aber "einfach" im Kopf "geprüft" - wie sähe hierzu ein guter Beweis bzw. eine gute und nachvollziehbare Betrachtung aus? )

Herzlichen Dank für die Hilfe!

24.09.2010, 16:52

Reksilat

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RE: Zariski-Topologie
Hi Dan,

Warum verwendest Du für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein anderes Stetigkeitskriterium als für $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , bzw. warum soll das "Epsilon-Delta Kriterium" äquivalent zur topologischen Stetigkeit sein?
verwirrt

Für eine Untersuchung der Stetigkeit ist hier in erster Linie wichtig, wie offene Mengen aussehen.

Gruß,
Reksilat.

24.09.2010, 17:31

Lord Pünktchen

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RE: Zariski-Topologie
Das epsilon-delta kriterium ist äquivalent zur topologischen stetgiekeit falls der topologische Raum metrisierbar ist und man die zum topologischen Raum zugehörige Metrik in dem epsilon-delta-kriterium verwendet.

D.h. einfach die standart-Metrik bzw. Betragsnorm zu verwenden wäre im allgemeinen falsch.

Aber letzten endes hat Reksilat recht. Für eine sinnvolle Untersuchung der Stetigkeit ist hier in erster Linie wichtig, wie offene Mengen aussehen.

24.09.2010, 23:06

D@Npower

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RE: Zariski-Topologie
Herzlichen Dank für Eure Antworten!

Ich habe mir gerade den Wikipedia-Eintrag zu offenen Mengen durchgelesen - und würde also behaupten, dass unsere Beispielabbildung stetig ist, da jedes Urbild einer offenen Teilmenge wieder offen ist.

Das sind nun alles immer noch Behauptungen - mein Problem liegt aber darin, dies formal zu zeigen...wie sähe ein wirklich guter, richtiger, formaler Beweis aus?

25.09.2010, 00:13

gonnabphd

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Wie kommst du denn zum Schluss, dass die Funktion stetig sein soll? Ich denke, dass das einfach geraten ist... verwirrt

z.B. ist doch die Menge $\begin{eqnarray*} \{1 \} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, da sie das Komplement von $\begin{eqnarray*} D(x-1) \end{eqnarray*}$ ist.

Wie sieht nun $\begin{eqnarray*} \exp^{-1}(\{1 \}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ aus? Kann diese Menge abgeschlossen sein?

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sollte die Funktion stetig sein. Der Beweis wird sich wohl durch die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} \exp: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ geben...

25.09.2010, 00:52

Cugu

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Man müsste statt koendlichen Mengen die koabzählbaren Mengen nehmen, dann würde es klappen mit der Stetigkeit der e-Funktion. Idee!

Hat die Topologie schon einen Namen? Ich hätte Interesse... Engel

25.09.2010, 01:20

D@Npower

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Zitat:

Original von gonnabphd
[...] da sie das Komplement von $\begin{eqnarray*} D(x-1) \end{eqnarray*}$ ist.

Das verstehe ich nicht ganz: Was genau bedeutet D ?

Dass aber $\begin{eqnarray*} \exp^{-1}(\{1 \}) \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist (also offen), konnte ich sehen.
Das heisst also, dass unsere Abbildung über C nicht stetig ist, da es keine offene Teilmenge gibt, dessen Urbild offen ist.

Und wie gesagt: Für IR ist die Abbildung stetig.

Allgemeine Frage: Geht man also immer so vor, dass man eine abgeschlossene Menge nimmt, diese Menge (hier: {1}) in die Funktion einsetzt und dann schaut, ob das Urbild abgeschlossen oder offen ist - und je nach dem folgt dann Stetigkeit bzw. eben nicht?

25.09.2010, 01:31

Cugu

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Zitat:

Dass aber $\begin{eqnarray*} \exp^{-1}(\{1 \}) \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist (also offen), konnte ich sehen.

Wer hat denn behauptet, dass die Menge offen ist? Die ist weder offen noch abgeschlossen...

$\begin{eqnarray*} D(x-1)=\{x\in \mathbb K: x-1\neq 0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb K=\mathbb C \end{eqnarray*}$

Zitat:

da es keine offene Teilmenge gibt, dessen Urbild offen ist.

Also das Urbild der leeren Menge ist sicherlich die leere Menge. Aber das ist auch nicht die Negation von stetig...

25.09.2010, 02:05

gonnabphd

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Zitat:

Man müsste statt koendlichen Mengen die koabzählbaren Mengen nehmen, dann würde es klappen mit der Stetigkeit der e-Funktion. Idee!

Hat die Topologie schon einen Namen? Ich hätte Interesse... Engel

Naja, so erfinderisch in der Namensgebung sind Mathematiker ja eigentlich nicht. Wie wärs mit "countable complement topology"?

25.09.2010, 02:27

D@Npower

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Zitat:

Also, man fasse zusammen: Für IR ist die Funktion stetig, für C allerdings nicht.

Würde ich nun z.B. die Funktion x --> cos(x) untersuchen wollen, so wähle ich wieder eine abgeschlossene Menge, z.B. {1} und betrachte dann das Urbild?

25.09.2010, 02:29

Cugu

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Ja, mach mal! Und, ist das Urbild abgeschlossen?

Zitat:

Wie wärs mit "countable complement topology"?

Dann wissen die Leute, die das mit CCT abkürzen, aber nicht welches C für Cugu steht... Engel

25.09.2010, 16:46

D@Npower

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Falls X:= IR:
Es liegt keine Stetigkeit vor, da das Urbild der offenen Menge cos(x) nicht offen ist.

Falls X:= C:
Auch hier liegt keine Stetigkeit vor.

Hmm - der richtig formale Beweis versteh' bzw. seh' ich immer noch nicht wirklich.. - wäre es nicht möglich, evtl. einen "Beweis" (nur einmal) von A-Z zu posten, damit ich sehe, wie ihr vorgeht, wie ihr die Behauptungen zeigt und dann zum richtigen Schluss kommt?

25.09.2010, 17:49

Cugu

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Wie wäre es denn, wenn du zunächst (statt einfach nur zu behaupten) deine Aussagen - wenn schon nicht formal, dann wenigstens inhaltlich nachvollziebar - begründest?
Oder du sagst, dass du keine Ahnung hast und nur rätst bzw. das Ergebnis irgenwoher kennst... Augenzwinkern

Zitat:

da das Urbild der offenen Menge cos(x) nicht offen ist.

Welche offene Menge? verwirrt

25.09.2010, 18:33

D@Npower

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Hehe..also, was ich gemacht habe: Ich habe den Plot der Umkehrabbildung von cos(x) betrachtet, und dies im reellen sowie komplexen Fall.
Und da die beiden Graphen nicht stetig aussehen, komme ich auf die Behauptung, dass die Abbildungen nicht stetig sind.
Aber wie gesagt, das ist nicht formal (und evtl. auch nicht richtig..)

[attach]16117[/attach]

25.09.2010, 19:53

Cugu

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So, das hilft uns doch weiter. Wenn man so die Stetigkeit überprüfen kann, dann will ich Maurice Fréchet heißen...

smile

Am besten vergisst du für einen Augenblick alles, was du über Metrische Räume, $\begin{eqnarray*} \epsilon, \delta \end{eqnarray*}$ etc. weißt.

Eine Topologie $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist ein Mengensystem über einer Grundmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , das gewisse Axiome erfüllt:
1. $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \tau \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} X \in \tau \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist stabil gegenüber endlichen Schnitten
4. $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist stabil gegenüber beliebigen Vereinigungen

Die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Topologie $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ heißt topologischer Raum $\begin{eqnarray*} (X,\tau) \end{eqnarray*}$ .

Die Elemente der Topologie werden offene Mengen genannte. Die Komplemente sind die abgeschlossenen Mengen.

Tanzen

So und jetzt zurück zum Anfang:

Zitat:

Das Problem ist folgendes: Sei X:= IR (bzw. C) versehen mit der Zariski-Topologie.

Die erste entscheidende Frage:
Welche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sind bezüglich der Zariski-Topologie offene Mengen? Wie wurde die Topologie eingeführt? Es muss doch irgendwo bei dir im Skript/Übungszettel etc. eine Definition geben!

25.09.2010, 20:15

D@Npower

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Zitat:

Original von Cugu
Welche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sind bezüglich der Zariski-Topologie offene Mengen? Wie wurde die Topologie eingeführt? Es muss doch irgendwo bei dir im Skript/Übungszettel etc. eine Definition geben!

Ja, also bei uns wurde sie über abgeschlossene Mengen eingeführt, wie folgt:

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist Zariski abgeschlossen, wenn A Nullstellenmenge eines Polynoms ist. Abgeschlossene Mengen sind somit die leere Menge, IR und endliche Mengen.
Das heisst: $\begin{eqnarray*} O_Z = \{\emptyset , \mathbb R , \mathbb R \setminus F \} \end{eqnarray*}$ (wobei F endlich) ist Topologie.

Entsprechendes gilt auf den komplexen Zahlen.

25.09.2010, 21:08

Cugu

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So. Nun hast du selbst schon geschrieben:
$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ heißt stetig, wenn für jede offene Menge $\begin{eqnarray*} U \subseteq N \end{eqnarray*}$ das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U)\subseteq M \end{eqnarray*}$ offen ist.

Da die Komplemente der Urbilder die Urbilder der Komplemente sind, kann man offen durch abgeschlossen ersetzen.

$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ ist stetig genau dann, wenn für jede abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A \subseteq N \end{eqnarray*}$ das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)\subseteq M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Zitat:

Abgeschlossene Mengen sind somit die leere Menge, IR und endliche Mengen.

Da die leere Menge und der Raum selbst triviale Urbilder haben, kannst du dich auf die endlichen Mengen beschränken.
Du musst also prüfen, ob die Urbilder endlicher Mengen endlich sind.

Wie ist das bei der Exponentialfunktion?

Fall $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ :
Was sagt die Bijektivität über die Anzahl der Elemente in Urbildern endlicher Mengen aus?

Fall $\begin{eqnarray*} X=\mathbb C \end{eqnarray*}$ :
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist einelementig, also endlich. Ist das Urbild, die Menge $\begin{eqnarray*} \exp^{-1}(\{1 \})=\{z\in \mathbb C:\exp(z)=1\} \end{eqnarray*}$ , auch endlich? Was sind die Elemente?

25.09.2010, 23:18

gonnabphd

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Zitat:

Wie wärs mit "countable complement topology"?

Dann wissen die Leute, die das mit CCT abkürzen, aber nicht welches C für Cugu steht... Engel

lol

25.09.2010, 23:50

D@Npower

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Zitat:

Original von Cugu
Wie ist das bei der Exponentialfunktion?

Fall $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ :
Was sagt die Bijektivität über die Anzahl der Elemente in Urbildern endlicher Mengen aus?

Ahh - jetzt wird's klarer smile

Wegen der Bijektivität ist die Anzahl der Elemente in Urbilder endlicher Mengen gleich, sprich ebenfalls endlich, das heisst, dass die Abbildung stetig ist.

Zitat:

Original von Cugu
Fall $\begin{eqnarray*} X=\mathbb C \end{eqnarray*}$ :
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist einelementig, also endlich. Ist das Urbild, die Menge $\begin{eqnarray*} \exp^{-1}(\{1 \})=\{z\in \mathbb C:\exp(z)=1\} \end{eqnarray*}$ , auch endlich? Was sind die Elemente?

Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist zwar endlich, deren Urbild jedoch nicht. --> Stetigkeit
(Die Elemente kann ich nicht explizit angeben.)

cos(x) wäre dann also auf IR stetig (Surjektivität, bzw. Epsilon/Delta-Kriterium), auf C allerdings nicht, da: Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist zwar endlich, das Urbild $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(\{1 \})=\{z\in \mathbb C:\cos(z)=1\} \end{eqnarray*}$ allerdings nicht. Die Elemente sind nicht anzugeben (grafisch: Oszillation).

26.09.2010, 16:26

D@Npower

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Stimmt der letzte Post?

Ich bin mir nämlich immer noch nicht zu 100% sicher..
Angenommen, man habe folgendes, einfacheres Beispiel:
x --> x

X = IR:
Die Abbildung ist zwar bijektiv, das Urbild, als 1/x kann aber offensichtlich nicht stetig sein.

Dasselbe würde für X = C gelten.

Ich versuche, mein Problem zu schildern: Ich verstehe, dass das Urbild einer abgeschlossenen (offenen) Menge wieder abgeschlossen (offen) sein muss, damit Stetigkeit vorliegt. Wenn ich nun bei dieser Abbildung (für X=IR): x-->x eine abgeschlossene Menge nehme, sagen wir {1}, so ist das Urbild auch abgeschlossen. Also müsste die Abbildung eigentlich stetig sein. Aber wenn ich die Abbildung aufzeichne oder plotten lasse, so ist offensichtlich, dass sie nicht stetig sein kann..
Versteht ihr mein "Dilmmea"?

26.09.2010, 17:18

Cugu

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Zitat:

Stimmt der letzte Post?

Natürlich nicht...

Ich sage noch einmal worum es hier geht:

Zitat:

Das Problem ist folgendes: Sei X:= IR (bzw. C) versehen mit der Zariski-Topologie.

Wenn du wissen willst, ob irgendwelche Funktionen bezüglich der Topologie, die vom Absolutbetrag induziert wird, stetig sind, dann mach ein neues Thema auf!
Hier geht es um Stetigkeit bezüglich der Zariski-Topologie.
Die beiden enstehenden Räume sind mit Sicherheit nicht hausdorffsch und daher mit Sicherheit nicht metrisierbar.
Daher kann man garantiert nicht mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon,\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium arbeiten!

Eine Argument wie

Zitat:

cos(x) wäre dann also auf IR stetig (Surjektivität, bzw. Epsilon/Delta-Kriterium)

ist folglich unbrauchbar, wenn wir auf Stetigkeit bezüglich der Zariski-Topologie untersuchen.
Du musst überprüfen, ob die Urbilder endlicher Mengen endlich sind.

Zitat:

Die Abbildung ist zwar bijektiv, das Urbild, als 1/x kann aber offensichtlich nicht stetig sein.

Wie soll ein Urbild auch stetig sein? Das ist doch eine Menge und keine Funktion.
Du musst überprüfen, ob die Urbilder endlicher Mengen endlich sind.

Wenn ich die Abbildung plotte, dann sieht mir das danach aus, als sei die Abbildung stetig!

Ich habe nämlich die Vermutung, dass die Urbilder endlicher Mengen endlich sind.

26.09.2010, 18:07

D@Npower

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Zitat:

Original von Cugu

Zitat:

Die Abbildung ist zwar bijektiv, das Urbild, als 1/x kann aber offensichtlich nicht stetig sein.

Wie soll ein Urbild auch stetig sein? Das ist doch eine Menge und keine Funktion.
Du musst überprüfen, ob die Urbilder endlicher Mengen endlich sind.

Ahhh..jetzt leuchtet die Birne Big Laugh

Ich habe das Urbild immer als Funktion betrachtet, statt als eine Menge.

Ich werde die Beispiele nochmals durcharbeiten, und mich bei Unklarheiten melden. Obwohl dein Post nun ziemlich viele Unklarheiten beseitigt hat!
Hezlichen Dank!

26.09.2010, 18:40

TomTom1

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Sorry, ich habe zwar die Posts jeweils gelesen, mich aber nie gemeldet.
Wenn du zum Beispiel die Abbildung X-->X, x --> x für X:=C auf Stetigkeit überprüfen willst, so wählst du, wie dir schon gezeigt wurde, eine einelementige Menge, z.B. {1} und schaust, ob deren Urbild auch endlich ist.
Und so geht's:
Das Urbid ist ja die Menge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\{1\}} = \{z \in \mathbb C: \frac{1}{z} \} \end{eqnarray*}$ , wobei z = x+iy ist. Nun kannst du x=1 wählen, und siehe da: Das Urbild ist endlich.

PS: Cugu hat dir - vor allem in seinem letzten Post - eine Bemerkung geliefert, die du dir merken kannst, da sie sehr richtig und wichtig ist ;-)
"Ich habe nämlich die Vermutung, dass die Urbilder endlicher Mengen endlich sind. "

..nur der erste Teilsatz könntest du weglassen, da es nicht nur eine Vermutung ist ;-)

26.09.2010, 20:42

Cugu

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Damit nicht in Zukunft jedes Mal neu überlegt werden muss:

Tanzen

Proposition:
Für den Topologieschen Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb K,\tau_Z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb K= \mathbb C \end{eqnarray*}$ und der Zariski-Topologie $\begin{eqnarray*} \tau_Z \end{eqnarray*}$ gelten:

1) Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb K \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ eine injektive Abbildung. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig
2) Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb K \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ eine periodische Abbildung. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht stetig
3) Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R)\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ stetig.

Beweis:
1) Sei $\begin{eqnarray*} A \subseteq \mathbb K \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Setze $\begin{eqnarray*} n:=|A| \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist $\begin{eqnarray*} |f^{-1}(A)|\leq|A|=n \end{eqnarray*}$ .
Folglich ist das Urbild von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

2) Sei $\begin{eqnarray*} T \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ die Periode, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x+T)=f(x) \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ und definiere $\begin{eqnarray*} y:=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \{x_0+kT:k\in \mathbb Z\} \subseteq \{x\in \mathbb K: f(x)=y\} = f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray*}$ .
Folglich ist das Urbild der abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray*} \{y\} \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.
Da es eine abgeschlossene Menge gibt, deren Urbild nicht abgeschlossen ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht stetig.

3) Sei $\begin{eqnarray*} A\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Da $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\mathbb R )= \mathbb R \end{eqnarray*}$ und damit abgeschlossen ist, muss nur noch der Fall $\begin{eqnarray*} A\subsetneqq \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet werden.
Aus $\begin{eqnarray*} A\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ abgeschlossen folgt dann zusammen mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.
Nach Konstruktion ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und damit abgeschlossen. $\begin{eqnarray*} \blacksquare \end{eqnarray*}$

Tanzen

Ich habe das einfach so runter geschrieben, also viel Spaß beim Fehler suchen!

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