Probleme mit Schreibweise / Induzierte Matrixnorm

24.09.2010, 14:07

Kevin-2010

Probleme mit Schreibweise / Induzierte Matrixnorm

Hallo alle,

ich verstehe die folgende Schreibweise nicht (irgentwie wird das auch in keinem Skript erklärt -.- ):

$\begin{eqnarray*} ||A||:= \max_{||x||=1} ||Ax|| \end{eqnarray*}$

Drei fragen dazu:

- ist dabei $\begin{eqnarray*} ||Ax|| \end{eqnarray*}$ eine Vektornorm ? bzw. ist das überhaupt eine norm ?

- dann steht da max. Was soll da maximiert werden das x ? oder soll das x so verändert werden, das die norm zum schluss maximal wird?

und unter dem max steht $\begin{eqnarray*} || x||= 1 \end{eqnarray*}$ . wieso steht das da? was bedeutet das?

gruß

Kevin

24.09.2010, 14:10

tigerbine

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RE: Probleme mit Schreibweise / Induzierte Matrixnorm
Die Frage muss anders herum gestellt werden. Wenn man nur Vektornormen kennt, was soll dann $\begin{eqnarray*} \|A\| \end{eqnarray*}$ sein?

Man hofft, dass man sich aus einer Vektornorm eine Matrixnorm basteln kann. Wie, das sagt gerade die Definition. Ax ist dabei doch ein Vektor, der Bildvektor von x unter A. Mehr steht hier:

[WS] Lineare Gleichungssysteme 1

24.09.2010, 14:27

Kevin-2010

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das hilft mir leider nicht weiter. mein problem ist das ich die Schreibweise nicht verstehe...

z.b. bedeutet ja $\begin{eqnarray*} \max_{a_{0},a_{1},...,a_{n}} |a_{i}| \end{eqnarray*}$

das das betragsmäßig größte a_{i} ausgesucht wird aber die schreibweise

$\begin{eqnarray*} \max_{||x||=1} ||Ax|| \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht.

würde beispielsweise gehen $\begin{eqnarray*} \max_{||x||=1} ||Ax||_{1} \end{eqnarray*}$

also das man ||Ax|| mit betragssummennorm berechnet?

24.09.2010, 14:36

Kevin-2010

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vielleicht kann ich meine frage damit noch besser stellen:

Es sei die Matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne $\begin{eqnarray*} ||A|| \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} ||A||:= \max_{||x||=1} ||Ax|| \end{eqnarray*}$ ist

24.09.2010, 14:55

tigerbine

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Was ist daran unklar?

1. Wähle eine Vektornorm.

2. Betrachte nur die bzgl. normierten Vektoren als Urbilder.

3. Betrachte die Bilder unter A bzgl. der Norm aus 1. Was ist der größte Wert.

Zitat:

Es sei die Matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne $\begin{eqnarray*} ||A|| \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} ||A||:= \max_{||x||=1} ||Ax|| \end{eqnarray*}$ ist

Die Vektornorm ist nicht definiert.

24.09.2010, 15:24

Kevin-2010

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ok ich versuchs mal:

Ax ist ja ein Vektor also wähle ich mir z.b. die Betragssummennorm: $\begin{eqnarray*} ||x||_{1} = \sum\limits_{k=1}^n |x_{k}| \end{eqnarray*}$

das bedeutet: $\begin{eqnarray*} ||A|| = \max_{||x||=1} ||Ax||_{1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \max_{||x||=1} \sum\limits_{i=1}^2 \sum\limits_{k=1}^2 |a_{ik}*x_{k}| \end{eqnarray*}$

laut 2.) soll ich mir jetzt einen normierten Vektor suchen beispielsweise $\begin{eqnarray*} x = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

und 3.) weiß ich nicht genau wie ich das machen soll .

24.09.2010, 15:26

Kevin-2010

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bei 3.) ist doch der größte wert abhängig von dem gewählten vektor. das verstehe ich nicht.

24.09.2010, 15:38

tigerbine

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Im Link einfach mal runterscrollen. Da sind die allgemeinen Nachweise für 3 Matrizen gemacht. D.h. man sucht sich erst mal eine schönere Darstellung, damit man es direkt aus der Matrix berechnen kann. Der Beweis zeigt nur, dass es stimmt und nicht, wie man drauf kommt.

24.09.2010, 16:51

Kevin-2010

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also wenn ich das richtig verstanden habe, wird so argumentiert.

du hast dir ein bel. x mit ||x||=1 gesucht. hast das nachoben durch S abgeschätzt. S ist die Spalte Zeile (sozusagen).

und hast die Matrixnorm zwischen dem S eingefangen. S <= ||A|| <= S

das bedeutet doch das ich einfach S ausrechnen muss!

damit ergibt sich doch: a11 + a21 = 5 und a12 + a22 = 9 und nun das maximum beider.

||A|| = 9.

Daraus folgt, dass diese Induzierten Matrixnormen genauso berechnet werden wie die "normale" dahinterliegende Matrixnorm, nur das eben einige nützliche eigenschaften hinzukommen.

Ist dies korrekt?

24.09.2010, 17:00

tigerbine

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Du gibst eine Formel vor. Dann weist du nach, dass sie der Definition genügt. Die Formel "fällt" vom Himmel.

Zitat:

Original von tigerbine
Spaltensummennorm

$\begin{eqnarray*} ||A||_1 = \max_{j=1,...,n}~\sum_{i=1}^m~|a_{ij}| \end{eqnarray*}$

Beweis 1:

Sei $\begin{eqnarray*} S:=\max_{j=1,...,n}~\sum_{i=1}^m~|a_{ij}| \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n,~||x||_1=1 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} ||Ax||_1 &&= \sum_{i=1}^m~\begin{vmatrix}\sum_{j=1}^n~a_{ij}x_j \end{vmatrix} \leq \sum_{i=1}^m~\sum_{j=1}^n~\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}x_j \end{vmatrix} \\&& =\sum_{j=1}^n \Bigl( |x_j|~\sum_{i=1}^m~|a_{ij}| \Bigr) \\&& \leq \sum_{j=1}^n \Bigl( |x_j| \cdot S \Bigr) \\&&=S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ||A||_1 \leq S \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ der j-te Einheitsvektor. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \max_{j=1,...,n}~||Ae_j||_1 =\max_{j=1,...,n}~ \sum_{i=1}^m~|a_{ij}| =S \leq \sup_{||x||_1=1}||Ax||_1 = ||A||_1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt $\begin{eqnarray*} ||A||_1 = S = \max_{j=1,...,n}~\sum_{i=1}^m~|a_{ij}| \end{eqnarray*}$

Hier ist dann $\begin{eqnarray*} \|A\|_1 = 9 \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 17:16

Kevin-2010

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ok vielen dank. ich denke ich habe das verstanden. smile

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