Eigenvektoren

27.09.2010, 00:01

ebichu

Eigenvektoren

Hallo zusammen.
Ich stecke bei folgender Aufgabe:

Und zwar soll ich die eigenvektoren folgender matrix berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -sin(v) & cos(v) \\ cos(v) & sin(v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die eigenwerte habe ich zu l_1=1 und l_2=-1 berechnet. Wenn ich nun den eigenvektor zu l_1 berechnen will komm ich nicht so recht weiter.

Muss ja dann folgendes gleichungssystem lösen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1+sin(v) & -cos(v) \\ -cos(v) & 1-sin(v) \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie kann ich das lösen?

glg
ebi

27.09.2010, 00:22

Cugu

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Wenn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu lösen ist und du weißt, dass die beiden Zeilen linear abhängig sind, dann würde ich es mit mal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -d \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ probieren.
Welchen du nimmst ist egal, da die beiden Vektoren Vielfache von einander sein müssen. Nette Probe....

27.09.2010, 10:00

ebichu

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Hi und danke für die Antwort.

Genau genommen ist ja folgendes zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da ja zwei einträge gleich sind.

Wieso weiss ich, dass beide zeilen linear abhängig sind, und wie kommst du dann auf diesen ansatz? Erfahrungswert?

grüsse
ebi

27.09.2010, 10:47

Reksilat

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Die Zeilen sind linear abhängig, da dieses homogene LGS eine nichttriviale Lösung besitzt (schließlich weißt Du, dass ein Eigenvektor existiert). Wären die beiden Zeilen linear unabhängig, wäre eben der Nullvektor die einzige Lösung.

Gruß,
Reksilat.

27.09.2010, 12:53

Sly

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Ist ein bisschen fummelig, aber machbar. Um nicht in ellenlange Rechnungen auszuarten, kann man ein wenig abkürzen. Schreibe $\begin{eqnarray*} a=-\cos\theta \end{eqnarray*}$ und nehme o.B.d.A. an, dass $\begin{eqnarray*} \sin\theta\geq 0 \end{eqnarray*}$ . (Nachdem du diese Rechnung gesehen hast, kannst du dir den anderen Fall überlegen.)
Dann erhälst du
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{1-a^2} & a \\ a & 1-\sqrt{1-a^2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Du weißt ja, wie Reksilat schon sagte, dass die Zeilen linear abhängig sein müssen. Im Falle $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist das durch Einsetzen offensichtlich. Für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ stehen da keine Nullen, also können wir durch Quotientenbildung nachprüfen, ob das obige Vielfache von dem unteren ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-\sqrt{1-a^2}} = \frac{a(1+\sqrt{1-a^2})}{(1-\sqrt{1-a^2})(1+\sqrt{1-a^2})} = \frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a} \end{eqnarray*}$ .

Es passt also. (Bemerkung: So ausführlich muss es natürlich nicht sein, aber ich hab es so geschrieben, damit du die lineare Abhängigkeit mal konkret siehst.)
Wegen Zeilenäquivalenz kürzt sich das LGS also zu
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{1-a^2} & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Den Rest kannst du dir ja überlegen...

27.09.2010, 12:58

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+sin(v) & -cos(v) \\ -cos(v) & 1-sin(v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Oder Du multiplizierst die erste Zeile mit $\begin{eqnarray*} -\cos(v) \end{eqnarray*}$ , die zweite mit $\begin{eqnarray*} (1+\sin(v)) \end{eqnarray*}$ und verwendest den trigonometrischen Pythagoras. Augenzwinkern

27.09.2010, 22:12

ebichu

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Hi zusammen
Danke für die Antworten, werd mir das gleich genauer durchschauen...

Noch dazu:

Zitat:

Original von Reksilat
Die Zeilen sind linear abhängig, da dieses homogene LGS eine nichttriviale Lösung besitzt (schließlich weißt Du, dass ein Eigenvektor existiert). Wären die beiden Zeilen linear unabhängig, wäre eben der Nullvektor die einzige Lösung.

Gruß,
Reksilat.

das gilt aber nur in diesem fall oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

denn bei dieser matrix sind die zeilen auch linear unabhängig und ich hab nicht nur die Triviallösung... verwirrt

grüsse
ebi

27.09.2010, 22:28

ebichu

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hallo, ich nochmal.

Ok, ich habs nun einigermassen hinbekommen denk ich. Folgendes hab ich raus für den ersten eigenvektor zum eigenwert +1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{cos(v)}{1+sin(v)} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

na was meint ihr? Schaut doch ganz ordentlich aus.

Habs übrigens mit dem trigonometrischen pythagoras gemacht, danke nochmals für den tipp.

morgen versuch ich noch den zweiten.

lg

28.09.2010, 10:16

Reksilat

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Zitat:

Original von ebichu
...
das gilt aber nur in diesem fall oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

denn bei dieser matrix sind die zeilen auch linear unabhängig und ich hab nicht nur die Triviallösung... verwirrt

Welche nichttriviale Lösung hat den das LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bei Dir?

Dein Eigenvektor stimmt aber. Du kannst ihn allerdings auch als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos(v)\\1+\sin(v)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben, dann sparst Du Dir zudem die Diskussion für $\begin{eqnarray*} 1+\sin(v)=0 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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