Lineare Algebra: Kern und Bild angeben T(A) = A + A^-1

27.09.2010, 11:20

JanKannnix

Lineare Algebra: Kern und Bild angeben T(A) = A + A^-1

Meine Frage:
Hallo zusammenm, ich habe hier eine Aufgabe, bei der habe ich einfach einen Brett vorm Kopf wie es scheint.

Also:
T:R^n -> R^n und T(A) = A + A^-1
a) T linear?
b) Kern und Bild angeben
c) konkrete Form der Matrizen zu Kern und BIld angeben

Meine Ideen:
a) Nicht linear da in der Addition schon fehlschlägt...
also T(A+B) = (A+B)+(A+B)^-1 != (A+A^-1) + B+B^-1 weil ja (A+B)^-1 != A^-1 + B^-1...
b) Kern: Alle Matrizen, die für T(A) auf das Nullelemnt abbilden...
Ich weiß nich... also für mich ist A + A^-1 nur = 0, wenn A die NUllmatrix ist, also Kern(T) = {0}, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll, oder ob es stimmt.
Bild: Dürften alle Matrizen sein, die aus A + A^-1 erzeugt werden können, aber welche sind das? ..
c) Kern wäre dann die Nullmatrix bis n und Bild hm...ich überseh doch irgendwas oder?...

Ich bedanke mich schonmal für eure eventuelel Hilfe!

Jan

27.09.2010, 11:46

Mazze

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Überprüfe deine Schreibweisen , meinst Du

$\begin{eqnarray*} T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(x) = Ax + A^{-1}x \end{eqnarray*}$

oder nicht doch eher

$\begin{eqnarray*} T : \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} T(A) = A + A^{-1} \end{eqnarray*}$

?

27.09.2010, 11:54

JanKannix

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Hm ja gute Frage:

Schlechte Reku..
Dort steht:
T:R^n --> R^n . M_n,n VR der nxn-Matrizen. mit T (A) = A + A^-1

Würde eher zur letzteren Variante tendieren... ergibt ja einen Sinn sonst...

27.09.2010, 11:58

JanKannnix

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Ich meinte natürlich "keinen " Sinn.

27.09.2010, 11:59

Mazze

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Das Problem ist, dass die zweite Variante nur dann wohldefiniert ist, wenn man sie auf den invertierbaren Matrizen betrachtet. Ist 0 etwa die Nullmatrix, was soll dann $\begin{eqnarray*} T(0) \end{eqnarray*}$ sein? Hast Du nicht den original Wortlaut zur Hand?

27.09.2010, 12:13

Jankannix2

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Nein, leider nicht. Ok dann gehen wir mal davon aus das es invertierbare Matrizen sind denn die erste Variante ist es sicher nicht. Ja 0 sollte die nullmatrix darstellen.

27.09.2010, 12:21

Mazze

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Die Nullmatrix ist nicht invertierbar. Sprich, T(0) ist nicht definiert. Für die zweite Variante hast Du recht, diese Abbildung ist nicht linear.

Was den Kern angeht, gibt es überhaupt (reelle) Matrizen die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} A = -A^{-1} \end{eqnarray*}$

erfüllen? Und ob man das Bild näher characterisieren kann sehe ich auch nicht. Für die erste Variante würden die Aufgaben zumindest einige Ergebnisse liefern.

27.09.2010, 12:51

JanKannnix

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Puh stimmt, also wäre die NUllmatrix auch kein Element im Kern und ich sehe keine
MAtrix die A = -A^-1 erfüllt

Wenn A Orthogonal wäre A = -A^T und wenn sie zudem schiefsymmetrisch wäre, würde gelten A^T = A^-1
Also A = -A^-1, aber so eine Matrize wird es wohl nicht geben Big Laugh

Es gab nur 2 Punkte jeweils für Bild und Kern, wahrschein ein einzeiler mit Begründung...

27.09.2010, 13:00

Mazze

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Zitat:

Wenn A Orthogonal wäre A = -A^T und wenn sie zudem schiefsymmetrisch wäre, würde gelten A^T = A^-1

Orthogonal heisst $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^T \end{eqnarray*}$ . Aber es gibt Matrizen die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} A + A^{-1} = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllen. Etwa die Matrix

$\begin{eqnarray*} iI_n \end{eqnarray*}$

wobei i die imaginäre Einheit ist. Dann ist nämlich

$\begin{eqnarray*} iI_n * (-iI_n) = -i^2 *I_n = I_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} iI_n + (-iI_n) = iI_n - iI_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

Allerdings gibt es keine reelle Matrix , die diese Gleichung erfüllt.

Kern : leere Menge, sollte klar sein.
Bild : ?

27.09.2010, 13:23

JanKannnix

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Bild: zumindest kann man die Nullmatrix aus dem Bild ausschließen, schließlich kann man den ja dann garnich erzeugen.....weitere Eingrenzungen seh ich nicht.

Und wie soll man davon nun eine konkrete Matrizenform angeben?...

27.09.2010, 13:34

Mazze

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So richtig verstehe ich den dritten Aufgabenteil auch nicht.

27.09.2010, 14:25

gonnabphd

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Zitat:

Allerdings gibt es keine reelle Matrix , die diese Gleichung erfüllt.

Kern : leere Menge, sollte klar sein.
Bild : ?

Man sollte mit Aussagen wie, "das sollte klar sein", vorsichtig umgehen. Oftmals ist das äquivalent zu "ich sehe zwar auf die Schnelle keinen Beweis für die Aussage, aber habe ein bisschen überlegt und finde kein Gegenbeispiel - also wird's wohl schon so sein".

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lässt grüssen.

Wink