Induktion

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28.09.2010, 23:58	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Guten Abend! Ich hätte eine Frage: Man beweise: $\begin{eqnarray} \| a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n \| \leq \sqrt{a_1^2 + ... + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + ... + b_n^2} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen, dass man die gesamte Zeile quadriert und sich dann an den Beweis (der Cauchy-Schwarz-Ungl.) macht?
29.09.2010, 08:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das könnte man tun, denn nach dem quadrieren ist es genau die Cauchy-Schwarz Ungleichung.
29.09.2010, 16:18	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion Super - dann hab ich das richtige gemacht und herausbekommen Ich hätte noch eine Frage hierzu: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda \frac{1}{x} + (1- \lambda) \frac{1}{y} } \leq \lambda x + (1- \lambda)y \end{eqnarray}$ wobei x,y reelle Zahlen grösser 0 und Lambda aus [0,1] ist. Ich habe inzwischen den Bruch weggebracht, im resultierenden Ausdruck, der wieder aus Brüchen bestand, nochmals die Brüche "weggebracht". Mein momentaner Ausdruck lautet: $\begin{eqnarray} xy \leq 2 \lambda^2 xy + \lambda x^2 - \lambda^2 x^2 + \lambda y^2 + xy - 2 \lambda x y - \lambda^2 y^2 \end{eqnarray}$ Was kann ich nun noch machen, um die Behauptung zu zeigen?
29.09.2010, 16:27	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Sortiere mal nach den Potenzen von x und y und klammere xy, x² und y² entsprechend aus. Dann kannst du nochmal was ausklammern. Dann heißt es noch ein bisschen damit Rumspielen. Am Ende ist es eine Frage der binomischen Formel. (Edit: Sofern dein bisheriger Fortschritt stimmt, was ich nicht überprüft habe) air
29.09.2010, 16:36	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
..na klar..ich hab also folgendes in ausgeklammerter Form: $\begin{eqnarray} xy \leq -( \lambda x + y - y \lambda) (-x + \lambda x - y \lambda) \end{eqnarray}$ Reicht es nun "einfach" zu schreiben, dass die Behauptung gelten muss, da es jetzt ja ("irgendwie") offensichtlich ist?
29.09.2010, 16:42	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte jetzt mehr diese Zerlegung: $\begin{eqnarray} xy \leq xy(2\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda - \lambda^2)(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ Oder, noch etwas umgeschrieben: $\begin{eqnarray} 2(\lambda - \lambda^2)xy \leq (\lambda - \lambda^2)(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ So langsam sollte die binomische Formel sichtbar werden. Edit: Übrigens .. dass etwas "offensichtlich" ist, sollte man nur schreiben, wenn es das auch ist. Und so eine grobe Richtlinie: Wenns dir schon nicht klar ist, dann dem Professor sicherlich auch nicht. air
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29.09.2010, 16:57	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah..so ist es natürlich um einiges klarer, da hast du recht! ..nun könnte man doch $\begin{eqnarray} ( \lambda - \lambda^2) \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten dividieren - dann stände links 2xy und rechts (x^2+y^2), was natürlich grösser (bzw. für y=x=1 gleich) der linken Seite ist. Die binomische Formel wäre: $\begin{eqnarray} (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \end{eqnarray*}$
29.09.2010, 16:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du kannst dividieren. .... Wenn die Klammer nicht Null ist. Was in dem Fall passiert ist dann ja aber auch klar. Die Frage ist: Warum ist 2xy <= x²+y²? Die Antwort hierzu liefert dir die binomische Formel. Bedenke, dass für jede reelle Zahl gilt: $\begin{eqnarray} a^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ Insbesondere auch für a = x+y. Einsetzen, binomische Formel anwenden und es steht da, was du zu zeigen hattest. air
29.09.2010, 17:10	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Eine abschliessende Frage habe ich aber noch: "Natürlich" gilt: $\begin{eqnarray} (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ , wenn x oder (und) y > 0 ist - aber dass 2xy kleiner gleich x^2+y^2 ist, folgt hieraus aber noch nicht, oder? :S
29.09.2010, 17:33	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry. Ich meinte a = x - y. Also die zweite binomische Formel $\begin{eqnarray} (x-y)^2 \geq 0 ~\Leftrightarrow~ x^2+y^2-2xy \geq 0 ~\Leftrightarrow~ x^2+y^2 \geq 2xy \end{eqnarray}$ Und Achtung: Es gibt hier keine Bedingung an x und y. Das sind völlig beliebige reelle Zahlen. air
29.09.2010, 19:20	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann zieh' ich meine Frage / Bemerkung zurück Ich hätte nur noch eine letzte Frage: Wie kann man konkret aus der eben bewiesenen Behauptung folgern (vial vollst. Induktion, denke ich mal..), dass: $\begin{eqnarray} \frac{n}{ \frac{1}{a_1 } + ... + \frac{1}{a_n } } \leq \frac{a_1 + ... + a_n}{n} \end{eqnarray}$
29.09.2010, 19:56	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Induktionsanfang betrachte mal $\begin{eqnarray} \lambda = \frac12 \end{eqnarray}$ air
29.09.2010, 22:16	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Der Induktionsschritt ist dann: $\begin{eqnarray} n \to n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{ \frac{1}{a_1} +...+ \frac{1}{a_{n+1}} } = \frac{n}{ \frac{1}{a_1} +...+ \frac{1}{a_{n}} } + \frac{1}{ \frac{1}{a_{n+1}} } \leq \frac{a_1 + ... + a_{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ Für n (1.Term in der Mitte) stimmt die Behauptung nach Voraussetzung. Addiert man "noch 1 dazu" - so muss natürlich der Ausdruck auch für n+1 korrekt sein.
29.09.2010, 22:21	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf dieses Gleichheitszeichen? So funktioniert Bruchrechnung nun wirklich nicht $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{c+d} \neq \frac{a}{c} + \frac{b}{d} \end{eqnarray}$ air
29.09.2010, 22:35	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouw - bitte um Entschuldigung! Da habe ich natürlich einen "Copy-Paste-Fehler" gemacht. Richtig wäre: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{ \frac{1}{a_1} +...+ \frac{1}{a_{n+1}} } = \frac{n}{ \frac{1}{a_1} +...+ \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n+1}} } + \frac{1}{ \frac{1}{a_1} +...+ \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n+1}} } \leq \frac{a_1 + ... + a_{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$
29.09.2010, 22:42	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist nun die Begründung? Du hast jetzt halt hingeschrieben, was du zeigen musst. Mehr ist ja noch nicht passiert. air
29.09.2010, 22:45	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja..weil es halt fast schon trivial ist..weshalb ich auch nicht wirklich eine "Begründung" finde.
29.09.2010, 22:49	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist für dich trivial? Also dann muss ich wohl schwer blind sein. Ich sehe da absolut keine Trivialität! Notfalls spielt man mit den Termen etwas rum. Auf der linken Seite hast du nun eine Summe stehen, die du abschätzen willst. Bedenke aber, dass keiner der Summanden so aussieht, ass du die IA einsetzen kannst. Du musst also rumspielen! Momentan muss ich mich hier leider ausklinken. Morgen ist Prüfung. Wäre also nett, wenn jmd. ggf. übernimmt air
30.09.2010, 17:33	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm..hättest du evtl. einen Tipp auf Lager, der nicht gerade alles verrät, aber zumindest schon mal die Richtung vorgibt? Ich habe mittlerweile etwa 2 Stunden rumgepröbelt und nichts "nachvollziehbares" herausbekommen. Das Brauchbarste war noch, die Terme "auseinander" zu ziehen und mit (a_i) zu multiplizieren (i aus {1, ..., n+1}). Aber wie gesagt: Bisher ohne Erfolg..
30.09.2010, 17:54	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin gerade etwas beschäftigt, aber vielleicht lässt sich diese Idee zum Beweis der Jensenschen Ungleichung auch hier anwenden. Wäre zumindest mal eine lohnende Idee. air
01.10.2010, 11:54	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Airblader Diese Idee würde sich tatsächlich anbieten - allerdings muss der Begriff von "konvex" bereits definiert sein. Ich habe die Theorie und die Beweise durchgesehen, d.h. ich könnte die Beweise auf meine Aufgabe "konvertieren", allerdings nur mit Hilfe des Begriffs "konvex". Da wir die Konvexität aber noch nicht behandelt haben und extra ein Hint mit "beweise via vollständiger Induktion" da steht, denke ich, dass man wirklich nur die vollständige Induktion ohne weitere Hilfsmittel anwenden sollte.. Deswegen wäre ich über einen Tipp sehr dankbar
01.10.2010, 13:20	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern brauchst du die Konvexität? Das, worauf ich mich bezog, ist die Idee, wie du mit den Lambdas umgeht. Das Problem ist doch: Die zu beweisende Aussage hat nun n+1 "Teile" im Nenner der linken Seite. Die Ungleichung, die du zu Hilfe nehmen sollst, hat aber nur zwei. Du musst also so tricksen, dass du n der Summanden zu einem zusammenschummeln kannst, denn dann kannst du die Ungleichung anwenden. Ich forme dir mal die linke Seite um, damit du sogar noch besser siehst, wo diese $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ versteckt sind: $\begin{eqnarray} \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_{n}}} = \frac{1}{\frac{1}{n}\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{n}\frac{1}{a_{n}}} \end{eqnarray}$ Und auch hier gilt mit $\begin{eqnarray} \lambda_i = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \sum \lambda_i = 1 \end{eqnarray}$ . Die Formulierung über $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1-\lambda \end{eqnarray}$ in der Hilfsungleichung (oder besser gesagt: Der Ungleichung für den Fall n=2 ) ist nur eine andere Schreibweise für die Bedingung über $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ s, deren Summe 1 ergeben soll. Wenn du hier nun $\begin{eqnarray} \lambda := \sum^n \lambda_i = \sum^n \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ machst, dann ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} := \sum^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\frac{1}{a_i} = \sum^n \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{n}{n+1}}\frac{1}{a_i} = \sum^n \frac{1}{n}\frac{1}{a_i} \end{eqnarray}$ Und damit ist dann $\begin{eqnarray} \sum^{n+1} \frac{1}{n+1}\frac{1}{a_i} = \sum^n \frac{1}{n+1}\frac{1}{a_i} + \frac{1}{n+1}\frac{1}{a_{n+1}} = \underbrace{\frac{n}{n+1}}_{:=\lambda^}\frac{1}{a} + \frac{1}{n+1}\frac{1}{a_{n+1}} \end{eqnarray}$ Und offensichtlich ist $\begin{eqnarray} 1-\lambda^* = 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ , was gleich dem zweiten Koeffizienten ist. Passt also wunderbar! Ich habe jetzt schon recht viel geschrieben. Ich denke aber, es ist okay, da es dir absolut null bringt, würdest du es nicht verstehen (aber du hast deutlcih gezeigt, dass du es verstehen willst), denn noch ist einiges zu tun. Nutze diesen ganzen Schlamassel jetzt, setze ihn in die eigentlich zu beweisende Ungleichung ein und wende dann die Ungleichung im Fall n=2 an (den hast du ja bewiesen). Und danach pflück das Ganze wieder auseinander. Habe es jetzt nicht vollständig durchgedacht, aber mit etwas Schieben und Drücken sollte das, so hoffe ich, funktionieren. Edit:* Sofern ich das gerade richtig sehe musst du einmal die Hilfsungleichung, einmal die Induktionsvoraussetzung und dann noch eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray} \frac{a_i}{n^2} \leq a_i \end{eqnarray}$ anwenden (die für n>=1 ja trivial ist). Edit #2: Lies dir das aber genau durch.. Direkt nach dem Aufstehen schleichen sich sowohl große als auch kleine Fehler gerne mal ein .. air
01.10.2010, 14:12	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
WOW! Herzlichen Dank! Ich habe nun alles verwendet, eingesetzt et voilà, der Beweis steht tatsächlich da Allerdings habe ich das von dir geschrieben nur zu etwa 95% wirklich verstanden: Frage 1: Wieso $\begin{eqnarray} \frac{a_i}{n^2} \leq a_i \end{eqnarray}$ - also woher kommt das Qudrat im Nenner? Frage 2: Welchen meinst du mit "dem zweiten Koeffizienten"? Nehm ich das richtig an, dass es der folgende aus der oberen Zeile ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1}\frac{1}{a_{n+1}} \end{eqnarray}$ Lieber Gruss und danke noch einmal für Deine Hilfe!
01.10.2010, 14:18	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage 2: Ja, den meinte ich. Die beiden Koeffizienten müssen sich ja zu '1' addieren, sonst darfst du die Ungleichung nicht anwenden. Frage 1: Nach Anwendung der IA und der Hilfsungleichung hatte ich am Ende irgendwie sowas dastehen: $\begin{eqnarray} \ldots \leq \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{a_1}{n^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2} + a_{n+1}\right) \end{eqnarray}$ Und jetzt kann man diese einzelnen Summanden dann noch entsprechend abschätzen. Aber ich habe das nur halb hingekritzelt, möglicherweise hatte ich auch irgendwas verschlampt und diese Problematik tritt eigentlich nicht auf. Je nachdem, wie sicher du bist, dass dein Beweis stimmt, kannst du ihn ja noch posten bzw. zumindest die wichtigen Schritte skizzieren. air
01.10.2010, 15:56	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja..also zur Skizze: Dazu ist eigentlich nur der IA nötig - alles andere hast du geschrieben bzw. ist nicht mehr allzu interessant.. Also, zum IA habe ich folgendes..evtl weicht das aber tatsächlich ab von deinen Notizen: $\begin{eqnarray} \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_{n}}} = \frac{1}{\frac{1}{n}\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{n}\frac{1}{a_{n}}} = \frac{1}{n} \cdot ( \frac{n^2 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_n}{a_1 + ... + a_n} ) \end{eqnarray}$ Der IS ist dann: n-->n+1: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \cdot ( \frac{(n+1)^2 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n+1}}{a_1 + ... + a_{n+1}} ) \leq \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{a_1}{n^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2} + a_{n+1}\right) \end{eqnarray}$ Gilt nach $\begin{eqnarray} \frac{a_i}{n^2} \leq a_i \end{eqnarray}$ (trivial) und der Hilfsgleichung aus deinem Beitrag.

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