Beweis der Multiplikation von Potenzen

29.09.2010, 13:41	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Multiplikation von Potenzen Moin. Zu beweisen durch Induktion ist: $\begin{eqnarray} a^{m+n} = a^m \cdot a^n \end{eqnarray}$ Mein Status ist wie folgt: $\begin{eqnarray} \text{für} \; n = 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a^{m+1} = a^m \cdot a^1 = a^m \cdot a \end{eqnarray}$ (Soweit so gut, klingt einleuchtend :P) $\begin{eqnarray} \text{Gilt } \; a^{m+k} = a^m \cdot a^k \; \text{so gilt auch} \; a^{m+(k+1)}=a^m\cdot a^{k+1} \end{eqnarray}$ Aufgrund des Induktionsprinzips gilt also $\begin{eqnarray} a^{m+n} = a^m \cdot a^n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ----------- So, naja also ich habe die Befürchtung, dass der Großteil des „Beweises“ nicht wirklich was beweist. Ich zeige ja nicht, dass die Annahme auch für k+1 gilt (geschweige denn für k). Sofern ich dies machen müsste, wüsste ich nicht wie. Also daher die Frage, reicht das als Beweis? Sind wenigstens richtige Ansätze dabei? -- crac
29.09.2010, 14:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor allem musst du zuerst sagen, wie ihr " $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ " definiert habt. Falls ihr es rekursiv definiert habt als $\begin{eqnarray} a^0:=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a^1:=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^n:=a^{n-1}\cdot a \end{eqnarray}$ , dann kann man das so ähnlich machen. Dein Induktionsanfang ist damit sicher OK, denn dieser gilt demnach per Definition. Dann der Schritt: Sei also die Behauptung OK bis $\begin{eqnarray} k_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Nun musst du die Behauptung für $\begin{eqnarray} k_0+1 \end{eqnarray}$ zeigen. $\begin{eqnarray} x^{m+(k_0+1)}=x^{m+k_0+1}=x^{m+k_0}\cdot x \end{eqnarray}$ Wieso gilt das letzte Gleichheitszeichen? Nun nutze die Induktionshypothese $\begin{eqnarray} x^{m+k_0}=x^mx^{k_0} \end{eqnarray}$ .
29.09.2010, 14:13	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das Buch »Mathematik für Physiker 1« definiert: „Für die n-te Potenz gilt $\begin{eqnarray} a^n = \prod^{n}_{k=1} a \end{eqnarray}$ und verabredungsgemäß $\begin{eqnarray} a^0 = 1 \end{eqnarray}$ .“ Mehr ist dazu nicht. Darauf folgt direkt die Aufgabe. Über den Rest werd ich direkt mal nachgrübeln, danke. ---------- edit: „Wieso gilt das letzte Gleichheitszeichen?“ Ich würde sagen deshalb: (a=x) $\begin{eqnarray} a^{m+(k+1)} = a^m \cdot a^{k+1} = a^m \cdot a^k \cdot a^1 = a^{m+k} \cdot a \end{eqnarray}$
29.09.2010, 15:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppala, die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sollten alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ 's werden... Naja, nach der "Definition" aus deinem Buch musst du garnichts mehr beweisen. Da wäre nur noch $\begin{eqnarray} a^{n+m}=\prod\limits_{i=1}^{n+m}a=\left(\prod\limits_{i=1}^na\right)\left(\prod\limits_{j=1}^ma\right)=a^na^m \end{eqnarray}$ und da hat man nur verwendet, dass bei der Multiplikation die Reihenfolge egal ist. Nein, du hast mich falsch verstanden. Also ich habe für den Induktionschritt folgendes geschrieben: $\begin{eqnarray} a^{m+(k_0+1)}=a^{m+k_0+1}=a^{m+k_0}\cdot a\qquad() \end{eqnarray}$ Das letzte Gleichheitszeichen gilt per Definition [also die, die ich gepostet habe], denn das ist bloss eine Exponentenerhöhung um 1. Siehst du das? Nun nutze die Induktionsannahme um () weiter zu machen. Diese sagt genau, dass die Behauptung bis $\begin{eqnarray} k_0 \end{eqnarray}$ gelten soll.
30.09.2010, 20:10	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, habs, danke Ich habe leider keine Zeit den Beweis irgendwie zu Ende zu bringen, muss noch etliches lernen, und Montag fängt der Vorkurs an. Aber Danke

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