Gibt es eine Matrix...

01.10.2010, 17:36

nick2k1

Gibt es eine Matrix...

Meine Frage:
Gibt es eine reguläre Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} A³ + A = 0 \end{eqnarray*}$ ist ?

schonmal vielen dank

Meine Ideen:
es muss dann gelten:
$\begin{eqnarray*} A^2=-I \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix ist
und auch klar ist, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine ungerade Anzahl an Spalten und Zeilen haben muss, denn falls die Anzahl der Zeilen gerade ist:
$\begin{eqnarray*} det(A^2) = det(-I) <=> det(A)^2 = -det(I) = -1 \end{eqnarray*}$

und es muss gelten:
m = anzahl der zeilen bzw spalten
für i=j
$\begin{eqnarray*} -1 = \sum_{k=1}^m a_{ik}a_{ki} \end{eqnarray*}$
und für i ungleich j
$\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{k=1}^m a_{ik}a_{kj} \end{eqnarray*}$

aber viel weiter bin ich noch nicht
wäre dankbar für ein paar tipps

01.10.2010, 17:41

tigerbine

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Ins Blaue

Zitat:

Original von nick2k1
Meine Frage:
Gibt es eine reguläre Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} A³ + A = 0 \end{eqnarray*}$ ist ?

Vorschrift, woraus die Matrix stammt? Reell, komplex?

01.10.2010, 17:42

nick2k1

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sry...
Die Matrix A ist reell. smile

01.10.2010, 17:58

tigerbine

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dann meine ich doch einen Widerspruch zu sehen.

01.10.2010, 18:05

nick2k1

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es geht nicht!
das hatte ich auch vermutet
aber wo siehst du den wiederspruch?

01.10.2010, 18:11

nick2k1

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ok det(A)^2 = 1

also ist det(A) entweder 1 oder -1

da die Matrix regulär ist kann ich sie auf auf diagonalform bringen

und es muss gelten

$\begin{eqnarray*} \Pi_i a_{ii} = 1 \end{eqnarray*}$ bzw -1

01.10.2010, 18:57

nick2k1

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Lösung:
wenn A den Eigenwert y hat, dann aht A^2 den Eigenwert y^2
-I hat aber nur -1 als Eigenwert

also kann A nur den Eigenwert sqrt(-1) = i haben.

das ist ein widerspruch dazu das A reelll ist

01.10.2010, 19:46

tigerbine

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Also hast du es ja nun.

01.10.2010, 20:22

jester.

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Ich sehe das Problem (oder vielmehr den Widerspruch) überhaupt nicht. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, muss eine Matrix doch nicht unbedingt Eigenwerte haben (auch wenn solche von "ungeradem Format" stets mindestens einen haben).

Die Überlegung von nick2k1 ist doch sehr zielführend. Er sagt es muss dann gelten, dass $\begin{eqnarray*} A^2=-I_n \end{eqnarray*}$ . Also eine Matrix, deren Minimalpolynom das Polynom $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ teilt. Warum nehmen wir also nicht direkt die Begleitmatrix zu diesem Polynom? $\begin{eqnarray*} A:=M_{X^2+1}=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ und diese Matrix erfüllt in der Tat $\begin{eqnarray*} A^3+A=0 \end{eqnarray*}$ .

@nick2k1: Nicht jede reguläre Matrix ist auch diagonalisierbar, über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist die von mir angegebene Matrix nicht mal trigonalisierbar.

01.10.2010, 20:29

tigerbine

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Zitat:

Ich sehe das Problem (oder vielmehr den Widerspruch) überhaupt nicht.

Ich habe in der Determinante ohne Potenz ausgeklammert. Finger1

02.10.2010, 02:36

nick2k1

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hi,
wo ist dann der fehler in

Zitat:

es muss dann gelten: wobei die Einheitsmatrix ist und auch klar ist, dass eine ungerade Anzahl an Spalten und Zeilen haben muss, denn falls die Anzahl der Zeilen gerade ist: $\begin{eqnarray*} det(A^2) = det(-I) &lt;=&gt; det(A)^2 = -det(I) = -1 \end{eqnarray*}$

02.10.2010, 02:47

nick2k1

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also lassen wir mal ungerade und gerade weg....

auß det(A^2) = det(A)^2 = det(-I) = -det(I) = -1
weiß man doch das det(A)^2 = -1 sein muss

wo mach ich da den fehler

und auch wenn gilt:

A^2=-I
und -I hat auf jedenfall den Eigenwert -1

also aht doch auch A^2 den Eigenwert -1

02.10.2010, 03:01

nick2k1

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det(-I) = -det(I)
ok das gilt natürlich nicht
smile

mulitlinear-form

02.10.2010, 08:42

jester.

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Zitat:

Original von nick2k1
det(-I) = -det(I)
ok das gilt natürlich nicht
smile

mulitlinear-form

In der Tat gilt für gerades n $\begin{eqnarray*} \det(-I_n)=\det(I_n) \end{eqnarray*}$ , für ungerades n $\begin{eqnarray*} \det(-I_n)=-\det(I_n) \end{eqnarray*}$ .

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