Gruppe, Homomorphismus

02.10.2010, 21:34	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe, Homomorphismus Sei $\begin{eqnarray} R_n=\{e^{2\pi i \frac k n} ;k\in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ Überzeuge dich, dass $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Gibt es einen Homomorphismus von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_n,+) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (R_n, \cdot) \end{eqnarray}$ ? Falls ja, ist er bijektiv? Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist, muss ich ja zeigen, dass sie assoziativ ist, dass ein neutrales Element exisitiert und dass jedes Element einen Kehrwert hat. Was ist aber dieses i und n in der Formel und wie kann ich überprüfen, ob es einen Homomorphismus gibt? Wäre froh, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet. Danke schonmal!
02.10.2010, 21:48	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus Tipps: Wähle n=5 oder n=6, berechne alle Elemente von Rn, zeichne sie in der Gaussschen Ebene. Da es sich um komplexe Zahlen handelt, kommen die beiden Operationen Addition und Multiplikation in Frage. Beide sind schon in C assoziativ. Du brauchst nur herauszufinden, welche Operation Rn zur Gruppe macht und welches Element folglich neutral ist. Nun löst man sich vom Beispiel, n ist beliebig: Es bleibt zu zeigen die Abgeschlossenheit und das Vorhandensein der Inversen.
03.10.2010, 21:20	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus Danke vielmals! Konnte prüfen, dass $\begin{eqnarray} (R_n,+) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist, denn bei der Multiplikation gibt es kein neutrales Element in $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ , wieso steht dann gleich danach: Gibt es einen Homomorphismus von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_n,+) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}_n, \cdot) \end{eqnarray}$ ? Kann ich in dem Fall antworten: Nein es gibt kein Homomorphismus, denn $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}_n, \cdot) \end{eqnarray}$ ist gar keine Gruppe? Wenn nicht, wieso gibt es solch einen Homomorphismus? Danke für die Hilfe!
03.10.2010, 21:36	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus (Rn,+) ist keine Gruppe, da hast du dich vertan (addiere ein beliebiges Element zu sich selbst, die Summe liegt nicht in Rn). Mit k=0 erhältst du e^0 = 1 und das ist das neutrale von (Rn,*).
03.10.2010, 22:29	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus Stimmt, sorry! Wie ist das aber mit dem Homomorphismus? Wie ist das aber mit der Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \rightarrow R_n \end{eqnarray}$ ? Wie kann ich nachweisen, dass sie bijektiv ist?
04.10.2010, 09:23	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus k+nZ --> $\begin{eqnarray} e^{2\pi i \frac k n} \end{eqnarray}$ ist surjektiv gemäss Definition von Rn. Bleibt die Injektivität zu zeigen.
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04.10.2010, 20:01	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe, Homomorphismus Danke vielmals!

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