Wie erstelle ich aus Eigenvektoren die S-Matrix?

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Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Wie erstelle ich aus Eigenvektoren die S-Matrix?
Hallo liebe Helfer!

Ich habe folgede Matrix:

A =

Meine Eigenvektoren dazu sind:

v_{1} = , v_{2} =

Bis hierhin, tauchen keine Probleme auf.

Nun aber: Wie erstelle ich aus den Eigenvektoren meine Matrix S, um daraus später die Inverse S^{-1} zu bilden, so dass die Gleichung lautet:

S^{-1} * A * S =

In der Vorlesung haben wir S so erstellt indem wir die Eigenvektoren zu einer Matrix ''zusammenfasten'', also:
S =

Doch woher weiß man, welcher Eigenvektor zuerst ''aufgeschrieben'' wird?

Denn wenn ich die Vektorn bei der Matrix S vertausche habe ich ein anderes Ergebnis für: S^{-1} * A * S, nämlich:



Also nicht wirklich anders. Die Zeilen sind dabei nur vertauscht.
Oder spielt es hierbei keine Rolle, wie rum oder in welcher Reihenfolge man die Eigenvektoren zu S ''zusammenfasst''?

Ich danke schon mal. Euer Hans Peter!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihenfolge der Eigenvektoren bestimmt die Reihenfolge der Eigenwerte auf der Diagonalen smile

Kurz: der Eigenwert zum Eigenvektor der in der i-ten Spalte von S steht wird in der Diagonalmatrix an der Stelle i,i stehen.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf...wieso sind die Zeilen bei dir vertauscht? Eigentlich sollten die Spalten vertauscht sein. verwirrt
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht, ich meine, alles richtig gemacht zu haben, ich habe es gerade noch überprüft. hmmm... Vllt. ist diese Aufgabe so etwas wie ein Sonderfall?

Und: Es macht doch keinen Unterschíed, in welcher Reihenfolge man die Matrizen multipliziert, oder? Ich habe sie von links nach rechts miteinander verknüpft. Liegt vllt. dort der Fehler...?
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht, ich meine, alles richtig gemacht zu haben, ich habe es gerade noch überprüft. hmmm... Vllt. ist diese Aufgabe so etwas wie ein Sonderfall?

Und: Es macht doch keinen Unterschíed, in welcher Reihenfolge man die Matrizen multipliziert, oder? Ich habe sie von links nach rechts miteinander verknüpft. Liegt vllt. dort der Fehler...?
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, daran liegt es nicht. Bist du sicher dass deine Eigenvektoren stimmen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
A:=matrix(2,2,[5,-6,1,0]);
                                 [5    -6]
                            A := [       ]
                                 [1     0]

> R1 := linalg[eigenvects](A);

               R1 := [2, 1, {[2, 1]}], [3, 1, {[3, 1]}]



Eigenvektoren stimmen.

edit:

code:
1:
2:
3:
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5:
6:
7:
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10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
S:=matrix(2,2,[2,3,1,1]);
                                 [2    3]
                            S := [      ]
                                 [1    1]

> SI := linalg[inverse](S);

                                 [-1     3]
                           SI := [        ]
                                 [ 1    -2]

> B:=SI&*A&*S;

                         B := (SI &* A) &* S

> R3 := evalm(B);

                                  [2    0]
                            R3 := [      ]
                                  [0    3]
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs jetzt selber mal durchgerechnet, dir scheint irgendwo ein Fehler unterlaufen zu sein, die Spalten der Diagonalmatrix werden vertauscht, nicht die Zeilen.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann prüfe ich das gleich noch mal. Danke smile
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal!

Ich habe mir heute zu diesem Thema nochmal Gedanken gemacht.
Ich hatte die *A*S noch ein mal berechnet, und bei mir waren dieses Mal nicht nur die Zeilen, sondern auch die Spalten vertauscht.

Zwischenergebnisse:

gewählt: S =

somit =

Mein *A*S =

Ist es denn richtig gelöst?

Und: Ist es beliebig, welchen Eigenvektor man zuerst in diese S Matrix aufschreibt - werden dann in der ausgerechneten *A*S-Matrix die Eigenwerte immer in der Hauptdiagonalen aufgeführt, oder sollte man zuerst den kleineren/größeren Wert des zum Eigenvektor gehörigem Eigenwert aufschreiben?

Ich hoffe mein problem ist verständlich und ihr könnt mir helfen. Hans Peter
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte so stimmen.

Und die Eigenwerte werden immer auf der Diagonalen stehen (siehe auch meine erste Antwort).
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, die Frage hatte Iorek schon beantwortet!!!!
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!! ...Nächstes Mal schaue ich noch mal drüber, danach stelle ich die Frage! Augenzwinkern smile
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