Orthogonalprojektion

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hnky Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion
hallo,

ich habe probleme mit folgender aufgabe:

Zitat:
Gib alle Projektionen von (durch ihre Matrizen bezüglich der Standardbasis) an, deren Bild von

erzeugt wird. Welche von diesen ist die Orthogonalprojektion, wenn wir die Standardbasis als Orthonomalbasis nehmen?




nun, ich weiß gar nicht, wie ich hier so richtig anfangen soll, da relativ wenig gegeben ist.

eine orthogonalprojektion haben wir folgendermaßen definiert:

Ist ein UVR von V und eine Orthonormalbasis von V, sodass eine Basis von W ist(und damit auch eine Orthonormalbasis), so heißt die Orthogonalprojektion von V auf W.

ich habe mir bisher folgendes überlegt:
in der aufgabenstellung ist ja lediglich gegeben, dass die das bild der projektion nur von einem vektor aufgespannt wird, hat also dimension 1. nach dimensionsformel muss also der kern 2-dimensional sein.

es werden projektionen gesucht, also muss gelten(wenn eine projektion ist)

muss ich jetzt, zur beantwortung der ersten frage, alle lineare abbildungen finden(bzw. matrizen), die die oben genannten eigenschaften besitzen? wie könnte ich das machen?

wirklich weiter weiß ich momentan nicht.

vielen dank schonmal für eure hilfe.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalprojektion
Hallo hnky,

Ein lineare Abbildung wird doch durch die Bilder einer Basis von eindeutig bestimmt. Da das Bild hier eindimensional ist, kommen als Bilder der Basisvektoren auch nur Vielfache des Vektors (incl. Nullvektor) in Frage.
Schreibe Dir also zuerst am besten die allgemeine Form einer Abbildung mit Bild auf (zum Beispiel in Form einer Matrix) und untersuche anschließend, wann diese eine Projektion wird.

Für die Orthogonalprojektion brauchst Du nur anhand der Definition zu untersuchen, worauf die Standardbasisvektoren abgebildet werden müssen. Setze dazu einfach die Standardbaisvektoren in der Vorschrift für ein, ist dabei die Basis von , und schau was rauskommt.

Gruß,
Reksilat.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hallo und danke für die antwort, Reksilat.

zunächst einmal zur ersten aufgabe:

allgemein hat die von einer matrix induzierte lineare abbildung folgende form:
mit einer entsprechenden matrix A.

wenn ich mich nicht irre, sind die spalten einer matrix die bilder der basisvektoren, also im vorliegenden fall ein vielfaches von .

das heißt, meine matrix könnte unter anderem folgende darstellungen haben: oder auch bzw. allgemein .

habe ich das bis hierhin richtig verstanden?

nun muss ich also nur noch rausfinden, wann das ganze eine projektion wird, dafür müsste dann ja gelten.

das ganze ist für der fall, für aber schon nicht mehr. also müsste es auch keine weiteren möglichkeiten geben.

zur orthogonalprojektion:
, genau wie und

das ganze wäre dann aber keine projektion mehr, da der fall einer kompletten 1-Matrix keine projektion mehr wäre. deshalb versteh ich im moment nicht so ganz, wie ich hier eine orthogonalprojektion finden kann.

lg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Standdarddarstellung für solche Abbildungen stimmt schon mal. Auch für a=b=c=1 ist das natürlich keine Projektion.
Allerdings gibt es außer der Nullabbildung noch mehr Projektionen. Versuche doch mal eine notwendige und hinreichende Bedingung für a, b und c zu finden.

Bei der orthogonalen Projektion war ich auch ungenau. Für diese geht man von einer Orthonormalbasis des Unterraums aus, welche Teilmenge einer Orthonormalbasis des gesamten Raums ist.
Damit kann man natürlich nicht wählen, sondern muss den Vektor eben erst normieren.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

eine notwendige bedingung ist sicherlich, dass 2 spalten der matrix linear abhängig sind, dass also gilt, da sonst das bild der projektion nicht 1-dimensional ist.


die einzigen eigenwerte einer projektion sind 0 und 1, aber diagonalmatrizen können aufgrund des bildes nicht in frage kommen.

die beiden dreiecksmatrizen und und die matrix sind neben der nullabbildung auch projektionen.

ich denke, dass müssten dann alle projektionen sein.

deshalb ist eine notwendige und hinreichende bedingung, dass höchstens eine spalte eine 1-spalte ist, und die anderen beiden eine 0-spalte.

zur orthogonalprojektion: der normierte vektor ist , jetzt beschreibt die matrix auch eine projektion, da gilt. das müsste wegen der normiertheit auch die einzige mögliche orthogonalprojektion sein.

edit: die nullabbildung bzw. nullmatrix ist dann auch natürlich eine orthogonalprojektion.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe nun die lösung zu dieser aufgabe erhalten, aber ich verstehe nicht, wie man darauf kommt.

Die orthogonalprojektion hat die form , und es ist . nur warum ist das so, und wie kommt man darauf?
 
 
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

wie man darauf kommt, weiß ich mittlerweile.

doch was hat das ganze jetzt noch mit einer orthogonalprojektion zu tun?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi hnky,

Tut mir leid, dass ich mich hier nicht mehr gemeldet habe. Ist wohl irgendwie untergegangen.

Die allgemeine Form einer Projektion hat die obige Form, d.h. dass alle Zeilen gleich sind und die Summe der Einträge einer Zeile eben Eins ergibt.
Eine Orthogonalprojektion ist das dann aber nicht immer.

Beispiel:

Dann ist und das liegt im Allgemeinen (z.B. für ) eben nicht mehr im orthogonalen Komplement zu Deinem anfangs gegebenen Unterraum .
Für eine Orthogonalprojektion muss aber für alle immer gelten.

Die orthogonale Projektion zu einem gegebenen Unterraum ist eben immer eindeutig. In diesem Fall könnte man sie so berechnen:

- Nimm Dir eine Orthogonalbasis zu Deinem gegebenen Unterraum. Hier also z.B. , mit .
- Ergänze sie zu einer Orthogonalbasis des ganzen Raums, also
- Bezüglich dieser Basis sieht Deine Abbildung dann so aus:

- Dies musst Du dann nur noch per Basiswechsel bezüglich der Standardbasis schreiben.

Alternativ kannst Du auch versuchen, die Parameter oben so zu wählen, dass Du eine Orthogonalprojektion findest.


Gruß,
Reksilat.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung, jetzt habe ich das thema verstanden smile
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