Beweis einer Matix

05.10.2010, 23:42

Taladan

Beweis einer Matix

Hallo, ich habe die Aufgabe zu Beweisen, das wenn man eine Matrix A mti einer Matrix X mulitipliziert und dabei 0 heraus kommt, X die Nullmatrix sein muß. Dies soll ich Beweisen. Ist mein Lösungsansatz richtig? Unglücklicherweise ist die Dimension der Matix nur als Variable angegeben.

Versuch der Lösung:
Sei XA = C und und $\begin{eqnarray*} a_{mn} \end{eqnarray*}$ von beliebiger Größe und sei r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R und sei C = 0 so gilt
$\begin{eqnarray*} x_{mm}(0)a_{mn}(r) \end{eqnarray*}$ = (r0) = 0

06.10.2010, 00:01

gitterrost4

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RE: Beweis einer Matix
Die Aussage ist schlicht und einfach falsch.

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 00:21

Taladan

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Ok, vielleicht habe ich sie falsch verstanden.

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{mn}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ eine Matrix, sodass XA = 0 $\begin{eqnarray*} \in M_{mn} (\mathbb{K} ) \end{eqnarray*}$ für alle Matrizen X $\begin{eqnarray*} \in M_{mm} (\mathbb{K} ) \end{eqnarray*}$ gilt. Beweisen Sie das A die Nullmatix in $\begin{eqnarray*} M_{mn}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ ist.

Wobei ich jetzt keinen Unterschied sehe, zu dem was ich oben geschrieben habe. Daher kann ich ich nur ein Wiederlegt durch Gegenbeweiß als Antwort hin schreiben. Richtig?

06.10.2010, 00:29

gitterrost4

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Das Stichwort hier ist "fuer alle". Oben hast du nur eine Matrix X mit einer Matrix A multipliziert. Hier muss die Aussage fuer alle Matrizen X gelten.

Es reicht hier fuer die Loesung eine ganz bestimmte Matrix fuer X einzusetzen. (Welche dies ist, darfst du herausfinden)

06.10.2010, 00:30

chrizke

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Ist $\begin{eqnarray*} M_{mn}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^{m\times n} \end{eqnarray*}$
Also eine "m Kreuz n Matrix"?

06.10.2010, 00:31

gitterrost4

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Ja. Ist es.

06.10.2010, 00:34

chrizke

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Ok Danke, diese Notation war mir nicht bekannt.

An den Author:
X ist eine quadratische Matrix. Es gibt quadratische Matrizen, die eine tolle Eigenschaft haben?
Welche ist das und wie kannst du diese nutzen?

06.10.2010, 00:35

Taladan

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Zitat:

Original von gitterrost4
Das Stichwort hier ist "fuer alle". Oben hast du nur eine Matrix X mit einer Matrix A multipliziert. Hier muss die Aussage fuer alle Matrizen X gelten.

Es reicht hier fuer die Loesung eine ganz bestimmte Matrix fuer X einzusetzen. (Welche dies ist, darfst du herausfinden)

Die Inverse Matrix?

06.10.2010, 00:37

chrizke

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Es gibt nicht die Inverse

Aber Inverse ist ein gutes Stichwort smile

Damit kommst du auf "die eine", die gitterrost meinte.

06.10.2010, 00:38

gitterrost4

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Die leider nicht. Zu was sollte sie auch invers sein.

Es muss eine Matrix werden, die eine bestimmte Form hat.

@chrizke: Sorry, ich dachte du waerest der Autor Augenzwinkern

06.10.2010, 00:40

gitterrost4

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Zitat:

Original von Taladan
Ebenfalls nicht die Einheitsmatrix.

Wieso nicht?

Und als angehender Programmierer kannst du Matrizen durchaus brauchen.

Edit: Huch, was war denn das? Ich hab eben deinen Edit noch gesehen....

06.10.2010, 00:43

Taladan

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Ok. Ich stehe echt auf dem Schlauch. Evtl hab ich gerade nen geistesblitz.

06.10.2010, 00:43

chrizke

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Setz mal die einheitsmatrix ein und schau was passiert.

06.10.2010, 00:44

gitterrost4

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Zitat:

Original von gitterrost4

Zitat:

Original von Taladan
Ebenfalls nicht die Einheitsmatrix.

Wieso nicht?

Ignorier doch meine Antworten nicht...

06.10.2010, 00:45

Taladan

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Zitat:

Original von gitterrost4

Zitat:

Original von gitterrost4

Zitat:

Original von Taladan
Ebenfalls nicht die Einheitsmatrix.

Wieso nicht?

Ignorier doch meine Antworten nicht...

Weil die Einheitsmatix doch nicht die Nullmatix ist.

06.10.2010, 00:47

gitterrost4

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Ich glaub du verdrehst da gerade etwas.

Du sollst ja zeigen, dass A die Nullmatrix sein muss, wenn fuer alle X gilt X*A=0.

Jetzt setz fuer X mal die Einheitsmatrix ein.

06.10.2010, 00:56

Taladan

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Sorry mit dem nicht lesen deiner Post, ihr wart schneller als ich die meinen ändern konte.

Neuer Versuch. Da für alle Matrizen.

Zu Beweisen gilt, das jede Matix mit der Nullmatrix multipliziert 0 ergibt.

Es gilt, das eine Matrix aus n*m Zahlen besteht und es gilt das jede Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stammt.

Sei $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so gilt r * 0 = 0 einer Matrizenmultiplikation.

06.10.2010, 00:59

Taladan

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Arg. Schon wieder warst du schneller. Aber warum soll ich den die Einheitsmatix verwenden? Wenn ich eine Matrix mit der Einheitsmatix multipliziere erhalte ich doch die Matrix selbst wieder heraus. Das ist doch nicht der geforderte Beweis. Ich soll doch beweisen das A die Nullmatix ist.

06.10.2010, 01:13

gitterrost4

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Zitat:

Original von Taladan
Arg. Schon wieder warst du schneller. Aber warum soll ich den die Einheitsmatix verwenden? Wenn ich eine Matrix mit der Einheitsmatix multipliziere erhalte ich doch die Matrix selbst wieder heraus.

Genau das ist doch das, was du brauchst.

Du weisst, dass A*X=0 fuer alle X. Also insbesondere auch, wenn X die Einheitsmatrix ist.

Aber Wie du schon gesagt hast, kommt dann das gleiche wie A heraus. Was muss A also gewesen sein?

06.10.2010, 01:21

Taladan

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Sorry. Jetzt bin ich vollends verwirrt. Was ist was, das ich jetzt was ich brauche?

Ich verstehe nicht,warum wi rhier über die Einheitsmatix reden. Die hat doch damit nichts zu tun. Ich sehe keinen Zusammenhang zur Einheitsmatix und der Aufgabe. Die Aufgabe lautet ja ich soll doch beweisen, das A die Nullmatix ist. Was hat das mit der Einheitsmatix zu tun?

Einheitsmatix sei A
X*A = X

Nullmatix sei A
X*A = 0

06.10.2010, 01:27

gitterrost4

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Du sollst nicht fuer A sondern fuer X die Einheitsmatrix einsetzen. Mach es einfach, Du siehst dann, warum.

06.10.2010, 01:49

Taladan

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Hab ich getan. Aber mir ist nicht besonderes aufgefallen. Außer das was ich schon mehfrach geschrieben habe.

Einheitsmaitix * Nullmatix = Nullmatix
Einteitsmatix * belibige Matrix = Belibige Matrix

06.10.2010, 08:11

gitterrost4

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Sei E die Einheitsmatrix.
Also du weisst, dass gilt:

A*E=0 (laut Voraussetzung)

Aber gleichzeitig gilt auch

A*E=A

So. Faellt dir jetzt was auf?

06.10.2010, 08:12

kiste

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$\begin{eqnarray*} =XA= \end{eqnarray*}$ wenn X die Einheitsmatrix ist. Schreib auf der linken Seiten das Ergebnis wenn du die Eigenschaft der Einheitsmatrix benutzt, auf der rechten Seite die Vorraussetzung.
Und schon ist der Beweis fertig.

06.10.2010, 10:39

Taladan

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Also Versuch 3:

Sei X die Einheitsmatrix und A die Nullmatrix so gilt X*A = 0 denn X*A = A

So richtig?

06.10.2010, 10:55

Taladan

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Ne lieber Versuch 4:

So ähnlich wird die Einheitsmatix im Script bewiesen.

Sei $\begin{eqnarray*} C = (c_{ij})= XA \in M{mn}( \mathbb{K} ) \end{eqnarray*}$ . Für alle 1 <= i <=m und für alle 1 <= j <= n gilt $\begin{eqnarray*} c_{ij} = 0*x_{ij}+0*x_{2j}+0*x_{mj}= 0 \end{eqnarray*}$ . Es folgt XA = 0.

06.10.2010, 13:31

gitterrost4

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Du willst nicht beweisen, dass X*A=0 ist. Du willst beweisen, dass A=0 ist, wenn X*A=0 fuer alle X.

06.10.2010, 15:07

Taladan

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(verzweifle langsam) Versuch 5:

Sei X = $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatix, so gilt 0 = X = XA

ups noch nicht fertig gewesen.

denn $\begin{eqnarray*} I_mA=A=AI_m \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 15:17

chrizke

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Also jetzt nochmal ganz langsam. Der Beweis ist wirklich nicht schwer, wenn man einmal verstanden hat, was man überhaupt zeigen soll.

Seien A und X Matrizen, so wie von dir im Eröffnugnsbeitrag definiert.

Dann sollst du nun zeigen:

$\begin{eqnarray*} A\cdot X = 0 \quad \forall X \Rightarrow A=0 \end{eqnarray*}$

Also du sollst zeigen: Wenn für alle quadratischen Matrizen X AX=0 gilt, dann muss A=0 sein.

So, jetzt kannst du annehmen, dass $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelte. Und wenn du nun eine Matrix findest, für die $\begin{eqnarray*} AX\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, hast du nen Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\cdot X = 0 \end{eqnarray*}$ unter der Annahme $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

06.10.2010, 15:38

Taladan

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Zitat:

Original von chrizke
Also jetzt nochmal ganz langsam. Der Beweis ist wirklich nicht schwer, wenn man einmal verstanden hat, was man überhaupt zeigen soll.

Seien A und X Matrizen, so wie von dir im Eröffnugnsbeitrag definiert.

Dann sollst du nun zeigen:

$\begin{eqnarray*} A\cdot X = 0 \quad \forall X \Rightarrow A=0 \end{eqnarray*}$

Also du sollst zeigen: Wenn für alle quadratischen Matrizen X AX=0 gilt, dann muss A=0 sein.

So, jetzt kannst du annehmen, dass $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelte. Und wenn du nun eine Matrix findest, für die ist, hast du nen Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\cdot X = 0 \end{eqnarray*}$ unter der Annahme $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Versuch 6:

Sei $\begin{eqnarray*} X = I_m \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ so gilt XA = X, sei jedoch A 0 so gilt XA = 0

PS: Für mich ist es nicht logisch und schon gar nicht richtig, wenn ich keinen Gegenbeweis finde, das es nicht doch einen gibt, den man übersieht, oder? Wenn ich jedoch Beweise das ich alle Fälle ab gedeckt habe, dann erst darf doch ein Beweis gültigkeit haben, oder nicht?

06.10.2010, 15:52

chrizke

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Also das schaut schon ganz gut aus. Ich werde dir den Beweis mal formal sauberer aufschreiben.

Behauptung: Sei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{K}^{m\times n} : X\cdot A = 0\quad \forall X\in \mathbb{K}^{m\times m} \Rightarrow A=0 \end{eqnarray*}$

Beweis:
Angenommen es gelte $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X\cdot A=0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle X. Aber nun betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} X:=I_m \end{eqnarray*}$ und setzen das mal in die Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} X\cdot A=I_m\cdot A = A \Rightarrow X\cdot A = A \neq 0 \end{eqnarray*}$

Und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X\cdot A = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt nun, dass $\begin{eqnarray*} X\cdot A = 0 \end{eqnarray*}$ nicht für alle beliebigen X gelten kann, da wir ja eines gefunden haben, das den oben gezeigten Widerspruch herbeiführt.

Also muss, damit es für alle X gilt $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ sein.

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