Algebren

06.10.2010, 16:14

eisley

Algebren

Hallo zusammen..ich bin gerade noch einmal die Theorie zu Sigma-Algebren und ff. durchgegangen.. bin dabei auf ein paar Sachen gestossen:

Erstens
Beschreiben Sie die minimale Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega = [0, 1] \end{eqnarray*}$ , die durch die folgenden Familien erzeugt werden:

$\begin{eqnarray*} \{[0,\frac {2}{3}], [\frac {1}{3}, 1]\} \rightarrow \sigma = \{\o, [0,\frac {2}{3}], [\frac {1}{3}, 1], [0,\frac {2}{3}] \cup [\frac {1}{3}, 1], [0, 1]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{[0, \frac {1}{2}], [\frac {1}{2}, 1]\} \rightarrow \sigma = \{\o, [0, \frac {1}{2}], [\frac {1}{2}, 1], [0, 1]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{[\frac {1}{3}, \frac {1}{2}]\} \rightarrow \sigma = \{\o, [\frac {1}{3}, \frac {1}{2}], [0,1]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{\{x\}: x \in \mathbb Q \cap [0, 1] \} \end{eqnarray*}$

ich wäre sehr dankbar wenn jemand kurz nachprüfen könnte, was ich hier gemacht habe... und vielleicht noch ein kleiner Tipp zum 4. Punkt..

Zweitens
Seien $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1, 2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im = \sigma(\{1,2,3,4\},\{3,4,5,6\}) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} X(\omega) = 2, \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \omega \in \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} X(\omega) = 7, \end{eqnarray*}$ sonst

Ist $\begin{eqnarray*} X \, \, \Im \end{eqnarray*}$ -messbar?

..da bin ich leider nicht dahinter gekommen. Haben noch nicht alles in der Vorlesung behandelt, weiss auch nicht, inwiefern wir darauf eingehen werden - trotzdem würde ich es gerne verstehen und anwenden können..

Vielen lieben Dank für die Hilfe !

eisley

06.10.2010, 18:00

Cugu

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2. ist trivial, das müsste stimmen.

1. und 3. sind nicht stabil gegenüber Komplementbildung. Das kann also beides nicht stimmen.

zu 4. Wenn man alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\cap [0, 1] \end{eqnarray*}$ und ihre Komplemente nimmt, ist das dann schon eine Sigma-Algebra?

---

Du kannst doch zumindest $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ bestimmen!

Allgemein heißt eine Abbildung messbar, wenn die Urbilder messbarer Mengen messbar sind.
Da hier nicht dabei steht, sind als Zielmenge vermutlich vermutlich die reellen Zahlen mit der Borelsche Sigma-Algebra gemeint.
In dem Fall genügt es zu übeprüfen, ob die Mengen $\begin{eqnarray*} \{\omega\in \Omega:X(\omega) \leq a\}, a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar sind, d.h. in $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ liegen.
Naja, wenn ich das richtig sehe gibt es doch nur drei Fälle, nämlich $\begin{eqnarray*} a<2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 7<a\leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\geq 7 \end{eqnarray*}$ .
Die Idee ist genau dieselbe wie bei der Frage nach der Messbarkeit einer Indikatorfunktion.

---

edit: das muss natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\cap [0, 1] \end{eqnarray*}$ heißen

06.10.2010, 20:36

gonnabphd

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Zitat:

2. ist trivial, das müsste stimmen.

Nö, die von Eisley angebene Menge ist nicht schnittstabil... Komplementstabil auch nicht.

06.10.2010, 20:46

Cugu

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Ich ging davon aus, dass $\begin{eqnarray*} [0, \tfrac {1}{2}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [\tfrac {1}{2}, 1] \end{eqnarray*}$ Komplemente sind. Das ist zugegebenermaßen ... falsch.
Naja, sagen wir es stimmt bis auf eine Borel-Nullmenge. Engel

Wer achtet schon auf die Form der Klammern...

06.10.2010, 22:23

gonnabphd

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Jaja, es stimmt ja fast überall...

07.10.2010, 14:29

eisley

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also ich hab nun für die minimalen Sigma-Algebren:

$\begin{eqnarray*} \sigma = \{\o, \Omega, [0, \frac {2}{3}], [\frac {1}{3},1], (\frac {2}{3},1], [0, \frac {1}{3})\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma = \{\o, \Omega, [0, \frac {1}{2}], [\frac {1}{2},1], (\frac {1}{2},1], [0, \frac {1}{2})\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma = \{\o, \Omega, [\frac {1}{3}, \frac {1}{2}], ? \, \, \} \end{eqnarray*}$

..bei der Dritten bin ich mir noch immer sehr unsicher.. steh da irgendwie auf dem Schlauch.

auch bei 4.

die andere Aufgabe hat sich erledigt, war ja wirklich trivial.. hab wohl viel zu kompliziert gedacht..

vielen Dank für die Hilfe!

07.10.2010, 16:21

Cugu

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1. Komplemente hast du. Jetzt fehlen dir eine Vereinigung. Wenn du die hinzufügst, fehlt dir das zugehörige Komplement.

2. Genau dasselbe wie in 1.

3. Dies ist doch viel einfacher! Du musst lediglich das Komplement hinzufügen.

4. Naja, die Erzeuger sind $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \cap [0, 1] \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} \{\tfrac{1}{2}\}, \{\tfrac{1}{3}\}, \{\tfrac{2}{3}\} \end{eqnarray*}$ etc.
Im ersten Schritt suchst du das kleinste Mengensystem, das alle (i. A. höchstens abzähbaren) Vereinigungen und zudem $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ enthält. Was erhälst du?
Im zweiten Schritt nimmst du die Komplemente hinzu.

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