Arithmetik

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Jacky20 Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetik
Hallo, ich hab mal ne Frage:

Meine Aufgabe lautet: Zeigen sie, dass n ^4 +4 (n Element von N, n>1) keine Primzahl ist.

Hab das nun so gelöst:

Annahme: n^4 +4 ist eine Primzahl

also: n= (n^4 +4) * a (da jede natürliche zahl n >1 einen Primteiler besitzt)

setze n=2

also: 2= 20*a
2 /20= a
0,1= a ----> keine Primzahl und 20 auch nicht, also kann n^4 +4 nie eine Primzahl sein...

Oder hab ich mich nun total verhaun???

bitte helft mir!!!! Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mit deinem Beweis komme ich, ehrlich gesagt, nicht mit, weil schon



keine Identität sein kann (links ist n etwas anderes als rechts ..). Allerdings bin ich kein Zahlentheoretiker, vielleicht wissen ander hier mehr.

Ich könnte mir jedoch eine Fallunterscheidung vorstellen:

1.
n sei gerade

dann ist immer durch 4 teilbar

2a.
n sei ungerade und endet mit 1 oder 3 oder 7 oder 9

die 4. Potenz ist dann immer kongruent mod 1 (endet mit 1), wenn dann 4 addiert wird, ist

immer durch 5 teilbar

2b.
n sei ungerade und kongruent mod 5 (endet mit 5), dann folgt daraus

immer durch 17 teilbar

denn (25*25 + 4) mod (17) = (8*8 + 4) mod (17) = 68 mod (17) = 0 mod (17)

mY+
Jacky20 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie haben recht... Gott da wär ich nie drauf gekommen...aber nun leuchtet es mir ein...

Danke http://www.cheesebuerger.de/images/midi/verschiedene/c030.gif
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Möglichkeit wäre die Zerlegung:



Grüße Abakus smile
Jacky20 Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann wieder eine Fallunterscheidung, oder???

Direkt bewiesen kann es damit doch nicht werden.

Danke smile
Jacky20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Hi,

mit deinem Beweis komme ich, ehrlich gesagt, nicht mit, weil schon



keine Identität sein kann (links ist n etwas anderes als rechts ..). Allerdings bin ich kein Zahlentheoretiker, vielleicht wissen ander hier mehr.

Ich könnte mir jedoch eine Fallunterscheidung vorstellen:

1.
n sei gerade

dann ist immer durch 4 teilbar

2a.
n sei ungerade und endet mit 1 oder 3 oder 7 oder 9

die 4. Potenz ist dann immer kongruent mod 1 (endet mit 1), wenn dann 4 addiert wird, ist

immer durch 5 teilbar

2b.
n sei ungerade und kongruent mod 5 (endet mit 5), dann folgt daraus

immer durch 17 teilbar

denn (25*25 + 4) mod (17) = (8*8 + 4) mod (17) = 68 mod (17) = 0 mod (17)

mY+


Verstehe etwas nicht... muss das bei 2b nicht hoch vier genommen werden??? Oder besser warum nur zum Quadrat???
Und was bedeutet mod? *blödfrag* verwirrt

Weil 25^4 +4= 390629 kann nicht durch 17 geteilt werden, oder???

Viele Grüße
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacky20
Und dann wieder eine Fallunterscheidung, oder???

Direkt bewiesen kann es damit doch nicht werden.

Danke smile


Du hast die Zahl dann in 2 Faktoren zerlegt, was willst du mehr erreichen ?

mod ist eine Rechenoperation (modulo) und bezeichnet den Divisionsrest, zB:

13 mod 4 = 1
14 mod 4 = 2
55 mod 7 = 6
usw.

Grüße Abakus smile

EDIT: bei dem Beweis von Mythos siehst du dann zusätzlich, durch was dein Ausdruck ggf. teilbar ist
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacky20
...
Verstehe etwas nicht... muss das bei 2b nicht hoch vier genommen werden??? Oder besser warum nur zum Quadrat???
Und was bedeutet mod? *blödfrag* verwirrt

Weil 25^4 +4= 390629 kann nicht durch 17 geteilt werden, oder???

Viele Grüße


Das bei 2b muss durchaus hoch 4 genommen werden! Wo steht, dass dies nur quadriert wurde? Überleg einmal, wie das dann bei einer Zahl, die mit 5 endet, aussieht: 5*5*5*5 = 25*25

mY+
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