Schwerpunkt eines Tetraeders mit Vektoren allgemein beweisen

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B4591 Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt eines Tetraeders mit Vektoren allgemein beweisen
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe ist unten angehängt (Aufgabe 6). Ich schaffe es den Schwerpunkt der Grundfläche ABC zu bestimmen, aber wenn es darum geht, noch den Schwerpunkt einer weiteren Dreiecksfläche herzuleiten, scheitere ich stets.
Das Problem ist, dass wir diese Schwerpunkte für alle 4 Seiten wohl allgemein herleiten müssen und immer beweisen müssen, dass sich auch tatsächlich alle 4 Seitenhalbierenden im Schwerpunkt schneiden, was eine Menge rechenaufwand, viel Papier und ne Menge rechenzeit erfordert >.<


Meine Ideen:
Also:
Für den Schwerpunkt der Grundfläche bin ich so vorgegangen, dass ich erstmal wie im Aufgabentext den Koordinatenursprung am Punkt A gelegt habe. Die Grundseiten des Tetraeders sind die Vektoren a, b und c welche alle von ihrem Anfangspunkt wegzeigen.
Dadurch ergibt sich die Linearkombination:
Dann die Seitenhalbierenden formuliert und dann direkt die speziellen Vektoren, die zum Schwerpunkt des Dreiecks führen aufgestellt:


Dann beide gleichgesetzt, umgeformt udn dann durch die Bedingung die Parameter s und t bestimmt, welche beide logischerweise 2/3 betragen, da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2 teilt.
Wenn ich nun den Schwerpunkt einer anderen Dreiecksfläche nach dem gleichen Prinzip bestimmen will, so komme ich zu keinem Ergebnis...
Das Verfahren im ganzen scheint mir auch ziemlich umständlich, doch weiß ich nicht, wie mein Mathe-Prof reagiert, wenn ich das anders mache, indem ich zum Beispiel die Geradengleichung der Seitenhalbierenden wie in der Schule in Parameterdarstellung mit dem Mittelpunkt der Seite darstelle....

Also, wenn jemand Zeit hat mir zu helfen, wäre ich sehr erfreut.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Koordinatensysteme können hilfreich sein. Es gibt aber auch Situationen, wo sie lästig sind. Diese hier ist eine.

Am besten arbeitet man nur mit den Gesetzen eines affinen Raumes. Beginnen wir mit dem Schwerpunkt eines Dreiecks. Dazu gehen wir von drei Punkten aus und definieren mit Hilfe eines weiteren Punktes (das muß nicht der Ursprung eines Koordinatensystems sein) den Punkt durch



Da die Definition verwendet, sieht es zunächst so aus, als ob von abhängig wäre. Dem ist aber nicht so. Denn machen wir dieselbe Konstruktion von einem anderen Punkt aus, so kommen wir zu einem Punkt mit



Und nun rechnet man







Und Anfang und Ende der Rechnung zeigen: . Der durch definierte Punkt ist also gar nicht von abhängig. Wir nennen ihn den Schwerpunkt des Dreiecks . Und weil beliebig war, darf jetzt dafür in jeder beliebige Punkt eingesetzt werden.

1. Zum Beispiel darf man für den Ursprung des Koordinatensystems wählen. Dann sind die auftretenden Vektoren Ortsvektoren der Punkte, und die Formel ist eine Berechnungsformel für die Koordinaten des Schwerpunkts.

2. Oder man wählt (Mittelpunkt/Schwerpunkt der Seite ). Dann lautet die Formel



Und das besagt nichts anderes als: liegt auf der Seitenhalbierenden am Ende des ersten Drittels, von aus gesehen.
Da man ganz analog auch für die anderen Seitenhalbierenden schließen kann, ist sowohl als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden nachgewiesen als auch das bekannte Teilverhältnis gezeigt.

3. Oder man wählt selbst. Dann bekommt man, daß den Nullvektor ergibt (was ja eine interessante physikalische Interpretation hat).

Das Vorgehen hier ist also umgekehrt, als du es vielleicht gewohnt bist: Man definiert den Punkt durch die Formel und weist dann mit der Formel Eigenschaften des Punktes nach. Entscheidend ist natürlich die Unabhängigkeit von . Sie ist der Schlüssel zu allem Folgenden.

Übrigens: Die Punkte brauchen gar kein echtes Dreieck zu bilden. Alles gilt auch im Entartungsfall, daß die Punkte kollinear sind.

Und jetzt mache es genau so mit vier Punkten . (Auch hier ist es wieder egal, ob die Punkte wirklich die Ecken eines echten Tetraeders bilden. Auch wenn sie in einer Ebene liegen, bleibt alles richtig.) Definiere einen Punkt durch eine zu analoge Formel. Viermal darfst du raten, was man als Faktor vor der Klammer nimmt. Weise dann nach, daß die Definition unabhängig von der speziellen Lage des Punktes ist. Spezialisiere schließlich (Schwerpunkt des Dreiecks ). Und wenn du jetzt beachtest, was wir oben unter 3. bereits festgestellt haben, bist du schon fertig.

Und du siehst: keine Koordinaten, keine Zahlenrechnungen ...
B4591 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort, Leopold.
Der Weg ist mir einleuchtend und er ist auch ziemlich unkompliziert. Nur habe ich leider eine Mathe-Prof. der alles hergeleitet haben möchte und so vieles verkompliziert. Da die Aufgaben von ihm bewertet werden weiß ich nicht, ob dieser Weg auch tatsächlich eine von ihm akzeptierte Lösung ist.Doch ich denke, ich werde es mal drauf ankommen lassen, das Studium hat ja gerade erstmal begonnen von daher kann man ja noch Fehler machen.

Ich schätze, dass ihm nicht gefallen wird, dass man die mit (*) gekennzeichnete Formel voraussetzt, meine Kommilitonen sehen das genauso. Auch wenn diese Formel in jeder Formelsammlung drinsteht, genauso wie die für den Schwerpunkt eines Tetraeders, die ja nur die Unterschied aufweist, dass der Vorfktor 1/4 ist und in der Klammer dementsprechend noch ein 4. Vektor, nämlich
Wir haben schon einer Übungsstunde die Herleitung für den Schwerpunkt eines Dreiecks besprochen und dort mussten wir dann auch immer nachweisen, dass sich alle 3 Seitenhalbierenden in diesem Punkt S schneiden und dementsprechend müssen wir dann auch beim Tetraeder nachweisen, dass alle Verbindungslinien der Schwerpunkte der Seitenfläche mit den gegenüberliegenden Eckpunkten durch den Schwerpunkt des Tetraeders verlaufen.
Ich denke ich werde deinen Weg schonmal soweit durchrechnen und falls ich es nicht mehr rechtzeitig schaffen sollte den anderen Weg hinzukriegen, einfach den von dir vorgeschlagenen Lösungsweg abgeben und hoffen, dass er den Weg so akzeptiert.
Falls noch irgendeiner was weiß, kann er natürlich gerne noch helfen ^^
Ansonsten erst einmal Dankeschön soweit.

MfG
B4591
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis, daß sich alle Schwerelinien eines Tetraeders (das sind die Verbindungen vom Schwerpunkt eines Seitendreiecks zur gegenüberliegenden Ecke des Tetraeders) in einem Punkt schneiden, wird ja gerade dadurch erbracht, daß man nachweist, daß der durch die Formel definierte Punkt auf allen Schwerelinien liegt. Das ist ein lückenloser Beweis.
Mache dir einfach noch einmal klar, daß eine Gleichung wie



mit der geometrischen Aussage "der Punkt teilt die Strecke im Verhältnis 2:5" gleichbedeutend ist. Insbesondere wird zum Ausdruck gebracht, daß auf liegt.

Übrigens ist mir in deinem Beitrag die Bedeutung der Vektoren nicht klar. Insbesondere kann ihre Summe nicht der Skalar 1 sein. Meinst du den Nullvektor?
B4591 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, meinte dass die Vektoren a,b und c zusammenaddiert Null ergeben bzw. den Nullvektor, da Vektoren addiert ja schließlich keine Zahlen sondern nur Vektoren ergeben können. Da man sich ja selber eine Skizze machen kann, wählt man clevererweise die Vektoren so, dass sie alle zusammenaddiert eben Null ergeben, da man wieder beim Koordinatenursprung wieder ankommt, der ja im Punkt A laut Aufgabe liegt.
Die Aufgabe habe ich heute mit ein paar Kommilitonen zusammen gelöst, auf dem Weg, den der Professor vorgegeben hat (auch wenn das ein bisschen kompliziert ist), aber da die Aufgabe unter dem Titel: "Zerlegung eines Vektors nach vorgegebenen Richtungen" läuft.
Dein Weg ist mir natürlich leichter und auch lieber, Leopold, aber da unser Mathe-Prof etwas eigen ist, werde ich wohl seinen Weg als Lösung abgeben.
Ich hatte nur bei dem komplizierteren Weg Probleme das ganze von der Ebene in den R3 auf das Gesamte Tetraeder zu beziehen, aber da war nur eine kleine, etwas dämliche Denkblockade und zack kam das schöne Ergebnis von 1:3 heraus. Mathe kann ja manchmal so einfach sein smile
Aber dennoch vielen Dank für die Mühe und die tolle Hilfe.

Aufgabe gelöst ^^

MfG
B4591
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