Winkel zwischen 3D-Vektor und Achse: Komponenten in x- und y- Richtung

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07.10.2010, 10:17	Karl5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen 3D-Vektor und Achse: Komponenten in x- und y- Richtung Meine Frage: Hallo liebe Leute, ich habe folgendes Problem. In einem Optikprogramm (OptiCAD) bekomme ich Informationen über die bestimmte Punkte auf einer Halbkugel. Leider verstehe ich nicht, wie die Lage der Punkte definiert ist. Im Handbuch steht es folgendermaßen: "Rays are sorted into bins of equal deltathetaX by deltathetaY, where the angles are with respect to the z-axis (optical axis)." Für die Lösung dieses Problems ist erstmal egal, dass es um Kästchen geht, die von Winkeln eingeschlossen werden. Vorher müsste ich verstehen, was durch thetaX und thetaY beschrieben wird. Meine Ideen: Was ich bis jetzt weiß: Wenn thetaY =0, dann befindet sich der beschriebene Punkt der Halbkugel über der X-Achse. Also bei thetaX = 90 ist X = R, bei thetaX = 0 ist X = 0. $\begin{eqnarray} (x = sin(\theta_x) \cdot R) \end{eqnarray}$ Wenn thetaX =0 gilt das gleiche für den y-Wert. Wenn beide Winkel gleich groß sind (thetaX = thetaY), dann sind X und Y auch gleich groß. Ich schätze, dass der Ursprung des Koordinatensystems im Kugelmittelpunkt liegt. Kann mir vielleicht irgendjemand sagen, wie ich andere ("krumme") Winkelangaben in karthesische Koordinaten umgewandelt bekomme? Das wäre mir eine riesen Hilfe! Dankeschön! Karl
07.10.2010, 10:30	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen 3D-Vektor und Achse: Komponenten in x- und y- Richtung Das Stichwort könnte «Kugelkoordinaten» sein.
07.10.2010, 11:05	Karl5000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen 3D-Vektor und Achse: Komponenten in x- und y- Richtung Danke für die schnelle Antwort! Das Problem mit Kugelkoordinaten ist, dass sie immer durch Azimuth und Elevation definiert sind. Das heißt, dass ich nicht x = y bei thetaX = thetaY bekomme. Noch etwas: In meinem Fall gehen die Winkel für die Halbkugel von -90 bis 90 (sowohl thetaX als auch thetaY). Es sind also irgendwelche "alternativen" Kugelkoordinaten gefragt...
07.10.2010, 11:59	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen 3D-Vektor und Achse: Komponenten in x- und y- Richtung Du stellst eine Frage zum Mitraten. Man kann nur Vorschläge mit den beschriebenen Eigenschaften machen und hoffen, dass es passt. $\begin{eqnarray} \theta_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta_y \end{eqnarray}$ könnten demnach Winkel sein, von denen je ein Schenkel auf der z-Achse liegt. Die Winkel beschreiben sozusagen die geographischen Breiten bezüglich je der x- bzw. y-Achse als Erdachse. Demnach müsste gelten: $\begin{eqnarray} x = R \sin\theta_x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = R \sin\theta_y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = \pm R \sqrt{\cos^{2}\theta_x -sin^{2}\theta_y} \end{eqnarray}$ (Für z gibt es nach trigonometrischen Umformungen alternative Darstellungen.)
07.10.2010, 12:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe es genauso wie Wisili: Es handelt sich hier um eine alternative Art von Kugelkoordinaten. Anstelle der üblichen Winkel $\begin{eqnarray} \phi, \theta \end{eqnarray}$ hat man hier die Winkel $\begin{eqnarray} \theta_x,\theta_y \end{eqnarray}$ gewählt, welche folgende anschauliche Bedeutung haben: Angenommen ein "Wanderer" steht auf dem Nordpol einer Glaskugel und sieht im Inneren der Glaskugel die Äquatorebene (=xy-Ebene) mit der x-Achse und der y-Achse. Wandert der Wanderer ausgehend vom Nordpol in x-Richtung, so zählt der Winkel $\begin{eqnarray} \theta_x \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen der senkrechten z-Achse und dem Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec x=(x\|y\|z) \end{eqnarray}$ des Wanderers. Entsprechendes gilt bei Wanderung in y-Richtung. Die z-Koordinate des Wanderers ist bei Kenntnis von $\begin{eqnarray} \theta_x, \theta_y \end{eqnarray}$ bereits festgelegt, was Wisili berechnet hat. Es muss nämlich gelten $\begin{eqnarray} z=\pm \sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray}$ Setzt man hier ein $\begin{eqnarray} x=R\sin(\theta_x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=R\sin(\theta_y) \end{eqnarray}$ , kommt man auf den Ausdruck, den Wisili für die z-Koordinate gefunden hat.
07.10.2010, 13:10	Karl5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt mit Bildern Danke für die Vorschläge. Leider habe ich dabei das Problem, dass wenn $\begin{eqnarray} \theta_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta_y \end{eqnarray}$ beide 90 Grad sind, ich x = R und y = R bekomme. Das gibt es aber in einer Kugel nicht. Tut mir leid, das ist wirklich zum Mitraten gewesen... liegt wohl daran, dass ich auch nicht weiß, wie ich hier weiterkomme. Ich habe jetzt zur Verdeutlichung eine Datei mit Bildern angehängt. Zu sehen ist folgendes: Rechte Seite: Die Halbkugel ist von oben zu sehen. Parallele Strahlen (dunkelblau) treffen auf einer Linie von oben senkrecht in die Halbkugel. Die Gradzahl ist der Winkel, um den die Linie mit Strahlen von der Y-Achse verdreht ist. Links daneben: Die Intensität der Strahlung in diesem komischen $\begin{eqnarray} \theta_x \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \theta_y \end{eqnarray}$ Koordinatensystem aufgetragen (beide Achsen gehen von -90 bis 90 Grad). Die Intensität der Strahlung hängt nur davon ab, wie viele Strahlen in ein ( $\begin{eqnarray} \Delta \theta_x \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \Delta \theta_y \end{eqnarray}$ )- Kästchen treffen. Das ganze habe ich von 0 bis 45 Grad gemacht, danach geht es symmetrisch dazu weiter. Also schon bei Verdrehung der Strahlenlinie um nur 1 Grad trifft die Randstrahlung in den Bereich nahe $\begin{eqnarray} \theta_x \end{eqnarray}$ = 90° und $\begin{eqnarray} \theta_y \end{eqnarray}$ = 90°. Wie kann das nur sein? Außerdem verstehe ich nicht, warum bei 0 Grad die Intensität überall gleich ist, während sie bei 45 Grad eher sinusförmig über den Querschnitt verteilt ist. Ganz unten hab ich noch ein Bild der Intensitätsverteilung angefügt, das entsteht wenn von überall über der Kugel Strahlen ausgesendet werden. Vielleicht hilft das auch weiter... Also das ist jetzt natürlich wieder zum Mitraten, aber mehr kann ich darüber einfach nicht sagen, weil ich es ja nicht verstehe. Wenn man das so nicht beantworten kann, dann habe ich wohl Pech gehabt...
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07.10.2010, 14:08	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jetzt mit Bildern In meinem Vorschlag gelten (oben verschwiegene) Ungleichungen für die Winkel: Die Summe der Beträge darf höchstens 90° sein (sonst existiert z nicht, der Radikand wird negativ). Den Fall x=R und y=R gibt es tatsächlich gar nicht.
07.10.2010, 14:26	Karl5000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jetzt mit Bildern Hm, aber wenn mein Programm mir doch Angaben für das Paar $\begin{eqnarray} \theta_x = 90, \theta_y = 90 \end{eqnarray}$ macht? Dann muss ich doch auch die karthesischen Koordinaten dazu berechnen können. Wie gesagt: Die Achsen in meiner Datei gehen jeweils von -90 bis 90 Grad. Ich komme leider immer noch nicht weiter...
07.10.2010, 14:36	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jetzt mit Bildern Du hast ein Programm, das irgend etwas macht, was wir nicht mal miterleben. Ich möchte nicht mehr weiterraten. Was das nur angedeutete Flächenelement angeht: Sein Inhalt ist nicht nur von den deltas abhängig, sondern natürlich auch von den thetas.
07.10.2010, 14:38	Karl5000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jetzt mit Bildern Ja, kann ich verstehen. Danke trotzdem für die Hilfe.

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