Quadratzahl |
10.11.2006, 13:22 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Quadratzahl Ich kämpfe gerade mit meinem Übungsblatt und hänge an einer Aufgabe fest: Sie lautet: Beweisen Sie, dass für alle gilt Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das beweisen soll....Induktion bringt hier, denk ich nichts.... hmmm.... Die Fälle und unterscheiden...?? Ich weiß es einfach nicht! Kann mir jemand helfen? |
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10.11.2006, 13:30 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a kann doch nur gerade oder ungerade sein Edit: ups das bringt dich nicht weiter Mach einfach ne Fallunterscheidung: a = 3k a = 3k+1 a = 3k+2 |
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10.11.2006, 13:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Quadratzahl Wenn a durch 3 teilbar ist, dann folgt sofort die Aussage. Jetzt überlege mal, wenn a bei Division durch 3 Rest 1 oder 2 hat, was dann mit a² ist. Im übrigen geht auch vollständige Induktion. EDIT: irre.reflexiv war etwas schneller, aber nur weil er mich durch seine Aussage "a kann doch nur gerade oder ungerade sein " erstmal ins Grübeln gebracht hat. |
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10.11.2006, 13:51 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm.... Ich glaub, ich habs noch nicht kapiert... Wenn ich die Fälle a=3k, a=3k+1 und a=3k+2 unterscheide und dann kann a doch gar nicht negative Werte annehmen? Oder muss dann sein? Muss ich dann nicht irgendwie zuerst beweisen, dass es die 3 Fälle gibt? Ok. Dann fang ich mal mit a=3k an... dann ist a² = 9k = 3 * (3k) dann ist der "ersten" Menge Sei a= 3k+1: dann ist a²= (3k+1)² = 9k² + 6k +1 = 3*(3k²+2k) +1 also ist der "zweiten" Menge Sei a = 3k+2: dann ist a² = 9k² + 12k +4 = 3 * (3k² + 4k ) + 4 aber zu welcher menge gehört dann das? Ich glaub, ich habs echt noch nicht verstanden... |
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10.11.2006, 13:54 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim letzten kann ichs glaub ich doch: a² = 9k² + 12k +4 = 3 * (3k² + 4k ) + 4 = 3 * (3k² + 4k +1) * 1 gehört also zur zweiten Menge... |
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10.11.2006, 14:12 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja für ist k ist aber erstmal nur in Z. Du müsstest noch zeigen, dass es für ein gibt. Das es nur drei Fälle gibt ist klar. Denn bei Division durch drei kann es nur die Reste 0,1 und 2 geben. Rest 3 wäre wieder gleichbedeutend mit Rest 0. Erster Fall: a=3k => a^2 = 9k^2 = 3*(3k^2) da jetzt liegt a^2 schonmal in der Menge. Zweiter Fall: Soweit richtig. Aber auch hier musst du noch untersuchen ob k' = (3k²+2k) in N liegt. Dritter Fall: Mal genau hinschauen =) Edit: Hab deinen zweiten Post erst zu spät gesehen. Abgesehen vom '*' anstatt '+' richtig. |
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10.11.2006, 14:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hüstel. Was ist a² ? Wenn a < 0 ist, betrachte b := -a. Dann ist b² in der Menge und wegen b² = (-a)² = a², folgt ..... |
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10.11.2006, 14:23 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ja! Stimmt! Dann kann ich aber doch zuerst die Fälle a= 3k und a= -3k annehmen und sie dann "zusammenfassen" zu a² = 9k² oder?? Ok. Wenn k aus N ist dann ist auch k² in N und da 3 aus N ist 3k² aus N ? so ungefähr?? Ich hätt noch ne Frage: bei der nächsten Aufgabe gehts darum zu beweisen, dass 3a² - 1 keine Quadratzahl ist. Kann ich dann wieder für a die 3 Fälle annehmen und zeigen, dass 3a²-1 nicht in eine der beiden Mengen liegt?? Also so ungefähr: Sei a = 3k Dann ist 3a²-1 = 3 (3k)² -1 = 3 *(9k²) - 1 und wegen dem "-" liegt es dann in keiner der beiden Mengen??? |
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10.11.2006, 14:28 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a² = 9k² meinte ich!!! |
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10.11.2006, 14:40 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum solltest du zeigen wollen, dass 3a^2 -1 in der Menge liegt? Die Aufgabe ist doch zu zeigen, dass es kein Quadrat ist. |
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10.11.2006, 14:40 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, dass ich jetzt 3x hintereinander schreibe, aber mir ist grad noch was eingefallen.. wenn a z.B. 0 ist, dann ist 3a² -1 < 0 und deshalb keine Quadratzahl ?? |
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10.11.2006, 14:42 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weil ja jede Quadratzahl in eine der beiden Mengen liegt und ich wollte zeigen dass 3a²-1 eben nicht in eine der beiden liegt |
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10.11.2006, 14:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe jetzt nicht, was du da sagen willst. Aber in der tat hat der Aufgabensteller was übersehen. Wenn a=0 ist, dann a²=0 und 0 gehört nicht zu der Menge, da das k eine natürliche Zahl ist. Es sei denn, die natürlichen Zahlen wurden hier inklusive 0 defniert. |
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10.11.2006, 14:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So hab ich's z.B. in der Schule gelernt. Vielleicht sollte man ganz "verbieten", und nur noch bzw. zulassen. |
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10.11.2006, 14:54 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Idee mit der Quadratzahl ist richtig. Aber du musst da anders rangehen. Wir haben gezeigt: Jede Quadratzahl lässt sich als 3k oder 3k+1 schreiben. Also ist der Ansatz: Angenommen 3a^2 - 1 ist eine Quadratzahl. Dann lässt sie sich als 3a^2 -1 = 3k oder 3a^2-1 = 3k+1 schreiben. Das lässt sich ganz schnelll zum Widerspruch führen. |
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10.11.2006, 14:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage der Lösbarkeit von ist schon ein ganzes Stückchen von der Problemstellung dieses Threads entfernt. EDIT: Mist geschrieben im zweiten Satz, gelöscht. |
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10.11.2006, 15:06 | Celeste** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei uns ist N mit der Null und N* ohne Null! (Zumindest in Algebra in Analysis nicht) Also ganz ohne die 3 Fälle??? Hmm.... Vielleicht so:? 1.Fall: 3a² -1 ist aus der 1. Menge: 3a² - 1 = 3 (a² - 1/3) da a aus Z ist und somit a² aus N, folgt: (a² - 1/3) ist nicht aus N -> Widerspruch 2. Fall: 3a²-1 ist aus der 2.Menge 3a² -1 = 3 ( a² - 2/3) +1 da a aus Z ist und somit a² aus N, folgt: (a² - 2/3) ist nicht aus N -> Widerspruch Stimmt das? |
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10.11.2006, 20:04 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nee. So wie ich angedeutet habe. Für 3a^2-1 = 3k mit k € N folgt zum Beispiel : 3 | 3a^2-1 -> 3 | (-1) Widerspruch. Jetzt musst du noch 3a^2-1 = 3k+1 untersuchen. |
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