Vektorrechnung im R³

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R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung im R³
Hallo,

ich habe leider ein Beispiel, bei dem ich mir nicht so sicher bin wie es funktioniert;

Es ist zu untersuchen, ob die Punkte P1 (1, -2, 2) u. P2 (4, -1, 5) auf der Geraden g:x= (2,1,1) +t(1, -1,2) liegen.

Muss man das gleich setzen?

Wär nett wenn mir jemand helfen würde......
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Ja, x steht für die Ortsvektoren von P1 bzw. P2.

Es ist je ein t-Wert zu finden, der die Gleichung wahr macht.
Wenn das möglich ist, liegt der Punkt auf der Geraden.
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
dann würde das so aussehen: P1(1,-1,2)= (2,1,1)+t(1,-1,2) oder?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Ja, bis auf den Schreibfehler: P1 (1, -2, 2).
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
(1,-2,2)=(2,1,1)+t(1,-1,2) /-(2,1,1)

(1,-2,2)-(2,1,1)= t(1,-1,2) //(1,-1,2) oder?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Erste Zeile ist richtig, aber danach musst Du anders verfahren. Erstelle aus der Paramtergleichung ein LGS und löse es.
Habt Ihr es in der Schule nicht so gemacht?
 
 
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Ja, das ist leider das Problem....
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Mit dem Formeleditor wird das Problem anschaulicher.



Jetzt mach ein LGS daraus; die erste Zeile lautet so:

1 = 2 + t
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
1=2+t
-2=1-t
2=1+2t und was macht man dann?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Stelle jetzt jede Gleichung nach t um. Wenn Du jedesmal die gleichen Werte für t bekommst, liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Dasselbe machst Du mit dem zweiten Punkt.
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Vielen Dank für Ihre Hilfe. Gott
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Richtig. Freude

Keine Ursache.
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Hätte da noch eine Frage......

Es ist zu untersuchen, ob sich die Geraden g1:x= (1,-2,1) + y(-3,5,4) u. g2:x= (1,4,9)+ u(9,-9,-4)schneiden. Schnittpunkt u. Schnittwinkel sind anzugeben.


Könnte das so stimmen: (1,-2,1)+y(-3,5,4) = (1,4,9)+u(9,-9,-4)
1. 1-3y=1+9u
2. -2+5y=4-9u
3. 1+4y=9-4u

und dann y,u auf eine Seite bringen?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Der Ansatz ist richtig. Für ein solches LGS gibt es mehrere Methoden zur Lösung; es kommt jetzt drauf an, welche Ihr schon durchgenommen habt.

Die gebräuchlichsten sind Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Kennst Du sie schon?
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
1. 1-3y=1+9u
2. -2+5y=4-9u
3. 1+4y=9-4u

1. 0= 9u+3y
2. -6=-9u-5y
3. -8=-4u-4y
stimmt das so?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Ja, aber diese Umformung bzw. Vereinfachung bringt Dich nicht viel weiter.

Um z. B. mit dem Additionsverfahren zu beginnen, kannst Du die ersten beiden Gleichungen addieren. Als Ergebnis erhältst Du eine, in der es keine Variable u mehr gibt. Dann stelle um nach y.
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
ok: dann wäre y=3

dann setzt man in der 3. Gleichung 3 für y ein, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe?
Waldgeist Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
wenn ich ma ne frage stellen darf... Ich bin genau mit dem selben problem zu gange. Habe umgestellt und eingesetzt und bekomme dann zwei werte für eine varable die nicht gleich sind heraus. Ist das richtig?? Wenn ja kann ich dann unmittelbar daraus schliessen das die geraden windschief zueinander sind?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
y = 3 Freude
Am besten setzt Du es in alle drei (ursprünglichen!) Gleichungen ein; wenn Du für u jeweils die gleichen Werte bekommst, schneiden sich die Geraden - andernfalls nicht (dann kreuzen sie sich, sind parallel oder identisch).

Die Schnittpunktskoordinaten ergeben sich, indem Du
- entweder y
- oder u einsetzt.

Je eine Seite der ursprünglichen Gleichungen ist also der Schnittpunkt.

Edit: Für den Schnittwinkel rechnest Du am besten mit dem Skalarprodukt.
Welche zwei Vektoren kommen da wohl in Frage?

Bin dann bis zum Abend OFF.
R³XXX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Vielen Dank!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im R³
Zitat:
Original von Waldgeist
wenn ich ma ne frage stellen darf... Ich bin genau mit dem selben problem zu gange. Habe umgestellt und eingesetzt und bekomme dann zwei werte für eine varable die nicht gleich sind heraus. Ist das richtig?? Wenn ja kann ich dann unmittelbar daraus schliessen das die geraden windschief zueinander sind?


Da es ja offensichtlich einen Schnittpunkt gibt, wirst du dich wohl verrechnet haben.
Falls das System keine Lösung haben sollte, kannst du daraus schließen, dass die beiden Geraden windschief oder parallel sind. Was muss für die Parallelität noch gelten?

mY+
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