Formel ohne Induktion beweisen

10.11.2006, 18:30

chris85

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Formel ohne Induktion beweisen

Wieviel Teilmengen inklusive der leeren Menge hat eine Menge mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen? (mit Beweis)

Ich habe mir mal anhand eine $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(\frac {1} {n+1} = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$

Es soll ein Argument ohne Induktion gefunden werden! Aber wie kann ich das sonst lösen?

10.11.2006, 18:40

Mathespezialschüler

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Irgendwie ist deine Formel komisch und sehr wahrscheinlich auch falsch ...
Wie kommst du darauf?

Gruß MSS

10.11.2006, 20:23

Takeshi

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Tipp: Das innere der Summe links hängt nicht von k ab.

10.11.2006, 20:28

tigerbine

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Zitat:

Wieviel Teilmengen inklusive der leeren Menge hat eine Menge mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen?

Mmh, n natürliche Zahl? inklusive der leeren Menge? Dann hat sie doch mindestens 2 Teilmengen: Die leere Menge und sich selbst, auch wenn das keine echte Teilmenge ist.

Deine Formel liefert rechts eine rationale Zahl, zwischen 0 und 1??? Also ich kann mich MSS nur anschließen, sieht e weng komisch aus.

Sucht du vielleicht das?

http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge

10.11.2006, 22:01

Frooke

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RE: Formel ohne Induktion beweisen
Vielleicht sollst Du das mittels Kombinatorik machen (aber ohne Induktion fällt mir so spontan nichts ein...)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left(\frac {1} {n+1}\right) = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$

So würde es stimmen, denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left(\frac {1} {n+1}\right) = \frac {n} {n+1} =\frac {n+1-1} {n+1}=... \end{eqnarray*}$

Aber abgesehen davon hat Deine Menge $\begin{eqnarray*} 2^n\ne 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$ Elemente.

10.11.2006, 23:52

chris85

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Oh man,bin ich vllt doof, also ein fehler hab ich gerade gefunden,nach langem suchen und probieren. Hab die Aufgabe falsch bekommen! So lautet sie richtig!

Beweise die Formel für $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$

Ich habe mir mal anhand eine $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(\frac {1} {k+1}) = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$

Es soll ein Argument ohne Induktion gefunden werden! Wie kann ich das sonst lösen?

Durch Induktion würde es gehen,das will ich jetzt aber nicht sondern suche ein andere Lösung.

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11.11.2006, 00:33

tigerbine

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Sorry, vielleicht liegt es an der späten Stunde, aber ich blicke immer noch nicht, wie Du zu dieser Summe kommst und was sie mit der Frage zu tun hat.

Die Menge aller Teilmengen einer endlichen Menge (also mit n Elementen) ist die Potenzmenge. Diese hat $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elemente.

11.11.2006, 00:57

chris85

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Ich glaub es liegt wirklich an der späten Stunde, hab nämlich die Aufgabenstellung einer anderen aufgeschrieben,hab es jetzt aber korrigiert.
Sorry...

11.11.2006, 03:20

Mathespezialschüler

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Die Gleichung ist falsch! Meinst du nicht vielleicht eher

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

11.11.2006, 14:56

chris85

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Ja genau die mein ich, hab sie nur von einem Konzeptblatt gehabt, und zu später stunde nicht mehr wirklich viel registriert. Sorry!!!
Kannst du mir dabei vielleicht ein bisschen auf die Sprünge helfen wie ich die Aufgabe ohne Induktion lösen kann?

11.11.2006, 15:19

Frooke

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Es gibt übrigens doch einen Beweis für die Anzahl der Potenzmenge ohne Induktion, aber das dürfte sich nun geklärt haben.

11.11.2006, 15:24

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Das ganze nennt sich Teleskopsumme. Wenn du genau hinsiehst solltest du die Lösung sehen..

11.11.2006, 16:34

chris85

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Die komplette Form derTeleskopsumme ausgeschrieben sieht ja folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}= \frac {k+1} {k(k+1)} - \frac {k} {k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac {1} {k(k+1)} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(\frac {1} {k} - \frac {1} {k+1}) = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand schnell erklären wie man auf den Teil $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ kommt? Den Schritt hab ich nicht kapiert.
Und warum schreibt man zum Schluss $\begin{eqnarray*} = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$ ?
Wieso wird am Ende für k ein n eingestezt?

11.11.2006, 17:39

chris85

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Wenn ich diese dann komplett hinschreibe dann habe ich doch im Prinzip die Formel auch ohne Induktion bewiesen, d.h. das wäre dann meine Lösung!
Da lieg ich doch richtig, oder?

11.11.2006, 18:45

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von chris85
Kann mir jemand schnell erklären wie man auf den Teil $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ kommt?

Einfach $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kürzen! Du kannst nicht einfach so

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n~\left(\frac {1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

hinschreiben. Das musst du auch noch beweisen!

Gruß MSS

11.11.2006, 19:13

chris85

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Und warum schreibt man zum Schluss $\begin{eqnarray*} = 1- \frac {1} {n+1} \end{eqnarray*}$ ?
Wieso wird am Ende für k ein n eingestezt?

Wie beweist man das dann?

11.11.2006, 19:19

Mathespezialschüler

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Das schreibt man nicht einfach so und man setzt im Prinzip auch kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein! Diese Gleichung gilt nunmal. Wie man das beweist, hast du ja schon angedeutet bekommen. Stichwort: Teleskopsumme.

Gruß MSS

11.11.2006, 19:28

chris85

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Und wie???

11.11.2006, 19:35

Mathespezialschüler

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Hast du dir den Link überhaupt durchgelesen???

Gruß MSS

11.11.2006, 19:44

PK

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Mal eine Frage: Was hatte die Summe am Anfang eigentlich mit dem Beweis der Anzahl der Elemente der Potenzmenge zu tun?
Eigentlich sollte doch nur diese Anzahl bestimmt werden.
Frooke hat ja das Stichwort Potenzmenge schon gebracht.

12.11.2006, 10:56

Frooke

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Ich denke, letztlich überhaupt nichts, war wohl eine Konfusion Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

12.11.2006, 22:26

chris85

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Also ich hab mir den Link natürlich schon durchgelesen, ist doch klar! Hab mir nochmal neu Gedanken darüber gemacht! Wenn ich die Formel komplett ausschreibe, dann hab ich doch bewiesen dass es eine Teleskopsumme ist, oder?
Kann ich dann auch als Summer schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac {1} {k(k+1)} = (a_1 - a_2)+(a_2 - a_3)+a_3 - a_4)+...+(a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Das würde ja stimmen!

Wäre das zulässig als Beweis?

Weiß echt nicht weiter wie ich das machen könnte.

12.11.2006, 22:35

Mathespezialschüler

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Ok, ich glaub, es ist am besten, dass mal genau aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n~\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) \end{eqnarray*}$ .

Siehst du jetzt, wie sich das alles weghebt?

Gruß MSS

12.11.2006, 22:48

chris85

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Sorry hab meinen Beitrag zu spät editiert!
Ja ich verstehe schon dass sich das so aufhebt. Meine Frage ist aber ob das so als Beweis genügen würde,weil ich sonst nicht mehr weiß wie ich es beweisen könnte.

12.11.2006, 23:37

Mathespezialschüler

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Mit einer Indexverschiebung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k}=1+\left(\sum_{k=2}^n~\frac{1}{k}\right)-\left(\sum_{k=2}^n~\frac{1}{k}\right)-\frac{1}{n+1}=1+0-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.11.2006, 00:16

chris85

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Okay super das hab ich jetzt verstanden! Danke für deine Mühe bei der Erklärung! Freude

Freude

13.11.2006, 00:23

chris85

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+1}=... \end{eqnarray*}$

muss es nicht so geschrieben werden anstatt wie du???

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k+1}=... \end{eqnarray*}$

13.11.2006, 00:26

Mathespezialschüler

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Nein, wieso sollte es?

Gruß MSS

13.11.2006, 00:40

chris85

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Sorry, mein Fehler, kann es ja gar nicht heißen!!!!!!!! Hammer

Hammer

13.11.2006, 00:49

chris85

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Gilt diese Indexschreibweise eigentlich als Beweis?

13.11.2006, 01:04

Mathespezialschüler

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Du meinst die Indexverschiebung mit den Summen? Ja, natürlich!

Gruß MSS

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