Rang einer Matrix

12.10.2010, 21:51

plizzz

Rang einer Matrix

Hallo, mir ist für mein Problem erstmal kein besserer Titel eingefallen. Und zwar habe ich in einem Beweis folgende Situation gegeben und ich weiß einfach nicht, warum das ist:

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} A\in \mathbb K^{m\times n} \ singulaer, U\in \mathbb K^{n\times k} \end{eqnarray*}$

Die Matrix U soll als Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis des Kerns von A enthalten. Nun steht hier:

$\begin{eqnarray*} A'= \begin{pmatrix} A \\ U^T \end{pmatrix}, \ rank(A')= n \end{eqnarray*}$

Es steht nur so da und scheint daher irgendwie offensichtlich zu sein, aber ich weiß einfach nicht, warum. Ich dachte gleich an die Rangformel, aber irgendwie passt sie hier nicht so wirklich.

Ich hoffe mal, dass mir jemand dabei weiterhelfen kann.

MfG plizzz

13.10.2010, 00:48

Cugu

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Naja, zähl doch einfach die linear unabhängigen Zeilen. $\begin{eqnarray*} U^T \end{eqnarray*}$ liefert dir $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Stück. Die restlichen $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ Stück liefert dir $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , denn so ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gewählt. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist die Dimension des Kerns von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Das heißt doch, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Zeilen besitzt. Naja, die müssen alle orthogonal zu den Vektoren aus dem Kern sein, sonst käme nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heraus. Also kannst du einfach alle zusammenzählen. Das ergibt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stück.

13.10.2010, 14:02

plizzz

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Mir war nicht klar, warum diese Vektoren linear unabhängig sein sollten, aber Orthogonalität ist wohl das Stichwort. Wäre ganz cool, ob mir jemand bestätigen kann, ob meine folgenden Überlegungen korrekt sind:

Die Zeilenvektoren von A spannen einen (n-k)-dimensionalen Unterraum W von K^n auf und der Kern von A ist dann orthogonal zu W. Da die direkte Summe von einem Unterraum von K^n und seinem orthogonalen Komplement den K^n ergibt, ist dim(W')<=k für alle Unterräume, die orthogonal zu W sind. Daher ist kern(a) das orthogonale Komplement von W und die Basisvektoren zusammen ergeben K^n (sind also insbesondere linear unabhängig).

Vielleicht geht das auch noch viel einfacher, aber so habe ich mir das eben hergeleitet. Meine Kenntnisse in linearer Algebra sind leider etwas angestaubt, obwohl es gar nicht so lange her ist.

13.10.2010, 15:23

TommyAngelo

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Zitat:

Original von Cugu
Die restlichen $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ Stück

A' hat doch m+k Zeilen. A hat m Stück und U^T hat k Stück, also bleiben m-k von A übrig. Entschuldigung, A ist singulär, also m=n. Dann passt es ja.
Ich frage mich gerade, ob eine singuläre Matrix immer eine Orthogonalprojektion darstellt.

Zitat:

Original von plizzz
Daher ist kern(a) das orthogonale Komplement von W

Ist immer der Fall. Der Kern ist orthogonal zum Span der Zeilenvektoren, sonst würde nicht 0 rauskommen und es wäre nicht der Kern.

13.10.2010, 17:00

Cugu

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Zitat:

A' hat doch m+k Zeilen. A hat m Stück und U^T hat k Stück, also bleiben m-k von A übrig. Entschuldigung, A ist singulär, also m=n. Dann passt es ja.

Es passt in jedem Fall. Der Begriff singulär ist dann allerdings etwas komisch. Eigentlich braucht man $\begin{eqnarray*} m= n \end{eqnarray*}$ nicht. Entscheident ist nur, dass $\begin{eqnarray*} Rang(A)<n \end{eqnarray*}$ ist, sonst hat $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ keine einzige Zeile...
Das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist für die Zahl der linear unabhängigen Zeilen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ völlig egal. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat zwar $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Zeilen, aber es bringt nichts die Dimension des Kerns $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ davon abzuziehen.
Um den Rang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, musst du $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ rechnen! Dimenssionssatz etc.

Zitat:

Die Zeilenvektoren von A spannen einen (n-k)-dimensionalen Unterraum W

Ja.

Zitat:

Kern von A ist dann orthogonal zu W

Ja.

Zitat:

die Basisvektoren zusammen ergeben K^n

Ja.

13.10.2010, 17:35

plizzz

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Ok danke. Im Satz, in dem das vorkommt, steht gar nichts über den Rang der Matrix A. Wahrscheinlich ist es für den Fall, dass rank(A)=n ist, klar oder so. Das muss ich mir nachher noch überlegen. Ich wollte allerdings der Aussage für den Fall ausgehen, dass U überhaupt eine Spalte hat und habe daher singulär geschrieben, wobei ich natürlich besser rank(A)<n hätte schreiben sollen. Danke jedenfalls für die schnelle Hilfe.

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