1. Übungsblatt zur LA1 brauche ein wenig Hilfestellung

13.10.2010, 14:01

Nadelspitze

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1. Übungsblatt zur LA1 brauche ein wenig Hilfestellung

Hallo,
jetzt ist es also so weit, das Mathestudium hat begonnen, das erste Übungsblatt liegt vor mit und über meinem Kopf sind erst einmal nur Fragezeichen...

Zum einen darin, wie ich etwas schreibe, zum anderen wie ich überhaupt auf etwas komme.

aber fangen wir bei Aufgabe a an:
Zeige für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^4 = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} +\frac{n^3}{3} - \frac{n}{30} \end{eqnarray*}$

Zunächst musste ich erst einmal raus finden, was das heißt aber es stimmt.
bsp.: i=4
$\begin{eqnarray*} 4^{1} + 4^2 + 4^3 + 4^4 = \frac{4^5}{5} + \frac{4^4}{2} +\frac{4^3}{3} - \frac{4}{30} \end{eqnarray*}$ = 354

Aber wie zeige ich jetzt, dass das immer gilt?
Hab zunächst versucht den Bruch umzuwandeln aber das war eher sinnlos...

Bräuchte denke ich nur einen Anstoß...

Aufgabe b)
Berechne die Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k \end{eqnarray*}$

Summe = k wenn k gerade ist, wenn k ungerade ist, ist die Summe -K.
Das ist soweit klar. Aber wie schreibe ich das?

Hatte im Abitur leider nur einen GK und den Vorkurs konnte ich nicht besuchen, da ich zu der Zeit bereits in einem Praktikum für EWS war... nun fehlen mir ein paar Sachen. Vielleicht werden auch noch ein paar Sachen in der Vorlesung oder in den Übungen besprochen aber ich möchte mir schon gern selbst ein paar Ideen sammeln damit ich am Ende nicht ganz blöd da stehe...

Danke vorab und Grüße Tanzen

Tanzen

13.10.2010, 14:03

Iorek

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Solche Aufgaben sind geradezu Musterbeispiele für einen Beweis per vollständiger Induktion smile

smile

13.10.2010, 14:05

tigerbine

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[WS] Vollständige Induktion

13.10.2010, 14:08

Nadelspitze

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Danke schön.
Werde mich damit auseinander Setzen. Meine Überlegung bei b) war ohnehin falsch wie ich gerade editieren wollte.

Melde mich, sobald ich weiter bin und ggf. auf weitere Probleme stoße

17.10.2010, 17:15

Nadelspitze

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Zitat:

Original von Nadelspitze

Aufgabe b)
Berechne die Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k \end{eqnarray*}$

Hier treten weiterhin Probleme auf, da der Ansatz fehlt.

Was ich weiß:

Wir haben in einer Lerngruppe zunächst eine Wertetabelle erstellt um zu sehen, ob uns ggf ein Zusammenhang auffällt

1->-1
2->1
3->-2
4->2
5->-3
usw...

Jetzt gilt zu überlegen wie man an die Summenformel kommt.

Mir ist klar, dass die Summenformel ein (-1)^n beinhalten muss(?), um das Vorzeichen zu erhalten.
Aber wie geht es weiter?

Ich bin zurzeit soweit,
dass ich behaupte (-1^n)*n+X sollte soweit stimmen.
Jetzt ist nur die Frage, was ist "X"

Es ist sicher wieder nur ein kleines Wort, ein Link oder ein Gedankenanstoß, der mich weiter bringt. Ich danke vorab.

17.10.2010, 17:39

tigerbine

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Es ist eine endliche reelle Summe. Man darf das Assoziativgesetz benutzen. Fallunterscheidung für n gerade und n ungerade.

Motivation:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -1+2-3+4 \mp.... \end{eqnarray*}$

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17.10.2010, 18:16

Nadelspitze

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hmm irgendwie weiß ich nicht so ganz mit der motivationshilfe anzufangen...

wenn n gerade dann:

(-1)^n*n-(1/2n)

wenn n ungerade dann:

(-1)^n*n+(1/2(n-1))

allerdings könnte ich wenn ich unterscheiden soll auch gleich das -1^n weg lassen und sagen

wenn n gerade dann:
n-(1/2n)

Wenn n ungerade dann
(-n)+(1/2(n-1))

Aber mit dem Assoziativgesetz hab ich jetzt gar nichts gemacht. Weiß auch nicht genau was...

17.10.2010, 18:23

tigerbine

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Gerade:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -1+2-3+4 \mp.... = (-1+2) + (-3+4) + .... \end{eqnarray*}$

Ungerade

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -1+2-3+4 \mp.... = -1+(2-3)+(4-5) + .... \end{eqnarray*}$

So meinte ich das.

17.10.2010, 18:47

Nadelspitze

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jetzt bin ich total verwirrt...

ich dachte ich solle eine Summenformel erstellen... (also wie in Aufgabe 1 dieses (n^5/)5+(n^4)/2+....

und wenn man unterscheidet zwischen geraden und ungeraden könnte man ja das schreiben:

gerade
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = n-\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

ungerade
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -n+\frac{n-1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Klammersetzung bei dir verstehe ich (im gerade je Klammer +1 bei ungeraden -1) aber ich weiß nicht so richtig wie mich das weiter bringt (wobei der Fehler sicher eher vor meinem Bildschirm lauert Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.10.2010, 18:56

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Gerade:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -1+2-3+4 \mp.... = (-1+2) + (-3+4) + .... \end{eqnarray*}$

Hier kann man immer Pärchen bilden. n/2 um genau zu sein. Und die haben alle den Wert 1. Daher:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = \sum\limits_{k=1}^{0.5n} 1 = 0.5n \end{eqnarray*}$

Das hast du ja auch raus.

Zitat:

Ungerade

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k = -1+2-3+4 \mp.... = -1+(2-3)+(4-5) + .... \end{eqnarray*}$

So meinte ich das.

Hier machen wir das ähnlich. Wie oft wird hier -1 aufsummiert? n ist ungerade. (n+1) ist dann gerade. Und wir summieren (n+1)/2 mal -1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k =\sum\limits_{k=1}^{0.5(n+1)} (-1) = -0.5(n+1) \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 19:15

Nadelspitze

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ah ok. wir haben ja jetzt im Prinzip das gleiche stehen nur, dass ich nen Schritt mehr mache (ja klar, ein ganzen minus 1/2 mal ein ganzes = ein halbes... Hammer

Hammer

)

aber warum steht bei dir über der Summe immer 0.5n bzw 0.5(n+1)

Muss das so oder ist das ein Tippfehler?!

17.10.2010, 19:17

tigerbine

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Viele Wege führen zum Ziel. Du wolltest einen Tipp.

Nein, das stimmt schon. Ich habe bei der zweiten Summe ja auch jeweils geändert, was summiert wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2010, 19:28

Nadelspitze

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hat mir auch geholfen. danke!

Eins noch, wie schreibe ich denn das nun eigentlich auf?
Wenn ich das ganze programmieren müsste, würde ich eine boolsche Variable verwenden und vorher abfragen, ob die Zahl durch 2 Teilbar ist...

Aber hier geht es ja eher darum, einen Übungszettel abzugeben...
kann ich da tatsächlich wortwörtlich hinschreiben wenn n gerade dann: ?

Ich glaube das werden so am Anfang meine größten Probleme in LA... diese neue Schreibform und dieses "was darf ich und was nicht" (wie gerade diese Fallunterscheidung)

17.10.2010, 19:33

tigerbine

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Begründete Umformungen. Am Ende dann.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k k =\begin{cases} 0.5n & \text{n gerade} \\ -0.5(n+1)& \text{n ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 19:39

Nadelspitze

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Super Danke!

Freude

Freude

17.10.2010, 19:41

tigerbine

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Wink

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