Lineare Gleichungssysteme

13.10.2010, 17:04

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Gleichungssysteme

Hallo zusammen,

auch ich habe wie sicherlich viele hier mein Studium in diesem WS begonnen.

Ich sitze nun vor meinem ersten Übungsblatt und bin wirklich völlig überfordert.

Daher hoffe ich sehr, dass ihr mir hier helfen könnt... Gott

Gott

unglücklich

Also die Aufgabe lautet :

Für welche reellen Zahlen c ist das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

a) eindeutig lösbar,

b) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar,

c) nicht lösbar...?

Ich weiss wirklich gar nicht wie ich das machen soll...

Ich wäre wirklich für Hilfe sehr sehr dankbar !!! Gott

Gott

unglücklich

13.10.2010, 17:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Gleichungssysteme
Dazu musst du uns mal sagen, was du schon kannst. Es sind hier doch nur 2 Gleichungen. Da kann man auch mal entspannt drüber nachdenken, wie Beispiele zu a,b, und c aussehen müssen. Dabei kann es helfen auch mal über das sChnittverhalten von Geraden in der Ebene nachzudenken. Idee!

Idee!

13.10.2010, 17:31

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

also über geraden und ebenen haben wir noch nicht gesprochen.

das einzige, was wir bisher gemacht haben war das ,was ich bereits in

meinem anderen topic geschrieben habe. also das andere gleichungssystem.

von daher weiss ich wirklich nicht wie ich anfang oder was ich machen soll... unglücklich

unglücklich

13.10.2010, 17:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du hast doch Abitur gemacht... Und auf dem Papier kann man doch mal 2 Geraden zeichnen... Da sollten doch Ideen kommen... Wenn man eine hat... Wie kann man dann die zweite malen... Und wie viele Schnittpunkte gibt es dann...

13.10.2010, 18:02

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry...aber ich stehe momentan wirklich völlig aufm schlauch. ich hab so viel

um die ohren. ich muss mich auch darum kümmern, die vollständige induktion

zu verstehen. und ich weiss momentan gar nicht was du meinst... unglücklich

unglücklich

Gott

13.10.2010, 18:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf diesem Ohr bin ich taub. Du wirst auf einem Blatt Papier doch noch mit dem Lineal 2 Geraden zeichnen können. Ferner ergibt die Boardsuche ganz allgemeine Antwort auf die gestellte Frage.

Die Antwort ist aber auch egal. Du musst sie dir erarbeiten. Darum geht es. Den Lerneffekt.

Es sollte nun nicht so schwer sein, 3 verschiedene Fälle von der Lage zweier Geraden zu malen. Kannst hier ja den Plotter nehmen. Ein Fall wäre:

Anzeige

13.10.2010, 18:16

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry..aber ich verstehe wirklich nicht, was du meinst...was hat meine aufgabe den mit geraden zeichnen zu tun...ich bin total deprimiert, weil ich es echt nicht verstehe... unglücklich

unglücklich

13.10.2010, 18:24

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den ersten Schritt reicht es doch, dass ich es verstehe. Kannst du es denn nicht einfach mal machen. Wie lange wollen wir noch "drüber reden, warum du nicht anfängst...

13.10.2010, 18:30

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss ja gar nicht was ich machen soll..ich habe schon zwei gerade gezeichnet..aber was bringt es...entweder die geraden schneiden sich in einem punkt, oder sie schneiden sich nicht oder sie sind identisch und haben unendlich viele gemeinsame punkte... unglücklich

unglücklich

verwirrt

13.10.2010, 18:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so ist es Freude

Freude

* Schnitpunkt=genau 1

* identisch =unendlich

* parallel = keine

Und, kommt dir das nicht bekannt vor? geschockt

geschockt

Zitat:

a) eindeutig lösbar,

b) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar,

c) nicht lösbar...?

So ein LGS-Typ ax+by = c kann man ja, bis auf den Fall b=0 bequem nach y umstellen. Und schon hat man die Geradengleichung! Da ist er schon, der Bezug. Nun muss man nur noch eine Übersetzung der Fälle finden. Wenn jede der Gleichungen eine gerade beschreibt, wann sind die denn gleich....Da springt mit ein c förmlich ins Auge.

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 18:47

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe beide gleichungen nach c umgestellt.

a) $\begin{eqnarray*} c=\frac{1+x}{y} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} c=\frac{2}{x-2y} \end{eqnarray*}$

bedeutet es also, dass es eine lösung gibt wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{y}=\frac{2}{x-2y} \end{eqnarray*}$

und keine wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{y}\not=\frac{2}{x-2y} \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 18:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr ungünstig. Denn die Lösung ist ja wenn in x,y beschrieben. Wenn du nun die Bedingung darüber formulierst.

Für welches c ist die erste Gleichung denn gleich der zweiten... Idee!

Idee!

13.10.2010, 18:54

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

mhh...keine ahnung...ich weiss es nicht... unglücklich

unglücklich

verwirrt

13.10.2010, 18:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sie gleich sein sollen und die erste lautet

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

Was muss dann in der zweiten wohl vor dem x stehen...

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-1=? \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 19:11

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

dann müsste die zweite doch umgestellt lauten

$\begin{eqnarray*} c-1=\frac{1}{x-2y} \end{eqnarray*}$

oder...?

13.10.2010, 19:19

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

Was steht denn in der ersten Gleichung vor dem x.....

13.10.2010, 19:24

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

in der ersten gleichung steht eine 1 vor dem x...

13.10.2010, 19:28

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

und was muss dann in der zweiten vor dem x stehen...

13.10.2010, 21:55

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

auch eine 1...

aber da steht doch auch eine 1 vor dem x ...oder... unglücklich

unglücklich

13.10.2010, 22:03

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zwei zählen klappt sonst aber, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

in der ersten gleichung steht eine 1 vor dem x...

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was muss dann in der zweiten wohl vor dem x stehen...

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-1=? \end{eqnarray*}$

Richtig, auch eine 1. Was könnte das ? also sein. Und damit in diesem Fall das c.... verwirrt

verwirrt

14.10.2010, 13:18

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. das c muss also in diesem fall zwei sein, damit gilt :

$\begin{eqnarray*} (2-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2y=1 \end{eqnarray*}$

hätte man nicht auch die beiden gleichung gleichsetzten können verwirrt

verwirrt

verwirrt

Und, was bedeutet, das nun... unglücklich

unglücklich

15.10.2010, 13:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Für c=2 haben wir zwei identische Gleichungen. Also im Grunde nur eine für 2 Unbekannte. Welche der Lösungensvarianten wird es dann sein?

*keine Lösung x|y

*genau eine Lösung x|y

*unendlich viele Lösungen x|y

15.10.2010, 16:16

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

dann wird es doch wohl die variante mit unendlich vielen lösungen sein oder...?

15.10.2010, 16:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

Genau.

Müssen dafür die beiden Gleichungen immer genau gleich sein? Oder könnten die eine auch ein Vielfaches der anderen sein? Was ist denn lineare Abhängigkeit?

15.10.2010, 16:24

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

nein es könnte auch ein vielfaches sein ... das besagt doch die lineare abhängigkeit, dass sich ein faktor durch den anderen ausdrücken lässt...oder.. verwirrt

verwirrt

15.10.2010, 16:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 2 Vektoren, ja.

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

Hier geht das nur für c=2. Sei also nun $\begin{eqnarray*} c \neq 2 \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Lösbarkeit aussagen? Die Geraden würden so aussehen. Achtung! c ungleich 0!

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{c}x-\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(c-1)}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das LGS würde so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-c \\ c-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Fall für c=0 kann man hier schön ablesen.

15.10.2010, 16:43

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe mir nun nochmal ein paar gedanken dazu gemacht.

ich würde es so angehen.

zunächst würde ich versuchen den fall abzudecken, dass es eine eindeutige lösung gibt, also werte für x und y zu bekommen mit folgendem gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} 1: x - cy = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2: (c - 1)x - 2y = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1: x = 1 + cy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2: (c - 1) (1 + cy) - 2y = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1: x = 1 + cy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2: c + c²y - 1 - cy - 2y = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1: x = 1 + cy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2: y (c² - c - 2) = 2- c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1: x = 1 + cy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2: y = \frac{2-c}{(c²-c-2)} \end{eqnarray*}$

Somit gibt es genau eine eindeutige Lösung für :

$\begin{eqnarray*} L={(1 + cy),(\frac{2-c}{c² - c - 2}}) \end{eqnarray*}$

sei nun $\begin{eqnarray*} c²-c-2=0 \end{eqnarray*}$ folgt :

$\begin{eqnarray*} c = 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c = -1 \end{eqnarray*}$ (berechnet mit der pq-formel.

Ist $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ folgt :

$\begin{eqnarray*} y(2²-2-2) = 2-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y*0=0 \end{eqnarray*}$ (w)

Daher ist das LGS für c=2 lösbar aber nicht eindeutig lösbar.

Ist $\begin{eqnarray*} c=-1 \end{eqnarray*}$ folgt :

$\begin{eqnarray*} y((-1)²-(-1)-2)=2-(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y*0=3 \end{eqnarray*}$ (f)

Daher ist das LGS für c=-1 nicht lösbar.

Ist das so richtig.... verwirrt

verwirrt

unglücklich

15.10.2010, 16:52

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Hier geht das nur für c=2. Sei also nun $\begin{eqnarray*} c \neq 2 \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Lösbarkeit aussagen? Die Geraden würden so aussehen. Achtung! c ungleich 0!

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{c}x-\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(c-1)}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Damit die beiden Geraden paralell/identisch sind, muss die Steigung übereinstimmen. Das führt auf c²-c-2=0 und die Lösungen c=2 (identisch) und c=-1(parallel). Deine Ergebnisse stimmen.

In den anderen Fällen (c ungleich 0) haben die geraden unterschiedliche Steigungen und schneiden sich demnach. Aber auch für c=0 können wir uns das anschaulich vorstellen. Die Gerade ist parallel zu y-Achse, passt hier nur nicht in das Notationsmodell. Doch auch für c=0 ist die Lösung/Schnittpunkt eindeutig.

Soweit nachvollziehbar?

15.10.2010, 17:41

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. dann haben wir es also doch noch geschafft die ausfgabe vollständig richtig

zu lösen...? Und die lösungsmenge für eine eindeutige lösung stimmt auch...?

15.10.2010, 17:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rest eben. Hast du die Matrix Darstellung schon mal gesehen?

Zitat:

Das LGS würde so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-c \\ c-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 17:51

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

was meinst du mit "der rest eben"...?
Ja, ich habe die Matrix gesehen. Aber ich kann damit ehrlich gesagt nicht
mehr viel anfangen...liegt lange zurück... unglücklich

unglücklich

verwirrt

15.10.2010, 18:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

c=2 => unendlich viel

c=-1 keine Lösung

c aus IR\{-1,2} => genau eine Lösung.

Geometrisch nun klar. Aber in Zukunft wollen wir das der (erweiterten) Matrix des LGS ansehen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2 \\ 2-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Matrix singulär mit Rang 1, erweitere Matrix hat auch Rang 1. => uneneldich viele ösungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1 \\-1-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1 \\ -2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Matrix singulär mit Rang 1, erweitere Matrix hat auch Rang 2 => keine Lösung.

Ansonsten hat die Matrix vollen Rang, das LGS ist eindeutig lösbar.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-c \\ c-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 18:07

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

mhhh...also das mit der matrix schreibweise verstehe ich nicht , denn soweit sind

wir ja noch nicht...

aber ich verstehe auch nicht wieso man davon ausgehen kann, dass c die steigung angibt und warum eine eindeutige lösung für {-1,2} vorliegt... unglücklich

unglücklich

15.10.2010, 18:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Bei 2 Vektoren, ja.

$\begin{eqnarray*} x-cy=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-1)x-2y=1 \end{eqnarray*}$

Hier geht das nur für c=2. Sei also nun $\begin{eqnarray*} c \neq 2 \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Lösbarkeit aussagen? Die Geraden würden so aussehen. Achtung! c ungleich 0!

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{c}x-\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(c-1)}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das LGS würde so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-c \\ c-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Fall für c=0 kann man hier schön ablesen.

Wo habe ich gesagt, dass c die Steigung ist? Der Bruch vor dem x ist die Steigung, a la y=mx+t ....

15.10.2010, 18:15

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

ok...also ist die steigung für c=2 in beiden gleichungen 0,5 somit sind die gleichungen identisch und es gibt unendlich viele lösungen.
für c=-1 sind die steigung aber doch mit -1 auch identisch. wieso gibt es dann für c=-1 keine lösung...?
und dann habe ich immer noch nicht verstanden warum eine eindeutige lösung dann
bei {-1,2} liegt. ich habe da doch was ganz anderes berechnet...? unglücklich

unglücklich

15.10.2010, 18:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ricky
ok...also ist die steigung für c=2 in beiden gleichungen 0,5 somit sind die gleichungen identisch und es gibt unendlich viele lösungen.
für c=-1 sind die steigung aber doch mit -1 auch identisch. wieso gibt es dann für c=-1 keine lösung...?

Deswegen hatte ich dich nach der Lage von Geraden befragt. Gleiche Steigung heißt doch nicht automatisch, dass sie identisch sind....

15.10.2010, 18:19

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok das stimmt...aber woher wusstest du dann , dass sie für c= 2 identisch sind und für c= -1 parallel...?

15.10.2010, 18:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich mir wohl noch ausgerechnet und verglichen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2010, 18:31

Ricky

Auf diesen Beitrag antworten »

den Y-Achsenabschnitt...

Also gilt für die Geraden für c=2 :

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{c}x-\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{(c-1)}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2-1}{2}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und für c = -1 :

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{c}x-\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{-1}x-\frac{1}{-1}=-x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{c-1}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{(-1)-1}{2}x-\frac{1}{2}=-x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 18:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »