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13.10.2010, 20:21

ng1

dgl

Meine Frage:
Hallo,
ich habe die Gleichung:
n'(x) = n(x) + C;

und die Randwerte n(0) = 0, n(1) = 1.
explizit lösen kann man die Gleichung ja...
aber das will ich garnicht.
Ich möchte aus den Randwerten C bestimmen.

schonmal vielen dank für die Hilfe

Meine Ideen:
naja einsetzen wäre meine erste idee

C = n'(0)
C = n'(1) - 1;

aber weiter komm ich einfach nicht

13.10.2010, 22:09

Cugu

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Ich weiß nicht genau, was du vor hast.

Zitat:

C = n'(0) C = n'(1) - 1;

finde ich kritisch, da man i.A. die Gültigkeit der Differentialgleichung in den Randpunkten nicht fordert.

--- Tanzen

---

Nur so eine Idee:
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{0}^1n'(x)dx=\int_{0}^1n(x)dx+C \end{eqnarray*}$
Mittels $\begin{eqnarray*} n_{j+1}=n_{j}+h(n_{j}+C) \end{eqnarray*}$ lässen sich nun Stützpunkte für das Integral finden.
Dabei benutzt man die Konvergenz des expliziten Eulerverfahrens.
Durch Limesbildung erhält man also den exakten Wert des Integrals und kann nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auflösen.

14.10.2010, 20:26

ng1

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aber fehlt mir dann beim euler verfahren nicht auch wieder das C.

wenn man die Gleichung jetzt löst zb:

ist einer lösung $\begin{eqnarray*} n(x) =e^x (C\int_{0}^x e^s ds + C_1) \end{eqnarray*}$

und mit den Randwerten ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} n(0) = 0 = C_1 \end{eqnarray*}$ und n(1) = 1
$\begin{eqnarray*} C = 1/(e^x (\int_{0}^x e^s ds) \end{eqnarray*}$

aber das auch nur wenn man die Lösung kennt.
Ist es denn nicht möglich direkt aus der Gleichung C zu bestimmen

14.10.2010, 21:58

Cugu

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Zitat:

Ist es denn nicht möglich direkt aus der Gleichung C zu bestimmen

Naja, was heißt direkt?

Zitat:

aber fehlt mir dann beim euler verfahren nicht auch wieder das C.

Das C fehlt nicht, dass lasse ich unbestimmt. Ich löse einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1=\int_{0}^1n(x)dx+C \end{eqnarray*}$ , wobei der Wert des Integrals natürlich von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ abhängt.

Der wesentliche Punkt ist, dass ich dass auch machen könnte, wenn ich die Differentialgleichung nicht lösen könnte.

-------

Übrigens ist die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} C_1e^x-C \end{eqnarray*}$ . Das, was du angeben hast, stimmt glaube ich nicht.
Das Randwertproblem besitzt daher nur für $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{e-1} \end{eqnarray*}$ eine Lösung.
Oder muss $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gar nicht konstant sein?

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