Injektivität bei Kompositionen

13.10.2010, 20:46

Stephan1989

Injektivität bei Kompositionen

Meine Frage:
Hallo,

habe heute in der Mathe Vorlesung die Injektivität kennen gelernt, und auch gleich einige Aufgaben dazu aufbekommen.

Aufgabenstellung:
Seien A,B und C Mengen und g:A->B und f:B->C Abbildungen. Beweisen oder widerlegen sie folgende Aussagen:

a) Sind f und g injektiv, so ist auch f o g injektiv.
b) Ist f o g injektiv, so ist auch f injektiv.
c) Ist f o g injektiv, so ist auch g injektiv.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich mir die Definitionen von Injektivität angeschaut. Injektivität besagt ja, dass $\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a') \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich die einzelnen Fragestellungen ja irgendwie mit dieser Definition beweisen, weiss aber nicht so recht wie man da rangehen soll.
Habe dann mit Hilfe der Vorlesungsfolien versucht das zu beweisen.

a)

Wenn f o g injektiv ist muss ja die Vorraussetzung
$\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a') \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$ erfüllt sein.
f o g ist ja anders ausgeschrieben f(g(a)). Mit der Vorraussetzung ist also f(g(a))=f(g(a')). Da f injektiv ist gilt: g(a) = g(a') und da g injektiv ist gilt a=a', somit ist die Vorraussetzung erfüllt, wenn f und g injektiv sind.

Kann man das auf diesem Weg beweisen, und wäre das Formal auch okay so? Hatte erst eine Mathe Vorlesung und deswegen kenn ich mich mit der Formalen Schreibweise nicht so aus.

b)

f o g ist injektiv, das bedeutet, dass f(g(a))=f(g(a')) sein muss.
Also muss ja dann auch g(a)=g(a'), was ja die Vorraussetzung für die injektivität für f wäre. Also wäre das ja eigentlich auch schon bewiesen.

c)

müsste ja eigentlich genau wie die nr b) gehen, nur das man noch dazu schreibt, dass aus g(a)=g(a') folgt, dass a=a' ist. Womit ja die Vorraussetzung für die injektivität von g erfüllt wäre.

Das hab ich halt nach längerem überlegen und Lesen der Vorlesungsfolien zustande gebracht. Kann man das so beweisen, oder habe ich die injektivität noch nicht richtig begriffen?

Wäre sehr dankbar für Antworten^^

Mfg Stephan

14.10.2010, 02:45

Mulder

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RE: Injektivität bei Kompositionen

Zitat:

Original von Stephan1989
a) [...]
Kann man das auf diesem Weg beweisen, und wäre das Formal auch okay so? Hatte erst eine Mathe Vorlesung und deswegen kenn ich mich mit der Formalen Schreibweise nicht so aus.

Deine Beweisidee ist richtig. Einige Formulierungen sind etwas unsauber. Vielleicht schreibe ich mal deinen Beweis so, wie ich ihn formulieren würde. Dann hast du einen Vergleich. Auch die Voraussetzungen (mit einem "r" in der Mitte!) musst du erstmal sauber hinschreiben.

Seien $\begin{eqnarray*} g: A \to B \, \, , \, \, f: B \to C \end{eqnarray*}$ injektiv. Behauptung: Dann ist auch $\begin{eqnarray*} (f \circ g): A \to C \end{eqnarray*}$ injektiv.

Beweis: Seien $\begin{eqnarray*} a, a' \in A \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(g(a)) = f(g(a')) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, folgt $\begin{eqnarray*} g(a) = g(a') \end{eqnarray*}$ . Und da auch g injektiv ist, folgt damit $\begin{eqnarray*} a = a' \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Stephan1989
b)

f o g ist injektiv, das bedeutet, dass f(g(a))=f(g(a')) sein muss.
Also muss ja dann auch g(a)=g(a'), was ja die Vorraussetzung für die injektivität für f wäre. Also wäre das ja eigentlich auch schon bewiesen.

Betrachte mal die Abbildungen

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R_+ \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto \sqrt{x} \quad , \quad f: \mathbb R \to \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv? Was kannst du über $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ sagen?

Zitat:

Original von Stephan1989
c)

müsste ja eigentlich genau wie die nr b) gehen, nur das man noch dazu schreibt, dass aus g(a)=g(a') folgt, dass a=a' ist. Womit ja die Vorraussetzung für die injektivität von g erfüllt wäre.

Da kann ich jetzt nicht folgen. Aber deine Gedanken bei b) sind auch nicht richtig. Aussage c) ist zwar richtig, aber versuche mal, das auch formal sauber zu beweisen. Auch das formale muss man ja üben. Vielleicht hast du die richtige Idee ja auch schon.

14.10.2010, 15:52

Stephan1989

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RE: Injektivität bei Kompositionen
Hey,

Danke schonmal für die Antwort. Habe mir jetzt nochmal Gedanken zu den Aufgaben gemacht.
Aufgabe b) habe ich jetzt mit Hilfe deiner Hinweise per Gegenbeispiel gelöst.

Voraussetzung:
Sei g: A -> B , f: B -> C wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R_+ \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto \sqrt{x} \quad , \quad f: \mathbb R \to \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist g injektiv, und f nicht injektiv (weil man z.B von -2 und 2 auf 4 kommt).

Beweis:
Sei h :- $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ also h = f(g(x)) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\sqrt{x} \right)^{2} , x \mapsto x \end{eqnarray*}$

Also ist f o g bijektiv ( also auch injektiv), aber f nicht.

q.e.d

bei der Aufgabe c) habe ich immer noch ein paar Probleme gehabt. Habe nochmal probiert es formal aufzuschreiben.

Voraussetzung:
Sei $\begin{eqnarray*} (f \circ g): A \to C \end{eqnarray*}$ injektiv.

Behauptung:
Dann ist auch g injektiv.

Beweis:
Da $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ injektiv ist folgt:
$\begin{eqnarray*} a, a' \in A \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(g(a)) = f(g(a')) \Rightarrow g(a)=g(a') \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ .
somit folgt, dass g injektiv ist, weil
$\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(a)=g(a') \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$ .

q.e.d

Bin mit der c) irgendwie nicht zufrieden weil ich glaub, dass ich da noch irgendwas nicht richtig verstanden habe.

Mfg Stephan

14.10.2010, 17:10

Mulder

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RE: Injektivität bei Kompositionen

Zitat:

Original von Stephan1989
Beweis:
Sei h :- $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ also h = f(g(x)) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\sqrt{x} \right)^{2} , x \mapsto x \end{eqnarray*}$

Also ist f o g bijektiv ( also auch injektiv), aber f nicht.

q.e.d

Was genau machst du überhaupt? Warum ist (f o g) injektiv? Beachte den Definitionsbereich von (f o g), den hast du nicht erwähnt. Von wo nach wo bildet (fog) ab? Da steht jetzt irgendwie ein Folgepfeil mittendrin, der da nichts zu suchen hat, danach irgendeine halbe Zuordnungsvorschrift... so ist es noch nicht ganz in Ordnung. Und hier reicht es auch einfach, zu schreiben "Annahme: Die Behauptung ist unwahr". -> Gegenbeispiel aufzeigen -> Fertig.

Zitat:

Original von Stephan1989
Voraussetzung:
Sei $\begin{eqnarray*} (f \circ g): A \to C \end{eqnarray*}$ injektiv.

Behauptung:
Dann ist auch g injektiv.

Beweis:
Da $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ injektiv ist folgt:
$\begin{eqnarray*} a, a' \in A \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(g(a)) = f(g(a')) \Rightarrow g(a)=g(a') \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ .
somit folgt, dass g injektiv ist, weil
$\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(a)=g(a') \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$ .

q.e.d

Dieser Beweis ist unbrauchbar. Wenn du annimmst, dass $\begin{eqnarray*} f(g(a))=f(g(a')) \end{eqnarray*}$ ist, kannst du daraus nicht einfach so folgern, dass $\begin{eqnarray*} g(a)=g(a') \end{eqnarray*}$ ist. Es ist ja gar nicht verlangt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Nur die Komposition ist injektiv nach Voraussetzung. In der b) haben wir ja sogar schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann gar nicht zwingend injektiv sein muss.

Hier bietet sich ein kleiner Widerspruchsbeweis an. Nimm an, $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ sei injektiv, aber $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht. Führe dies zum Widerspruch.

14.10.2010, 19:15

Stephan1989

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RE: Injektivität bei Kompositionen
habe jetzt nochmal die ganze Zeit an der b) überlegt.

Die Abbildung von g o f ist ja A->C
und g o f ist umgeschrieben ja g(f(x)). Davon will ich ja die injektivität jetzt zeigen.

Aber wie zeigt man die injektivität überhaupt formal?
Die Definition kenn ich ja aber weiss nicht so wirklich wie mich die da weiterbringt.

Hatte das versucht indem ich die Funktionen g und f eingesetzt habe, so dass ich das $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{x} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$ , also x rauskam. Wollte halt das h(x) als neue Funktion definieren, die das selbe ist wie g o f, also h(x) = x. Dann würde ja egal was man fürn x einsetzt auch wieder das selbe rauskommen und es wäre ja injektiv, weil jedes Element aus dem Definitionsbereich auf maximal ein Element des Bildbereiches zeigt.

14.10.2010, 22:17

Mulder

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RE: Injektivität bei Kompositionen
Sorry, ich war unterwegs. Also zur b nochmal: Man zeigt Injektivität genau so, wie du das eigentlich schon gemacht hast: Wenn f(a)=f(a') ist, dann zeigt man eben, dass dann schon a=a' gelten muss. Oder man nennt ein konkretes Gegenbeispiel, wenn dem nicht so ist (auch das hattest du oben für x² ja schon gemacht). Im Grunde istr auch nicht mehr viel zu tun. Entscheidend bei der b) ist, dass für die Komposition gilt:

$\begin{eqnarray*} (f \circ g): \mathbb R_+ \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto (\sqrt{x})^2 = x \end{eqnarray*}$

Und damit ist die Komposition injektiv, weil wir eben als Definitionsbereich nur $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ haben, während wir für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Definitionsbereich ja ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zugelassen hatten, damit war $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ja nicht mehr injektiv. Im Grunde hattest du das schon (nehme ich an), ich wollte von dir eben das mit dem Definitionsbereich hören. Das ist ja entscheidend an dieser Stelle.

Alle Klarheiten beseitigt? Wie weit bist du bei der c) denn schon gekommen?

14.10.2010, 23:46

Stephan1989

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RE: Injektivität bei Kompositionen
Hey,

bei der c) hab ich versucht das eigentlich analog zur b) zu machen.
Wie du vorgeschlagen hast hab ich da versucht nen Widerspruch zu finden, indem ich sage, dass f o g injektiv, aber g nicht ist.

Voraussetzung:
Sei g: A -> B , f: B -> C wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R_+ \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto \sqrt{x} \quad , \quad g: \mathbb R \to \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ .

Also:
$\begin{eqnarray*} (f \circ g): \mathbb R \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto (\sqrt{x^{2}}) = x \end{eqnarray*}$

Da es von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht ist die Komposition ja dann auch in diesem Beispiel injektiv und g ist nicht injektiv.

Also wäre auch c) widerlegt.

Wäre das so richtig oder habe ich wieder irgendwas durcheinander geworfen?
Und kann man das auch Beweisen ohne diese festen Beispiele für g und f zu nehmen oder ist das noch komplizierter?

15.10.2010, 00:59

Mulder

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RE: Injektivität bei Kompositionen

Zitat:

Original von Stephan1989
Voraussetzung:
Sei g: A -> B , f: B -> C wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R_+ \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto \sqrt{x} \quad , \quad g: \mathbb R \to \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ .

Also:
$\begin{eqnarray*} (f \circ g): \mathbb R \to \mathbb R \, \, , \, \, x \mapsto (\sqrt{x^{2}}) = x \end{eqnarray*}$

Da es von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht ist die Komposition ja dann auch in diesem Beispiel injektiv und g ist nicht injektiv.

Also wäre auch c) widerlegt.

Leider haut das so nicht hin. Denn in diesem Fall ist ja (f o g) gar nicht injektiv. Denn es wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(-2)= \sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2 = (f \circ g)(2) \end{eqnarray*}$

um nur mal ein Beispiel zu nennen.

Du musst da aufpassen. Bei der b) hatten wir nur positive x betrachtet, da ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=(\sqrt{x})^2=x \end{eqnarray*}$ . Aber wenn auch negative x zugelassen sind (was hier eben der Fall ist), dann muss man aufpassen.

Ich hatte ja oben extra schon gesagt, dass Aussage c) richtig ist, das hast du wohl überlesen. Lies nochmal meinen letzten Beitrag, da habe ich einen Hinweis auf einen Widerspruchsbeweis dazu gegeben.

15.10.2010, 02:37

Stephan1989

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RE: Injektivität bei Kompositionen
Hab jetzt nochmal alles mögliche rumprobiert aber irgendwo hab ich wohl noch Denkfehler.

Oben hattest du ja mal geschrieben, dass man beim injektiven f o g,
also f(g(a))=f(g(a')) nicht schliessen kann, dass g(a)=g(a') sein muss. Dann kann man also auch nicht drauf schliessen das a=a' sein muss oder?.

Weil wenn man dadrauf schliessen kann, könnte man das ja so machen:
Sei g keine injektive Funktion. Dann folgt aus g(a)=g(a') nicht zwingend a=a'.
da f o g injektiv ist, muss aber $\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \ aus \ f(g(a))=f(g(a')) \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$ gelten, was ja ein Widerspruch wäre.

15.10.2010, 03:58

Mulder

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RE: Injektivität bei Kompositionen

Zitat:

Original von Stephan1989
Hab jetzt nochmal alles mögliche rumprobiert aber irgendwo hab ich wohl noch Denkfehler.

Oben hattest du ja mal geschrieben, dass man beim injektiven f o g,
also f(g(a))=f(g(a')) nicht schliessen kann, dass g(a)=g(a') sein muss. Dann kann man also auch nicht drauf schliessen das a=a' sein muss oder?.

Doch, kann man. Denn $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ ist ja injektiv. Das heißt, wenn $\begin{eqnarray*} f(g(a))=f(g(a')) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ . Wichtig ist, in welcher Reihenfolge du was folgerst. Du darfst allein aus $\begin{eqnarray*} (f(g(a))=f(g(a')) \end{eqnarray*}$ zwar folgern, dass $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ ist. Aber eben nicht, dass $\begin{eqnarray*} g(a)=g(a') \end{eqnarray*}$ ist. Denn über $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ weißt du ja zunächst nichts. Das kommt erst im Schritt danach. Das ist hier ziemlicher Kleinkram, aber gewöhn dich dran; so ist das in der Mathematik.

Zitat:

Original von Stephan1989
Weil wenn man dadrauf schliessen kann, könnte man das ja so machen:
Sei g keine injektive Funktion. Dann folgt aus g(a)=g(a') nicht zwingend a=a'.
da f o g injektiv ist, muss aber $\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A \ aus \ f(g(a))=f(g(a')) \Rightarrow a=a' \end{eqnarray*}$ gelten, was ja ein Widerspruch wäre.

Das ist genau die richtige Idee dahinter. Freude

Wenn g nicht injektiv wäre, gäbe es $\begin{eqnarray*} a,a' \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(a) =g(a') \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} a \neq a' \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} g(a) =g(a') \end{eqnarray*}$ folgt ganz sicher auch $\begin{eqnarray*} f(g(a))=f(g(a')) \end{eqnarray*}$ (denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet zwei gleiche Elemente des Definitionsbereichs ja auch sicher auf das gleiche Bild ab) und damit wegen der Injektivität von $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ , was aber im Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \neq a' \end{eqnarray*}$ steht. Also muss $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv sein, wenn $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Fertig.

15.10.2010, 20:38

Stephan1989

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RE: Injektivität bei Kompositionen
Ah okay cool.
Danke für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen.
Fällt mir halt noch sehr schwer die richtigen Ansätze und Lösungswege für Beweise zu finden, aber denke mal das ist alles Übungssache Big Laugh

werd mich am besten gleich mal auf die nächsten Beweise stürzen um das ganze weiter zu üben.

Mfg Stephan

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