Zeige durch Induktion die Formel

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11.11.2006, 01:43	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige durch Induktion die Formel Zeige für $\begin{eqnarray} \alpha \in R \end{eqnarray}$ durch Induktion die Formel: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} \alpha + k \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha + n +1 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So wie die Formel dasteht kann ich ja keine Induktion machen, aufgrund von k und n in den Klammern. Wenn ich jetzt sage: n+1 = k , daraus würde ja folgen dass n = k-1 ist und dann die Induktion durchführen würde müsste ich doch auf das richtige Ergebniss oder? Oder habe ich da einen Denkfehler drin? Kann ich diese Behauptung einfach so aufstellen oder muss ich diese noch irgendwie beweisen? Eine weitere Meinung würde mir sehr helfen. Danke
11.11.2006, 02:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
k ist der summenindex! der fängt bei 0 an und läuft bis n, er ist also nicht variabel. du zeigst die aussage per induktion nach n. mfG 20
11.11.2006, 02:32	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja da hast du recht, hab die Aufgabe falsch gelesen, schon klar dass k nicht variabel ist! Aber mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kann man ja nichts anfangen,ich zumindest nicht, der steht ein bisschen blöd da,finde ich. ich wäre jetzt so vorgegangen, weiß aber nicht ob das möglich ist. wenn k = n + 1 dann n = k - 1 wenn $\begin{eqnarray} \alpha + k \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \alpha + n + 1 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = n + 1 - k daraus folgt dass: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = k - k und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = n + 1 - n - 1 wäre das richtig und eine Möglichkeit? Danach könnte man dann die Induktion durchführen und hätte nur noch n und k als Variablen.
11.11.2006, 11:05	baal	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist eine beliebige, aber fixe reelle Zahl. Wie $\begin{eqnarray} {\alpha \choose k}, \alpha \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ definiert ist, findest Du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient (ganz unten)
11.11.2006, 14:37	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ich hab mir das nun angeschaut. Es gibt also 2 Fälle: eine für $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} k<0 \end{eqnarray}$ Ich versteh aber noch immer nicht wie ich das nun machen soll. Ich will ja bei der Induktion für n n+1 einsetzten und die Formel somit beweisen. Wie mach ich das aber? Die 3 verschiedenen Variablen hindern mich noch daran, Kann mir das jemand mal genauer erkären wie ich das machen kann?
11.11.2006, 16:37	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner da der mir helfen kann?
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11.11.2006, 18:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte $\begin{eqnarray} k<0 \end{eqnarray}$ sein?? $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist nur eine Laufvariable. Du kannst die Gleichung auch ohne $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ schreiben: $\begin{eqnarray} {\alpha\choose 0}+{\alpha+1\choose 1}+\ldots+{\alpha+n-1\choose n-1}+{\alpha+n\choose n}={\alpha+n+1\choose n} \end{eqnarray}$ . Dann siehst du auch, dass das, was du in deinem zweiten Post fabriziert hast, irgendwie murks ist ... Also, die Gleichung da oben sollst du beweisen. Zunächst brauchst du einen Induktionsanfang, den solltest du selbst noch hinbekommen. Zum Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Gleichung oben für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt (Induktionsvoraussetzung). Wir wollen jetzt beweisen, dass dann auch $\begin{eqnarray} {\alpha\choose 0}+{\alpha+1\choose 1}+\ldots+{\alpha+n\choose n}+{\alpha+n+1\choose n+1}={\alpha+n+2\choose n+1} \end{eqnarray}$ richtig ist. Dazu formen wir zunächst um: $\begin{eqnarray} {\alpha\choose 0}+{\alpha+1\choose 1}+\ldots+{\alpha+n\choose n}+{\alpha+n+1\choose n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left[{\alpha\choose 0}+{\alpha+1\choose 1}+\ldots+{\alpha+n\choose n}\right]+{\alpha+n+1\choose n+1} \end{eqnarray}$ . Auf die Klammer kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden! Gruß MSS
12.11.2006, 21:11	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand beim Induktionsanfang helfen? Den bekomme ich nicht hin, weiß nicht wie der hier funktioniert. Der Rest dürfte kein Problem sein. Danke
12.11.2006, 21:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Induktionsanfang musst du zeigen: $\begin{eqnarray} {\alpha\choose 0}={\alpha+1\choose 0} \end{eqnarray}$ . Wie ist denn der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray} {x\choose k} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} {x\choose 0} \end{eqnarray}$ , definiert? Gruß MSS edit: Zeig vielleicht mal, wie du den Induktionsschritt machst. Wäre eine Möglichkeit zur Kontrolle für dich.
12.11.2006, 21:33	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} {x\choose 0} \end{eqnarray}$ wär er ja mit 1 definiert. Das Problem das sich stellt ist ja dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha + 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein soll! Wie kann das gehen?
12.11.2006, 21:44	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} {x\choose 0}=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert ist, was ist denn dann $\begin{eqnarray} {\alpha\choose 0} \end{eqnarray}$ ? Gruß MSS
12.11.2006, 22:15	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
muss dann wohl auch 1 sein
12.11.2006, 22:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist dann $\begin{eqnarray} {\alpha+1\choose 0} \end{eqnarray}$ ? Gruß MSS
12.11.2006, 22:28	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist dann 2
12.11.2006, 22:29	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
und demnach können die beiden Ausdrücke nicht gleich sein oder wie soll das gehen?
12.11.2006, 22:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum ist das $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ? Gruß MSS
12.11.2006, 22:57	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin davon ausgegangen dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1 ist und dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch 1 ist und beides addiert 2 ergibt! Stimmt aber nicht. Da $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aber 1 ist so heißt es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was 1 ergibt! Stimmt doch so oder?
12.11.2006, 23:40	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir das jemand bestätigen? Und muss ich dann k=n setzen damit es stimmt richtig? am Induktionsschluß hab ich dann auch stehen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}~ \begin{pmatrix} \alpha + n+1 \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + n+2 \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n+1 + \begin{pmatrix} \alpha + n+1 \\ n+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + n+2 \\ n+1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich das so stehen lassen damit der Beweis abgeschlossen ist?
12.11.2006, 23:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast also den Fehler $\begin{eqnarray} {\alpha +1\choose 0}={\alpha\choose 0}+{1\choose 0} \end{eqnarray}$ gemacht! Das gilt für Binomialkoeffizienten natürlich nicht. Da $\begin{eqnarray} {x\choose 0}=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt, stimmt das natürlich auch für $\begin{eqnarray} x=\alpha+1 \end{eqnarray}$ . Was du beim Induktionsschluss stehen hast, ist vollkommen falsch. 1. sind die Formeln verunstaltet, 2. ist es wahrscheinlich inhaltlich auch falsch. Gruß MSS
13.11.2006, 00:08	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe in der Formel in meinem letzeten post einige Fehler bei editieren gemacht! Kannst du es nochmal anschauen? Ich habe es jetzt nochmal auf eine andere Weise geschrieben! Was meinst du? $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n}~ \begin{pmatrix} \alpha + k \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + n+1 \\ n+1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha + n+2 \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha + n+1 \\ n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha + n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + n+2 \\ n+1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ k=n als Induktionsoraussetzung
13.11.2006, 00:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt musst du noch begründen, dass $\begin{eqnarray} {\alpha+n+1\choose n}+{\alpha+n+1\choose n+1}={\alpha+n+2\choose n+1} \end{eqnarray}$ gilt! Gruß MSS
13.11.2006, 00:36	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich dazu jetzt für die Variablen Zahlen einsetzen oder kann man die Gleichung noch irgendwie umformen damit sie gleich aussehen? Wenn ja wie?Ich sitz nämlich da überlege wie ich das machen könnte und ob es überhaupt geht! Vllt gibt es auch eine Regel dafür die ich nicht kenne?!
13.11.2006, 00:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt die Formel $\begin{eqnarray} {x\choose k}+{x\choose k+1}={x+1\choose k+1} \end{eqnarray}$ . Habt ihr die vielleicht schon bewiesen oder selbst beweisen müssen? Gruß MSS
13.11.2006, 01:01	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bewiesen wurde ist: $\begin{eqnarray} {x\choose k}+{x\choose k-1}={x+1\choose k} \end{eqnarray}$
13.11.2006, 01:05	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber durch deine Vorgabe wird es ja bewiesen!!! Dann wäre die Induktion ja fertig und die Aufgabe gelöst!!!! Danke für deine Hilfe

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