Beweis

14.10.2010, 22:15

Lockenmatte

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Beweis

Meine Frage:
Aufgabenstellung lautet: zeige für alle n aus N:\sum\limits_{i=1}^n i^{4} gleich n hoch 5 geteilt durch 5 plus n hoch4 geteilt durch2 plus n hoch3 geteilt durch 3 minus n durch 30 kann das leider nicht anders schreiben.

Meine Ideen:
meine Idee : beweis durch Induktion. bei n = 1 klappt es auch noch. dann wollte ich mal n = 2 nehmen und dann klappt es schon nicht mehr?! 16 = 17 ?Was hab ich denn da für einen Fehler gemacht. Bevor ich jetzt mit (n+1) weiter mache, wollte ich sichergehen, dass ich den Fehler mit der 2 behebe.

14.10.2010, 22:38

lgrizu

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RE: Beweis
du sollst zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \end{eqnarray*}$ oder was?

induktion scheint das mittel der wahl, was hast du denn bisher?

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 k^4 \neq 16 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 k^4=17 \end{eqnarray*}$

edit: was du falsch machst kann ich dir nicht sagen, was hast du denn gemacht?

14.10.2010, 22:49

Mulder

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RE: Beweis
Kann es sein, dass Lockenmatte bei der Summe für n=2 den ersten Summanden vergessen hat?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^4 = 1^4+2^4 \end{eqnarray*}$

Wenn man hier die 1^4 vergisst, kommt man auf 16. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2010, 23:00

Lockenmatte

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RE: Beweis
wie schaffst du es, die Aufgbe so schön mit dem Summenzeichen zu schreiben? Das ist schon das erste Problem.....und das zweite, ja ich ahbe den ersten Summanden vergessen! und im moment bin ich glücklich, dass überhaupt noch jemand antwortet. Ich versuche mich gerade an (n+1). Hier fehlt mir wieder die IDEE..der sogenannte Trick

14.10.2010, 23:02

Lockenmatte

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RE: Beweis
ja, ja ich habe tatsächlich den ersten Summanden vergessen, allerdings nicht aus versehen sondern aus unwissenheit....Danke, das war schon mal toll.

14.10.2010, 23:29

Lockenmatte

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RE: Beweis
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \end{eqnarray*}$ o
ja, das soll ich zeigen für alle n aus N
induktion;, hast du noch eine idee, wie es weiter geht?

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14.10.2010, 23:32

lgrizu

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RE: Beweis
du bekommst also den induktionsschluss nicht hin, oder was?

zunächst haben wir:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^4=(n+1)^4+\sum\limits_{k=1}^{n} k^4=_{n.v}\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+(n+1)^4 \end{eqnarray*}$
nun kann man nen bisschen umformen, wo hast du denn genau probleme?

14.10.2010, 23:34

Shortstop

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RE: Beweis

Zitat:

Original von lgrizu
du bekommst also den induktionsschluss nicht hin, oder was?

zunächst haben wir:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^4=(n+1)+\sum\limits_{k=1}^{n} k^4=_{n.v}\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+(n+1) \end{eqnarray*}$
nun kann man nen bisschen umformen, wo hast du denn genau probleme?

Igrizu meinte sicher

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^4=(n+1)^4+\sum\limits_{k=1}^{n} k^4=_{n.v}\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+(n+1)^4 \end{eqnarray*}$

14.10.2010, 23:38

lgrizu

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RE: Beweis
..habe nie was anderes geschrieben... Engel

Engel

14.10.2010, 23:44

Lockenmatte

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RE: Beweis
ja, soweit habe ich es auch. Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wo ich hin muss.
Muss ich hinterher $\begin{eqnarray*} i^{4} = \left(n + 1\right) ^{4} \end{eqnarray*}$ stehen haben?

14.10.2010, 23:50

Lockenmatte

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RE: Beweis
Willkommen

Willkommen

zum Glück blickt hier noch einer durch....danke, ich versuche es weiter mit hoch 4

14.10.2010, 23:51

lgrizu

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RE: Beweis
nein, wenn die induktionsvorraussetzung stimmt solltes du dort stehen haben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^4=\frac{(n+1)^5}{5}+\frac{(n+1)^4}{2}+\frac{(n+1)^3}{3}-\frac{n+1}{30} \end{eqnarray*}$

edit: löse erst mal die binomische formel auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1 \end{eqnarray*}$
das hilft schon mal weiter...

edit 2: ich benutze statt deinem i ein k, kommt aber aufs gleiche raus, einfach alle meine k's durch i's ersetzen....

15.10.2010, 00:09

Lockenmatte

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RE: Beweis
wo muss ich hin?
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^5}{5}+\frac{(n+1)^4}{2}+\frac{(n+1)^3}{3}-\frac{n+1}{30} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+(n+1)^4 \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 00:12

lgrizu

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RE: Beweis
aus der anderen richtung....

schau dir das mal an:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^4=(n+1)^4+\sum\limits_{k=1}^{n} k^4=_{n.v}\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+(n+1)^4<br /> =\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}+n^4+4n^3+6n^2+4n+1<br /> =(\frac{n^5}{5}+n^4+2n^3+2n^2+n+\frac{1}{5})+(\frac{n^4}{2}+2n^3+3n^2+2n+\frac{1}{2})+\frac{n^3}{3}+n^2+n+\frac{1}{3}-\frac{n}{30}-\frac{1}{30} \end{eqnarray*}$

....dämmerts?

edit: ich gehe jetzt schlafen, wenn du noch fragen hast beantworte entweder ich die morgen oder jemand anderes, der noch wacher ist als ich widmet sich heut noch der aufgabe.
prinzipiell liegt aber schon fast ne komplettlösung vor deinem auge....

15.10.2010, 00:20

Lockenmatte

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RE: Beweis
danke ,mathe gott. schlaf gut. mir dämmerts, aber auch weil ich ebenso müde bin.

15.10.2010, 21:10

Lockenmatte

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RE: Beweis
ja, Pascal´sches Dreieck......
alles klar - danke

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