Der Restklassenring modulo 2, Beweis, dass Körper

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15.10.2010, 17:48	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Restklassenring modulo 2, Beweis, dass Körper Meine Frage: Ich habe die Menge F2 = {0,1} und soll beweisen, dass ein Körper gegeben ist. Meine Ideen: Für Addition gilt dann: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 1 + 1 = 2 = 0 (wegen modulo 2) Für Multiplikation gilt dann: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Muss ich jetzt für jede Zeile alle Körperaxiome (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, neutrales Element, inverses Element, usw.) zeigen?
15.10.2010, 18:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt für jede Zeile? Du musst halt die Rechengesetze sowie die Existenz von neutralen und inversen Elementen nachweisen. Das ist in diesem Beispiel aber nicht sehr schwer. Die Rechengesetze kannst du allerdings aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ übernehmen, falls du wie angedeutet wirklich schon benutzen darfst, dass dies der Restklassenring modulo 2, also $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Denn dann gilt ja bekanntlich $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2\mathbb Z \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} 2 \| b-a \end{eqnarray}$ gilt. Allerdings ist das fast aufwendiger als die Rechengesetze für die wenigen Fälle, die es hier nur gibt, zu zeigen.
15.10.2010, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und noch viel mehr. Distributivität nicht vergessen. Für je drei Element gilt a(b+c)=ab+a*c .
16.10.2010, 10:49	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, man hat ja folgende Regeln gegeben: Für Addition: $\begin{eqnarray} K1) (x + y) + z = x + (y + z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K2) x + y = y + x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K3) x + 0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K4) x + (-x) = 0 \end{eqnarray}$ Für Multiplikation: $\begin{eqnarray} K5) x \cdot (y \cdot z) = (x\cdot y)\cdot z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K6) x \cdot y = y\cdot x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K7) 1 \cdot x = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K8) x \cdot \frac{1}{x} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K9) x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z \end{eqnarray}$ Und mit jeder Zeile meinte ich, ob ich für jede Verknüpfung die Axiome der Addition bzw. Multiplikation nachweisen muss. Wie gehe ich weiter vor, setze ich x=1 und für y=0? Und was mache ich mit z?
16.10.2010, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach sind die Axiome nicht definiert, es genügt nicht, ein Beispiel anzugeben. Viemehr geht es darum, dass solche Aussagen stets für alle Elemente der Menge gelten. Zum Beispiel das Kommutativgesetz der Addition heisst: Für alle Elemente a,b eines Körpers gilt a+b=b+a. Hier in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ also 0+0=0+0 , 0+1=1+0 , 1+0=0+1 , 1+1=1+1 Die Existenz eines neutralen Elements beweist man im allgemeinen dadurch, dass man ein neutrales Element findet und dann zeigt, dass es neutral für alle Elemente der Menge ist. Dann muss man zu jedem Element x der Menge ein inverses Element angeben, dieses nennt man dann -x bzw 1/x.
16.10.2010, 12:12	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, das muss ich erstmal verdauen, also du hast es ja für K2) gezeigt, ich hätte hier dann: K1) (0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0) (0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0) (1 + 1) + 0 = 1 + (1 + 0) K3) (0 + 0) + 0 = 0 (0 + 1) + 0 = 1 (1 + 1) + 0 = 0 K4) (0 + 0) + (-(0 + 0)) = 0 (0 + 1) + (-(0 + 1)) = 0 (1 + 1) + (-(1 + 1)) = 0 für die Addition. So ungefähr?
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16.10.2010, 12:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man beachte, dass es $\begin{eqnarray} 2^3=8 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten für $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ gibt, also müsstest du das Assoziativgesetz so auch für alle 8 Fälle zeigen. Man macht es sich aber einfacher: Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} a+(b+c)=(a+b)+c \end{eqnarray}$ Ist a = 0, so ist die Gleichung äquivalent zu b+c=b+c, also wahr. Ist b = 0, so ist die Gleichung äquivlalent zu a+c=a+c, also wahr. Ist c = 0, so ist die Gleichung äquivlalent zu a+b=a+b also wahr. Bleibt noch der Fall, dass a=b=c=1 gilt, dann ergibt sich 1=1. Die 4 genannten Fälle sind zwar nicht disjunkt, aber vollständig, das heißt alle 8 Möglichkeiten werden abgedeckt, manche halt doppelt und dreifach. Aber das macht ja nix.
16.10.2010, 13:06	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre der 4. Fall noch: K2) (1 + 0) + 0 = 1 + (0 + 0) K3) (1 + 0) + 0 = 1 K4) (1 + 0) + (-(1 + 0)) = 0 und ich hätte 16 Fälle. Jetzt zur Multiplikation: K5) (0 * 0) * 0 = 0 * (0 * 0) (0 * 1) * 0 = 0 * (1 * 0) (1 * 0) * 0 = 1 * (0 * 0) (1 * 1) * 0 = 1 * (1 * 0) K6) 0 * 0 = 0 * 0 1 * 0 = 0 * 1 0 * 1 = 1 * 0 1 * 1 = 1 * 1 K7) 1 * (0 * 0) = 0 1 * (0 * 1) = 0 1 * (1 * 0) = 0 1 * (1 * 1) = 1 K8) 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * (-1) = 0 K9) x * (y + z) = xy + xz 0 * (0 + 0) = 0 * 0 + 0 * 0 0 * (0 + 1) = 0 * 0 + 0 * 1 0 * (1 + 0) = 0 * 1 + 0 * 0 0 * (1 + 1) = 0 * 1 + 0 * 1 oder besser(?) 1 * (0 + 0) = 1 * 0 + 1 * 0 1 * (0 + 1) = 1 * 0 + 1 * 1 1 * (1 + 0) = 1 * 1 + 1 * 0 1 * (1 + 1) = 1 * 1 + 1 * 1 = 2 = 0 wobei ich nicht weiß, wie ich mit K8) umgehen soll...
16.10.2010, 13:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kommen wir dem Problem ganz langsam näher. Du hast schon verstanden, dass alle Rechenregeln für alle Elemente der Menge gelten müssen, und damit ist das selbst in einem so winzigen Körper mit zwei Elementen schon eine beachtliche Aufgabe. Ich habe in meinem obigen Beitrag nur auf das Problem hingewiesen, bewiesen habe ich nichts, genauso hast du bisher nur Behauptungen aufgestellt, die Beweise fehlen noch. z.B. könnte ein Beweis so aussehen : K6) 0=00=00=0 0=10=01=0 0=01=10=0 1=11=11=1 Tipp zu K7) und K8): 1 ist das multiplikative neutrale Element und das multiplikative Inverse von 1, denn 1*1=1
16.10.2010, 14:04	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich beweise, wäre die Multiplikation(Addition analog): K5) 0 = (0 * 0) * 0 = 0 * (0 * 0) = 0 0 = (0 * 1) * 0 = 0 * (1 * 0) = 0 0 = (1 * 0) * 0 = 1 * (0 * 0) = 0 0 = (1 * 1) * 0 = 1 * (1 * 0) = 0 K6) 0 = 0 * 0 = 0 * 0 = 0 0 = 1 * 0 = 0 * 1 = 0 0 = 0 * 1 = 1 * 0 = 0 1 = 1 * 1 = 1 * 1 = 1 K7) 0 = 1 * (0 * 0) = 0 0 = 1 * (0 * 1) = 0 0 = 1 * (1 * 0) = 0 1 = 1 * (1 * 1) = 1 K8) 1 = 0 * 0 * ? = 1 1 = 0 * 1 * ? = 1 1 = 1 * 0 * ? = 1 1 = 1 * 1 * (1) = 1 K9) 0 = 0 * (0 + 0) = 0 * 0 + 0 * 0 = 0 0 = 0 * (0 + 1) = 0 * 0 + 0 * 1 = 0 0 = 0 * (1 + 0) = 0 * 1 + 0 * 0 = 0 0 = 0 * (1 + 1) = 0 * 1 + 0 * 1 = 0 aber gibt es bei K8) zu 0 ein Inverses? Ich meine das Inverse muss doch ungleich 0 sein oder nicht? Sorry, ich stehe gerade aufn Schlauch
16.10.2010, 14:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
DURCH 0 KANN MAN NICHT DIVIDIEREN !!!
16.10.2010, 14:22	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass ist ja ein Grundsatz, aber wie soll ich K8) sonst darstellen?
16.10.2010, 14:23	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, das ist ja ein Grundsatz, aber wie soll ich K8) sonst darstellen?
16.10.2010, 14:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich schon vollständig getan, denn K8) gilt selbstverständlich für die Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \backslash \{0\} \end{eqnarray}$ , denn durch 0 kann man nicht dividieren.
16.10.2010, 14:40	Fiddi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so! Ich dachte schon, wie soll ich das nur hinbekommen... 1000x Danke, hast mir wirklich geholfen!
16.10.2010, 15:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Bei einem Körper mit 2 Elementen hat man die additive Gruppe {0,1} und die multiplikative Gruppe {1}. Daher sind die Gesetze der Multiplikation nur für dieses eine Element zu zeigen, was die Beweise wiederum sehr einfach macht. Distributivgesetz gilt natürlich für 0 und 1.
04.04.2016, 19:35	PerfectDay11	Auf diesen Beitrag antworten »
K3 falsch Bei K3 liegt eingangs wohl ein Tippfehler vor. Das Nullelement ändert ja nichts, insofern kann das Ergebnis nicht 0 sein ;-)
05.04.2016, 13:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: K3 falsch yo, wenn du das erste K3 meinst. Tippfehler muss man aber eigentlich nicht groß kommentieren, zumal wenn sie 6 Jahre zurück liegen. Kommentare zu Tippfehlern muss man allerdings auch nicht kommentieren, erst recht nicht, wenn der Tippfehler 6 Jahre zurück liegt.

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