(Z/pZ)^* zyklisch

Neue Frage »

15.10.2010, 22:46	sebi_	Auf diesen Beitrag antworten »
*(Z/pZ)^ zyklisch** Hallo. Ich habe folgendes Problem zu lösen: "Betrachte für eine für eine Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ den Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z /p \mathbb Z \end{eqnarray}$ und zeige, dass die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z /p \mathbb Z )^\times \end{eqnarray}$ eine zyklische Gruppe ist." Das einzige, was ich weiß, ist, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z /p \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein (endlicher) Körper ist und daher jedes Element außer 0 eine Einheit ist, d.h. es existieren $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ Einheiten, also hat die Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z /p \mathbb Z )^\times \end{eqnarray}$ die Ordnung $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ . Ich hab irgendwo gelesen, dass die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z /p \mathbb Z )^\times \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Aber wieso ist das so? Wieso kann man jedes Element dieser Einheitengruppe als Potenz der Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ schreiben? Ich würde mich auf Antworten freue. Viele Grüße, Sebi
16.10.2010, 11:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch $\begin{eqnarray} p \notin (\mathbb Z / p\mathbb Z)^ \end{eqnarray}$ , also kann p die Einheitengruppe auch nicht erzeugen. Was du zeigen musst, ist, dass es mind. eine Zahl gibt, die in $\begin{eqnarray} (\mathbb Z / p\mathbb Z)^* \end{eqnarray}$ die Ordnung p-1 hat. Das könntest du z.b. tun, indem du folgende Aussagen zeigst: 1. Sei d ein Teiler von p-1. Dann gibt es genau $\begin{eqnarray} \varphi(d) \end{eqnarray}$ Elemente der Ordnung d. 2. $\begin{eqnarray} \sum_{d \| p-1} \varphi(d) = p-1 \end{eqnarray*}$ Das müsstest du dann noch zum endgültigen Beweis zusammenbasteln. Die Frage ist natürlich, was du schon alles kennst und benutzen darfst, denn sonst können diese Beweise auch sehr aufwendig sein.
16.10.2010, 12:43	sebi_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die rasche Antwort. Ich habe nur Kenntnisse aus der Linearen Algebra. Ich verstehe die beiden Punkte nicht, die du aufgeführt hast, da ich nicht mal weiß, was $\begin{eqnarray} \varphi (d) \end{eqnarray}$ ist. Gibt es denn keine Möglichkeit, das ganz "elementar" zu zeigen? Viele Grüße, sebi
16.10.2010, 13:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
So ganz ohne die Eulersche Phi-Funktion sollte es schwer werden. Was weißt du denn schon über Gruppentheorie? Das kann doch nicht deine erste Aufgabe zu diesem Thema sein?
16.10.2010, 13:24	sebi_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe elementare Kenntnisse aus der Gruppentheorie. Ich weiß z. B., was eine Ordnung eines Elements bzw. die Ordnung einer Gruppe ist, kenne den Satz von Lagrange, den kleinen Satz von Fermat, und hab auch Kenntnisse aus der Ringtheorie. Halt das, was man standardmäßig im ersten Jahr eines Mathe-Studiums in LinAlg lernt. Aber wie gesagt: Die Eulersche-Phi-Funktion sagt mir nichts. Ist der Satz mit diesen Kenntnissen lösbar? LG, sebi
16.10.2010, 13:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sagt dir ja folgender Ansatz zu: Für eine Gruppe definiert man das minimale $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \forall ~ x\in G ~:~ x^n=1 \end{eqnarray}$ als den Exponenten $\begin{eqnarray} \exp(G) \end{eqnarray}$ . Damit kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ genau dann zyklisch ist, wenn $\begin{eqnarray} \|G\|=\exp(G) \end{eqnarray}$ . Für diesen Fall oder allgemeiner für die Einheitengruppe eines Körpers kann man dann das Polynom $\begin{eqnarray} x^{\exp(G)}-1\in K[X] \end{eqnarray}$ untersuchen und folgern, dass die Gruppe zyklisch ist. Edit: Dies gilt nur, falls die Gruppe endlich und abelsch ist.
Anzeige

16.10.2010, 14:28	sebi_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, @jester OK. Das hört sich ja schon mal ganz gut an. Ich bin leider in Zeitnot. Kannst du mir eine Quelle sagen, wo man das nachlesen kann? Das wäre sehr nett von dir. LG, sebi
16.10.2010, 14:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da jester (Danke für den Ansatz, der kommt wirklich ohne die Phi-Funktion aus, aber der Begriff der Teilerfremdheit spielt natürlich weiterhin eine große Rolle) offline ist, mache ich mal wieder weiter: Google doch einfach mal nach "Exponent einer Gruppe". Ich kann dir aber nur raten, es mal selbst zu versuchen. Der einzige Schritt, der schwer ist, ist die Folgerung, dass G zyklisch ist, wenn $\begin{eqnarray} \|G\| = exp(G) \end{eqnarray}$ gilt. Nimm diese Folgerung einfach mal als gegeben hin und versuche es dann. Wie man diese Folgerung beweist, kannst du dann ja immer noch nachschauen.
16.10.2010, 16:05	sebi_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verfolge den Ansatz von jester zwar weiter, aber mal eine andere Frage: Es reicht, doch einen konkreten Gruppen-Isomorphismus $\begin{eqnarray} \left (\mathbb Z/(p-1)\mathbb Z ,+ \right )\rightarrow ((\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times, \cdot ) \end{eqnarray}$ anzugeben. Ich will die Aussage ja nicht für jede x-beliebige Gruppe beweisen, sondern nur für die Einheitengruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Ich weiß es nicht, aber so schwierig kann es nicht sein, weil es auf die Aufgabe nur 2 Punkte gibt... LG, sebi
16.10.2010, 17:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde reichen. Aber das Problem ist, dass man zwar genau sagen kann, wie viele erzeugende Elemente die Einheitengruppe hat, aber welche Elemente dies sind, kann man nicht so einfach sagen. Ein Isomorphismus, wie von dir erwähnt, würde aber genau diese Frage sofort beantworten, da die erzeugenden Elemente der additiven Gruppen der Restklassenringe bekannt sind. Das sollte schon demonstrieren, dass die Angabe eines konkreten Isomorphismus für allgemeines p nicht so einfach sein wird.

Neue Frage »

Antworten »

(Z/pZ)^* zyklisch

Verwandte Themen