natürliche Zahlen und vollständige Induktion (binomischer Lehrsatz)

16.10.2010, 17:34	Hannibee	Auf diesen Beitrag antworten »
natürliche Zahlen und vollständige Induktion (binomischer Lehrsatz) Hallo, ich habe eine Frage zur Induktion des binomischen Lehrsatzes. Ich kann den Beweis nur zum Teil nachvollziehen. Es soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray} (a+b)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k} b^{k} \end{eqnarray}$ ist wenn a,b reelle Zahlen und n Element der natürlichen Zahlen ist. Das ganze hab ich mit n=1 durchgerechnet und dann versucht mit n=n+1 durchzurechnen. Dabei komm ich irgendwann an eine Stelle an der mein Buch behauptet, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Das habe ich versucht nachzurechnen in Anlehnung an das Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , doch komme ich nicht ganz zum Ende: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} <br /> =\frac{n!}{(n-k)!k!} + \frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!} <br /> =\frac{n!(n-k+1)!}{(n-k+1)!k!} + \frac{n!k}{(n-k+1)!k!}<br /> =\frac{n!(n-k+1+k)!}{(n-k+1)!k!} <br /> =\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!} <br /> \end{eqnarray}$ Das ganze soll jetzt = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Aber das passt irgendwie nicht. Entweder ich sehe nicht, warum das so ist, oder habe mich vorher verrechnet. Ich hoffe, ich habe mein Problem nicht zu kompliziert erklärt. Es wäre super wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank schon mal.
16.10.2010, 17:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahlen und vollständige Induktion (binomischer Lehrsatz) $\begin{eqnarray} =\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!} =\frac{(n+1)!}{((n+1) -k)!k!} \end{eqnarray}$ Also genau das was du haben willst.
17.10.2010, 01:26	Hannibee	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das stimmt. War dumm von mir. Danke schön :-)

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