Vollständige Induktion

16.10.2010, 22:27

Ricky

Vollständige Induktion

Hallo,

bei folgender aufgabe habe ich probleme und wäre für eure hilfe sehr

dankbar Hilfe

Also : Zeige mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n > 2 gilt :

$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{i²}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

So und nun bin ich soweit gekommen :

Induktionsanfang :

Linke Seite : $\begin{eqnarray*} \sum^{1}_{i=1}\frac{1}{1²}=1 \end{eqnarray*}$

Rechte Seite : $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung : $\begin{eqnarray*} n ->n+1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss : $\begin{eqnarray*} \sum^{n+1}_{i=1}\frac{1}{i²}=\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{i²}+\frac{1}{(n+1)²}=2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)²} \end{eqnarray*}$

so und weiter bin ich nun nicht gekommen...denn das Ziel soll ja für die rechte seite lauten :
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
weil doch n einfach nur durch n+1 ersetzt werden soll...richtig... Hilfe

aber irgendwie komme ich mit meiner rechnung dann nicht weiter, sodass ich auf das ziel komme... Hilfe

16.10.2010, 22:32

tigerbine

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RE: Vollständige Induktion
Na, wieder hier. Augenzwinkern

[WS] Vollständige Induktion

Zitat:

So und nun bin ich soweit gekommen :

Induktionsanfang :

Linke Seite : $\begin{eqnarray*} \sum^{1}_{i=1}\frac{1}{1²}=1 \end{eqnarray*}$

Rechte Seite : $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$

Es soll kleiner gelten! n > 2. Da kannst du nicht n=1 wählen.

Zitat:

Induktionsvoraussetzung : $\begin{eqnarray*} n ->n+1 \end{eqnarray*}$

Nein. Hier nimmt man nur an, dass die Behauptung für n stimmt. Formal gilt also nun

$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{i²}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Induktionsschluss :

Hier machen zeigt man nun, dass die Behauptung auch für n+1 stimmt. Dazu benutzt man die IV.

$\begin{eqnarray*} \sum^{n+1}_{i=1}\frac{1}{i²} =\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{i²} + \frac{1}{(n+1)²} < ... \end{eqnarray*}$

16.10.2010, 22:46

Ricky

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ok...dann habe ich das "=" zeichen mit dem ">" vertauscht... Hammer

Aber wie muss denn der Ind-Anfang bei der Bedingung : n>2 lauten...
es muss mit 3 also beginnen aber wie mache ich mit n=3 den Ind-Anfang...

und wie komme ich beim induktionsschluss weiter, sodass ich die zielgleichung
erhalte, die ich ja hier schon geschrieben habe...?

16.10.2010, 22:49

tigerbine

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Der Anfang ist doch immer nur einsetzen. Also Probe, ob es für den kleinsten Wert stimmt. Also, nochmal, den IA bitte.

16.10.2010, 22:53

Ricky

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RE: Vollständige Induktion
Induktionsanfang :

Linke Seite : $\begin{eqnarray*} \sum^{3}_{i=1}\frac{1}{3²}=1 \end{eqnarray*}$

Rechte Seite : $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{3}=1 \end{eqnarray*}$

damit ist der Anfang doch schon falsch...?

16.10.2010, 23:00

tigerbine

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RE: Vollständige Induktion
Welche genauere Bedeutung hat das Summenzeichen?

16.10.2010, 23:03

Ricky

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tja, das weiss ich leider nicht....ich wusste bisher noch nicht einmal, dass es

summen zeichen heisst...ich habe mich schon die ganze zeit gewundert was das für ein komisches zeichen ist darüber haben wir noch nicht geredet...

16.10.2010, 23:06

Ricky

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oder soll der Ind.-Anfang so aussehen :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i²}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

für n = 3

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1²}<2-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1²}=1<2-\frac{1}{3}=1\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

16.10.2010, 23:09

tigerbine

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Es heißt Summenzeichen. http://de.wikipedia.org/wiki/Summe

http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/l...ung/node10.html

Kannst dir auch gleich das Produktzeichen einprägen. also, IA noch mal bitte.

16.10.2010, 23:17

Ricky

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ich hab den Ind.-Anf. doch bereits nochmal versucht... verwirrt

16.10.2010, 23:19

tigerbine

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Stimmt aber immer noch nicht. Wo hast du da links mal aufsummiert? Zu prüfen ist

$\begin{eqnarray*} \sum^{3}_{i=1}\frac{1}{i²}<2-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 10:42

Ricky

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sorry aber ich weiss gar nicht was du nun meinst...denn beim Ind-Anfang wird

doch nur für i und n eingesetzt und überprüft ob die aussage stimmt...was soll

ich da aufsummieren... unglücklich

17.10.2010, 13:57

tigerbine

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Warum habe ich dir eine Seite über das Summenzeichen verlinkt. Damit du ihn liest und herausfindest was

$\begin{eqnarray*} \sum^{3}_{i=1}\frac{1}{i²} = ... \end{eqnarray*}$

bedeutet. Deine Interpretation ist falsch. i ist der fortlaufende Index. Da müssen also i=1,2,3 Brüche summiert werden. Darauf warte ich. Augenzwinkern

17.10.2010, 15:18

TommyAngelo

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Wenn ich kurz dazwischenreden darf. Die Ungleichung gilt schon für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre es doch schöner, wenn die Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ lauten würde. Dann müsste sie nur zwei Glieder aufsummieren, weniger Aufwand also Big Laugh

17.10.2010, 15:24

tigerbine

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Wenn sie erkennt, dass man aufsummieren muss. Augenzwinkern

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