Fixpunkte komplexer Abbildung

17.10.2010, 00:08

r_zeta

Fixpunkte komplexer Abbildung

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} f(z) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{2i - z}{1 - iz} \end{eqnarray*}$

a) Finde alle Fixpunkte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (d.h jene komplexe Zahlen z für welche $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$ gilt)

Wie sollte das funktionieren? Muss man hier die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2i - z}{1 - i z} = z \end{eqnarray*}$ lösen?

Danke für Tipps

17.10.2010, 00:14

Quizzmaster42

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Wäre ein Anfang, oder? Augenzwinkern

17.10.2010, 00:34

r_zeta

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} z = x + yi \end{eqnarray*}$ einsetze kriege ich
$\begin{eqnarray*} y = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{3} i \end{eqnarray*}$ . Da x keine reelle Zahl ist, hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Fixpunkte. Ist dies ok?

17.10.2010, 00:50

Quizzmaster42

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Nein, das kann man so nicht sagen. Schließlich ist bspw. $\begin{eqnarray*} i \cdot z = i \cdot \left(x + iy\right) = ix -y \end{eqnarray*}$ auch eine Komplexe Zahl (obwohl x auf einmal den Imaginärteil darstellt).

Wenn du jetzt x und y in z einsetzt, kriegst du durchaus eine komplexe Zahl heraus (die auch ein Fixpunkt ist). Allerdings gibt es noch einen anderen.

Ich an deiner Stelle würde aber gar nicht z in eine andere Form bringen, sondern direkt die Gleichung einfach nach z auflösen.

17.10.2010, 00:57

TommyAngelo

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Also ich erhalte zwei imaginäre Lösungen.

17.10.2010, 01:02

Quizzmaster42

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Sag mal an, dann kann ich kontrollieren.

edit: Oder war das als Frage gemeint?

17.10.2010, 01:02

TommyAngelo

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Nene, ich bin ja nicht der Threadersteller, sondern wollte ihm nur eine Orientierung geben smile

17.10.2010, 01:03

Quizzmaster42

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Huch... das hab ich übersehen... Hammer

17.10.2010, 09:24

r_zeta

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$\begin{eqnarray*} 2i - z = z(1 - iz) ; 2i - z = z - iz^{2} \\ 2i - (x + yi) = x + yi - i(x +yi)^{2} \\ 2i - x - yi = x + yi - i(x^{2} + 2xyi - y^{2})\\ -x + (2 - y)i = x + yi - x^{2}i + 2xy + y^{2}i\\ -x + (2 - y)i = x + 2xy + i(y-x^{2}+y^{2})\\ 1) -x = x + 2xy \Rightarrow y = -1\\ 2) 2 - y = y - x^{2} +y^{2}\Rightarrow 2 + 1 = -1 -x^{2} + 1\\ x^{2} = -3 \Rightarrow x = \sqrt{3}i \\ z = \sqrt{3}i -i \end{eqnarray*}$
Ist dies jetzt OK?

17.10.2010, 09:33

kiste

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x und y sind doch reell.
Bei 1.) hast du etwas vorschnell geschlossen, da gibt es durchaus noch andere Lösungen

17.10.2010, 13:51

Quizzmaster42

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Bei dieser Aussage

$\begin{eqnarray*} x^{2} = -3 \Rightarrow x=\sqrt {3} i \end{eqnarray*}$

wäre ich vorsichtig!

Denn

$\begin{eqnarray*} -1=i^{2} \Rightarrow \sqrt {-1} =\pm i \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 16:39

corvus

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Zitat:

Original von r_zeta
$\begin{eqnarray*} 2i - z = z(1 - iz) ; 2i - z = z - iz^{2} \\ 1) -x = x + 2xy \Rightarrow ?? \\ .. x^2= -3 \end{eqnarray*}$

Ist dies jetzt OK?

............................. nein

kiste hat dir schon geschrieben, dass du bei 1) nochmal überlegen sollst
..es gibt nicht nur eine Möglichkeit ..

und die, die du schon gefunden hast, führt nachher nicht zu reellem x unglücklich

also denk genauer nach..

nebenbei: wenn du die richtige Lösung dann gefunden hast,
dann probier noch einen zweiten Lösungsweg ( rechne mit z weiter):
zB:
$\begin{eqnarray*} 2i - z = z(1 - iz) \\ 2i - z = z - iz^{2} \\ .. \cdot(i) z^2 + 2iz = -2 \\ \left(z+i\right)^2 = -3 z_{1} = ... z_{2} = ... \end{eqnarray*}$

18.10.2010, 01:26

TommyAngelo

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Wie wäre es einfach mit:

$\begin{eqnarray*} 2i-z=z-iz^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} iz^2 -2z+2i=0 \end{eqnarray*}$

Und dann ganz einfach die Mitternachtsformel. Die Diskriminante ist reell, also geht es noch leichter.

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