Negative Wurzeln |
| 16.06.2004, 22:05 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Negative Wurzeln Er zeigte mir folgendes, was meine Vorstellungskraft sprengte: i2 * i2 = -2 Daraus folgt sqrt(-2) = i2 Könnte mir vielleicht jemand in ein paar Sätzen erklären, was diese i-Zahlen sind? Ich vermute, dass sie nicht ohne weiteres in unser normales Zahlensystem übertragen werden können. Jedenfalls kann mein Taschenrechner keine negativen Wurzeln. |
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| 16.06.2004, 22:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
i ist die Imaginäre zahl. dein lehrer hat von dem körper der Komplexen zahlen gesprochen. Dieses i ist eine feste Konstante mit Die Komplexenzahlen sind Zahlen mit 2 Komponenten einen realteil und einen Imaginärteil a+bi a ist der realteil und bi der imaginärteil Insbesondere sieht man das jede Reelle Zahl eine Komplexe Zahl ist da für jedes x aus R gilt x + 0i Es gibt in diesem Körper eine speziell definierte Addition und Multiplikation (a +bi) + (c + di) = (a+c) + i(b+d) (a+bi) * (c +di) = (a*c - b*d, a*d + b*c) = ac-bd + i(ad+bc) Visualisieren Kann man die komplexen zahlen wie folgt  http://miss.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1988.gifHierraus wird schon klar das die komplexen zahlen eine richtung haben. Eine kleine frage, wie lang ist wohl die strecke, also der betrag einer Komplexen zahl? |
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| 16.06.2004, 22:18 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Negative Wurzeln Also das Zahlensystem sind die Komplexen Zahlen und nicht die rationalen! i ist definiert als imaginäre Einheit, und zwar so: Damit kannst du z.B. folgendes machen Aber diese Komplexen Zahlen haben ganz andere Eigenschaften als die anderen Zahlen (als z.B. reelle Zahlen). Man kann sie also nicht mit anderen Zahlensystemen vergleichen und das Rechnen mit diesem i ist dann auch wieder was anderes. |
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| 16.06.2004, 22:24 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo und danke schonal für die schnellen Antworten. Ich meinte in meinem ersten Beitrag irrationale Zahlen und nicht die rationalen. So wie ich das entnommen habe, sind also die imaginären i-Zahlen nur eine Theorie, die man niemals rechnen kann. Ist das richtig? Den Beitrag von Mazze mit den 2 Komponenten habe ich jedoch nicht richtig verstanden. Die Definition von i ist mir jedoch jetzt klarer. |
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| 16.06.2004, 22:26 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
komplexe Zahlen werden zum beispiel bei induktiven und kapazitiven Widerständen, in Schwingkreisen (alles E-technik) und soweiter verwendet 
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| 16.06.2004, 22:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne auf Einzelheiten einzugehen, kann man sagen: Mit komplexen Zahlen kann man rechnen wie gewohnt, wenn man die Regel i²=-1 beachtet. Zwei Beispiele: (1+i)² = 1²+2·1·i+i² = 1+2i-1 = 2i 2/(1+i) = [2·(1-i)] / [(1+i)(1-i)] = (2-2i) / (1²-i²) = (2-2i) / (1+1) = (2-2i) / 2 = 1-i |
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| 16.06.2004, 22:41 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo. i² = -1 ist mir mittlerweile klar, aber das mit den Komplexzahlen ist mir noch unklar. Das Diagramm von Mazze sagt mir, dass eine Komplexzahl zur Hälfte Real und zur Hälfte imaginär ist. (Linear) Kann mir vielleicht jemand ein gutes Mathebuch empfehlen, wo ein "normal sterblicher Mensch", der sich noch nie mit einer solchen Mathematik beschäftigt hat, sich alleine in diesem Gebiet weiterbilden kann? |
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| 16.06.2004, 22:42 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie Leo schon gesagt hat man kann damit normal rechnen. Der vorteil von komplexen Zahlen ist das man in vielen Anwendungen einfach eine sehr elegante möglichkeit hat Sachverhalte auszudrücken. Nochmal zu dem realteil und imaginär teil, eine Komplexe zahl besteht aus folgendem Tupel (a,b), das ist eine Komplexe zahl. Das a ist der realteil (also das was du kennst) und das b ist der Imaginärteil, (also eine reelle zahl multipliziert mit i) diese zahl kannst du auch so schreiben a + i(b), das ist das ganze geheimnis 
auf der achse trägst du dann wert von a bei real ein und den wert von b beim imaginärteil. |
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| 16.06.2004, 23:01 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo. Ich habe das mit den komplexen Zahlen jetzt annäherungsweise verstanden. Danke für die Erklärungen. Könnte mir jemand noch hierzu eine Antwort geben?
Gibt ja noch so viel anderes, was in der höheren Mathematik vorkommt. |
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| 16.06.2004, 23:09 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ich eins wüsste könnt ichs dir ja sagen. Frag mal die Lehrer aus Matheleistungskursen, dort werden komplexe zahlen in der regel behandelt, eventuell wissen die etwas insachen guten büchern. |
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| 16.06.2004, 23:54 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder google doch einfach mal nach "Einführung komplexe Zahlen", da dürfte man auch zahlreiche Sachen finden, die du problemlos verstehen kannst. Gruß vom Ben |
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| 17.06.2004, 14:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt so nicht, wenn man ganz genau ist. Die Wurzel ist auf der Menge der komplexen Zahlen keine Funktion mehr sondern eine Relation. Es ist i^2 = -1. |
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| 17.06.2004, 14:59 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast Du vollkommen recht; man kann nicht i über einen nicht definierten Ausdruck einführen! Es geht in der Tat nur i^2:=-1. Die Wurzel bekommt man dann als Folgerung aus der Definition (und als Erläuterung Deiner Bemerkung: Auf C ist sie nicht eindeutig, i.a. existieren für komplexe Zahlen 2 verschiedene Wurzeln). Lg Mario |
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| 17.06.2004, 15:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
i.a. existieren für Reelle zahlen zwei verschieden wurzeln f(x) bildet auf und auf und ist damit auch keine funktion da nicht rechteindeutig! |
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| 17.06.2004, 17:53 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für R als Teilmenge von C hast Du recht, bei der komplexen Wurzel ist das wohl so. Nimmst Du aber R als Körper, dann definiert man die Wurzel im Gegensatz zu C: sqrt:[0, \infty) -> [0, \infty), sqrt x=y :<=> y^2=x. Der nichtpositive Ausdruck -y ist damit also keine (reelle) Wurze von x. Liebe Grüße Mario |
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| 17.06.2004, 20:36 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@blackdrake: Nicht verwirren lassen, die momentane Diskussion braucht dich (erstmal) nicht zu interessieren. Wenn du noch Fragen hast, poste sie einfach! Gruß vom Ben |
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| 17.06.2004, 23:10 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mario Is die Wurzelfunktion über R jetzt direkt als umkehrfunktion für {x²: x >= 0} (also die Menge der positiv Reellen zahlen) definiert, oder gilt die Wurzelfunktion als eigenständig (auch wenn es faktisch die umkehrfunktion für x >= 0 ist)? für ist die Quadratfunktion ja bijektiv |
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| 18.06.2004, 13:34 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es, genau das habe ich oben geschrieben. Allerdings musst Du mit der Schreibweise aufpassen: "Umkehrfunktion von f(x)=x^2, x >= 0 " wäre besser als
Liebe Grüße Mario |
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| 18.06.2004, 14:05 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo. Ich habe noch ein paar Definitionslücken: Und noch welche... |
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| 18.06.2004, 14:11 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ehm vergiss es das war falsch... Nun kann man die definition der multiplikation benutzen, irgendwie gehts aber auch eleganter denn: -1*-1*-1 = -1 bei geraden wurzeln müsstest du es wie folgt machen <=> <=> es gibt da noch eine andere darstellungsart der Komplexenzahlen mit Hilfe der komplexen exponentialfunktion, mit hilfe dieser lassen sich solche terme wesentlich eleganter berechnen |
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| 18.06.2004, 14:31 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, damits nichtz nochmal schiefgeht: es gibt i.a. n versch. n-te Wurzeln, die man tunlichst nicht so wie grade ausrechnet... Man schreibt die Zahl x als r*e^(i\phi) (Polarkoordinaten) und potenziert dann mit 1/n. Dabei beachte man dass \phi=\phi+2k\pi (k\in Z), d.h. es rutschen noch weitere Lösungen in das Intervall [0,2\pi]. Das ganze läuft unter dem Namen "Moivresche Formel". Die Lösungen liegen glm. verteilt auf einem Kreis mit Radius r. Liebe Grüße Mario |
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| 18.06.2004, 14:40 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne frage dazu ^^, die komplexen Zahlen sind bei mir scho bissel her deswegen konnt ich mich net mehr genau an die eponentialschreibweise erinnern. Würde man durch umformung der Komponentenform auch auf die ergebnisse kommen? |
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| 18.06.2004, 14:42 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo und danke für die schnelle Antwort. Ich habe nun folgendes: Wenn y ungerade: Wenn y gerade: = (-1)^(1/y) Die grafische Darstellung interessiert mich noch nicht. Im Moment ist für mich nur das Lineare Grundprinzip für das Verständnis wichtig. |
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| 18.06.2004, 14:47 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die exponentialschreibweise , wie Mario es schon gesagt ist am besten für solche sachen geeignet, meine methodik war zwar nicht falsch aber totaler blödsinn :P, schau dir mal diese Moivre Formel an, also die darstellung der komplexen zahlen über die komplexe exponentialfunktion! |
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| 18.06.2004, 14:51 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mazze: Die Umformung in Deiner Schreibweise ist denke ich erstmal o.k.; das sind Potenzgesetze. Das ganze macht aber die Sache nicht einfacher: Es handelt sich um k o m p l e x e Wurzeln; beide Zahlen haben also jetzt 3 Stück, insgesamt entstenen dann 9 Kandidaten, die man auch wieder mit Moivre rauskriegt. Natürlich wird ein Teil koinzidieren, so dass nur 3 verschiedene übrigbleiben. Also eine eher ungeschickte Variante Denke nicht so, dass R automatisch Teilmenge von C ist und Du dann mit reellen Funktionen in C beliebeig operieren kannst. Vielmehr lässt sich R homeomorph auf die reelle Achse von C abbilden, d.h. Mult. und Add. koinzidieren. Die Wurzel tut das nicht automatisch, da diese Operation in C aus der reellen Achse herausführt, in R nicht! @blackdrake: Ersteres Ergebnis ist nur eine y-te Wurzel von i.a. y Stück, d.h. das ergebnis ist so nicht richtig, weil nicht vollständig. Liebe Grüße Mario |
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| 18.06.2004, 14:54 | blackdrake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Theorie "Es wird wohl so schwierig sein, wie es sich anhört" hat sich als wahr erwiesen: http://crystal.wsk.tu-chemnitz.de/Bronst...p_2/node136.htm Ich hab leider von cos, sin, tan, ln ... absolut keine Ahnung, da dies erst nächstes Schuljahr durchgenommen wird. Das einzigste, was ich weis, ist, dass man mit tan, cos und sin Wellenlinien zeichnen kann und irgendwie Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kann. |
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| 18.06.2004, 14:58 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
r e^(i \phi) ist eine komplexe Zahl mit Radius r (Abst. zu Null) und Drehwinkel \phi (von x -Achse gemessen). Das reicht vielleicht für die Anschauung... Liebe Grüße Mario |
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