Differenzierbarkeit

18.10.2010, 21:29

easyone

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Differenzierbarkeit

Hallo,

ich habe noch ein paar Probleme damit die Differenzierbarkeit von Funktionen nachzuweisen.
Vielleicht könnt ihr mir helfen das Thema an einem Beispiel besser zu verstehen.

Ich möchte die Differenzierbarkeit an

f(x) = sinh(x) zeigen.

sinh(x) ist definiert als $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}-e^{-x} }{2} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt am besten an so eine Aufgabe heran?

Ich lese immer von der Formel zur Bildung des Differenzenquotienten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} x \frac{f(x0) - f(x)}{x - x0} \end{eqnarray*}$

hier müsste ich ja dann mit dem Ergebnis den linksseitiegen und rechtsseitigen Grenzwert berechnen.

Meine Fragen:

1) Was müsste ich für x0 eintragen?

2) Wenn ich den Differenzialquotienten berechnet habe, woher weiss ich welchen Wert ich einsetzen muss um links -und rechtsseitigigen Grenzwert zu prüfen, wenn in der Aufgabenstellung dazu nichts näheres angegeben ist?

3) Kann ich die Funktion auch einfach ableiten ohne die obere Formel zur Bildung des Differenzenquotienten und dann den Grenzwert links-und rechtsseitig zu prüfen?

Ich sage schonmal Danke für die Hilfe smile

smile

18.10.2010, 23:27

mYthos

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Diese hyperbolische Funktion ist im ganzen Definitionsbereich differenzierbar.
Wozu du einen links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert berechnen willst/musst, weiss ich nicht. So etwas macht man z. B. bei abschnittsweise definierten Funktionen oder gegebenenfalls auch an bestimmten "kritischen"Stellen.

Die Differenzenmethode wird praxisbezogen nicht angewandt, sondern direkt mit den Ableitungen gerechnet.
Untersuche daher zu deiner Aufgabe zuerst die e-Funktionen e^x bzw. e^{-x} alleine. Deren Ableitungen gehen dann gleichermaßen in die sinh-Funktion ein.

mY+

18.10.2010, 23:33

tigerbine

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Zitat:

Original von mYthos
Die Differenzenmethode wird praxisbezogen nicht angewandt, sondern direkt mit den Ableitungen gerechnet.

Hi mYthos,

wie meinst du das? Man muss die Ableitungsregeln ja erst mal herleiten. Die Definition bezieht sich zunächst auf einen Punkt. Dann sagt man "wenn es für alle Punkte gilt", dann überall differenzierbar. Das kann man auch durch eine allgemeine Wahl von x0 erreichen. Ich glaube da liegt das Mißverständnis beim user.

Nun ist die Frage, was in der Vorlesung/Schule schon gezeigt wurde. Vielleicht kennt man schon die Differenzierbarkeit der e-Funtkion und wie man diffbare Funtkionen zusammenfügen darf, so dass die neue Funktion auch diff'bar ist.

Da müßte uns der user imho noch mehr in seine Unterlagen einweihen.

Loungige Grüße Wink

Wink

19.10.2010, 00:16

mYthos

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RE: Differenzierbarkeit
@bine

Ich ging dabei natürlich von der Annahme aus, dass für easyone die Ableitungsregeln bereits bekannt sind. Sonst hätte er ja nicht gefragt: -->

Zitat:

Original von easyone
...
3) Kann ich die Funktion auch einfach ableiten ohne die obere Formel zur Bildung des Differenzenquotienten ...

mY+

19.10.2010, 00:17

tigerbine

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

...und dann den Grenzwert links-und rechtsseitig zu prüfen?

Ich fand diese Antwort "witzig verwirrend". Wenn man schon ableiten kann, dann brauch man auch nicht mehr die einseitigen Grenzwerte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warten wir mal ab, was er schreibt.

19.10.2010, 00:24

easyone

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das heisst ich könnte mir für x0 jetzt einfach einen Wert ausdenken..beispielsweise x0 = 0 und das dann auf alle Punkte übertragen?

mit der Prüfung des links bzw rechtsseitgen Grenzwertes, bin ich mir auch noch etwas im unklaren, weil darauf in manchen Beispielaufgaben bezug genommen wird und in anderen wiederrum nicht.

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19.10.2010, 00:25

tigerbine

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Natürlich nicht. Du musst dann schon mit dem allgemeinen Punkt x0 rechnen. Was sagst du zu unseren Rückfragen?

19.10.2010, 00:36

easyone

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Zitat:

Original von tigerbine
Natürlich nicht. Du musst dann schon mit dem allgemeinen Punkt x0 rechnen. Was sagst du zu unseren Rückfragen?

Die Ableitungsregeln sind mir bekannt.

Mit dem rechts - linksseitigen Grenzwert das habe ich noch nicht ganz verstanden wann genau das angewendet werden muss und wann nicht.
So wie ich das verstanden habe, brauche ich es hier bei der sinh(x) nicht anzuwenden..hätte ich aber eine Funktion die durch x<1 beschränkt wäre dann müsste ich auf den links/rechtsseitigen Grenzwert eingehen?

19.10.2010, 00:45

tigerbine

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Zitat:

Die Ableitungsregeln sind mir bekannt.

Naja, der sinh ist doch nur aus e-Funktionen zusammengesetzt. Da gibt es Regeln, aus denen die Diff'barkeit folgt.

Wenn die Regeln nicht bekannt sind, muss man mit dem Differntialquotienten arbeiten.

19.10.2010, 00:51

Cugu

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Zitat:

Naja, der sinh ist doch nur aus e-Funktionen zusammengesetzt. Da gibt es Regeln, aus denen die Diff'barkeit folgt.

Trotzdem gibt es genug Erstsemester, die fragen:"Die Ableitung berechnen war ganz einfach, aber wie zeige ich Differenzierbarkeit?"

Wenn ein Schüler merkt, dass man

Zitat:

die Funktion auch einfach ableiten [kann] ohne die obere Formel zur Bildung des Differenzenquotienten

zu benutzen, ist das kein schlechtes Zeichen. Freude

Freude

19.10.2010, 01:00

easyone

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Angenommen ich würde die Formel zur Berechnung des Differenzenquotienten verwenden.
Da ist mir nicht ganz klar wie ich die einzelnen Stellen belegen soll.
Für f(x) setz ich sinh ein, aber was ist mit den anderen Stellen wenn ich sonst nichts mehr gegeben habe?

19.10.2010, 01:18

tigerbine

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Nimm dafür die h-Methode.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

21.10.2010, 00:47

easyone

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ich hab die Formel jetzt mal versucht anzuwedenden, komme aber noch nicht auf das Ergebnis.

Bisher habe ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{e^{x0+h}-e^{-(x0+h)} }{2} - \frac{e^{x0}-e^{x0} }{2} }{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x0+h}-e^{-(x0+h)}-e^{x0}+e^{x0} }{2h} \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt h einsetzt bekommt man 0/0 raus, also habe ich die Regel von de Hospital angewandt.

Als Lösung bekomme ich dann nur 0 heraus, weil der Nenner ja 0 wird (?) beim ableiten und der Zähler wird auch zu 0

Ich verstehe nicht ganz was ich falsch gemacht habe

21.10.2010, 03:10

Cugu

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Zitat:

Ich verstehe nicht ganz was ich falsch gemacht habe

Du hast falsch abgeleitet...

Wenn du l'Hopital anwenden willst musst du $\begin{eqnarray*} \frac{g_1'(0)}{g_2'(0)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_1(h)= e^{x0+h}-e^{-(x0+h)}-e^{x0}+e^{-x0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(h)=2h \end{eqnarray*}$ bilden.
Da kommt sowohl im Zähler als auch immer Nenner etwas von null verschiedenes heraus!

21.10.2010, 13:01

mYthos

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Hier die Regel von L'Hospital anzuwenden, ist ein Zirkelschluss und daher unzulässig! Denn dazu müsste ja man erst recht jenen Differentialquotienten voraussetzen, welchen man zu beweisen hat.

Das ist ein leider oft begangener Fehler und der wurde auch im Forum schon hinlänglich diskutuert.

Für die e-Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {e^{x+h} - e^x} h = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac {e^h - 1} h = \ldots \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac 1 n)^n = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac 1 h} \end{eqnarray*}$

Danach sind die Grenzwertsätze anzuwenden. Der Grenzwert des neben $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ stehenden Bruches muss 1 werden, daher lautet die Ableitungsfunktion wiederum $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

mY+

21.10.2010, 14:05

easyone

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Zitat:

Original von mYthos

Für die e-Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {e^{x+h} - e^x} h = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac {e^h - 1} h = \ldots \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac 1 n)^n = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac 1 h} \end{eqnarray*}$

Danach sind die Grenzwertsätze anzuwenden. Der Grenzwert des neben $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ stehenden Bruches muss 1 werden, daher lautet die Ableitungsfunktion wiederum $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

mY+

Hm das verwirrt mich noch mehr. Wieso n gegen unendlich und wofür steht das 1+1/n bzw die 1+h.

Ich würde jetzt von diesem Bruch ausgehen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x0+h}-e^{-(x0+h)}-e^{x0}+e^{x0} }{2h} \end{eqnarray*}$
falls es mir weiterhilft könnte ich noch das e^x ausklammern.

21.10.2010, 14:32

tigerbine

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Was hat der Kollege gemacht? Wir haben dich darauf hingewiesen, dass die Funktion, für die du dich interessierst, als e-Funktionen zusammengebaut ist. Daher wollen wir doch erst mal klären, wie die Ableitung der e-Funktion lautet.+

Das hat mYthos mit der h-Methode angefangen. Und dabei Wissen über die Zahl e benutzt. Einfach mal nachschlagen. Bitte gehe auf seinen Beitrag ein. Danach kommen wir zu deiner Funktion.

21.10.2010, 14:43

mYthos

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Es geht zunächst darum, den Grenzwert des sinh(x) mittels des Grenzwertes der e-Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Hat man letzteren einmal, so ist das bei sinh(x) keine Hexerei mehr.

Also konzentriere dich einmal auf die e-Funktion. Wie dies geht, habe ich im Vorpost beschrieben. Die bekannte Beziehung, in welcher e als Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geschrieben wird, darfst du dabei verwenden, denn diese ist von der Definition der Ableitung unabhängig. Um von n auf h zu kommen, setzen wir n = 1/h. Mit dem Grenzwert passt es dann auch, denn wenn n gegen Unendlich geht, geht h gegen Null und wir können dies dann in den Grenzwert des Bruches einsetzen.

mY+

21.10.2010, 15:03

easyone

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okay in Bezug auf die e-Funktion habe ich es verstanden, denke ich.

Wenn ich die $\begin{eqnarray*} (1+h)^{\frac{1}{h} } \end{eqnarray*}$ für e einsetze, komme ich auf 1.

Ich probiere das jetzt mal auf die sinh(x) zu übertragen.

21.10.2010, 15:52

mYthos

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OK, stimmt so weit bis jetzt.

mY+

21.10.2010, 16:37

easyone

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ich habe das jetzt mal versucht auf die f(x) =sinh(x) anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} e^{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{e^{h}-e^{(-1-h)}-1+e^{-1} }{2h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} e^{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{((1+h)^{\frac{1}{h} })^h - ((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1-h} -1 + ((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1} }{2h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} e^{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{((1+h)^{\frac{1}{h} })^h - ((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1-h} -1 + ((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1} }{2h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} e^{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{h-((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1-h} + ((1+h)^{\frac{1}{h} })^{-1} }{2h} \end{eqnarray*}$

an der Stelle hakt es dann wieder

21.10.2010, 17:47

mYthos

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Du musst doch die ganze h-Geschichte nicht nochmals machen. Wenn du einmal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf diese Weise berechnet hast, kannst du diese bei der Ableitung des sinh(x) gleich gliedweise einsetzen. Die kleine Hürde bei $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ kann man locker nehmen, denn vor dem Bruch bleibt $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ stehen und der Grenzwert des Bruches ist -1, weil im Exponent nunmehr -h erscheint.

mY+

27.10.2010, 19:44

easyone

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Danke nochmal für die Hilfe. Es hat alles funktioniert.

27.10.2010, 20:35

tigerbine

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Das freut uns. Danke für die Rückmeldung!

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